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Aire du triangle en cinquième

I Pronostic !

Quel triangle a la plus grande aire ?

Le point M est mobile dans le plan, N et P sont deux points de la droite parallèle à (AB) passant par M. On pose la question sans déplacer les points.
Une variante : cacher les triangles ABM et ABN et demander où placer P pour que l'aire de ABP soit la plus grande possible.
Les élèves qui estiment plus grande l'aire de ABN s'appuient sur la perception des longueurs ( ABN a le plus grand périmètre), ceux qui choisissent ABP apprécient l'aire en fonction de la forme, pour eux l'aire est maximale si ABP est isocèle en P . L'affichage de l'aire provoque la surprise. L'exploration qui suit permet de découvrir le rôle de la hauteur.

II Exploration

Les élèves disposent de la figure. On leur fait afficher les aires des triangles et la longueur AB (10 cm).

1. Redéfinir le point P comme point libre dans le plan. Quelles sont toutes les positions de P pour lesquelles le triangle ABP a une aire égale à celle du triangle ABM ?
Quelles sont celles pour lesquelles l'aire de ABP est plus grande, exactement deux fois plus grande, deux fois plus petite que celle de ABM ?
2. Construire un triangle ABP d'aire 20 cm2. Trouver tous les triangles de base [AB] et d'aire 20 cm2.

Fichier Cabri
Fichier geogebra