We are interested in a model for diphasic fluids in thin flows taking into account both the hydrodynamical and the chemical effects at the interface between the two fluids. A limit problem in "thin films" is introduced heuristically. It is a system coupling the Reynolds equation and the hydrodynamical Cahn-Hilliard equation. We study the mathematical properties of this system, and prove an existence result under some smallness condition on the data.

In this work, we investigate two different aspects of an aerosol behaviour in the human airways. After a brief presentation of the model, we first study the impingement of aerosol particles with respect to their Stokes number and obtain again some well-known results. Then we consider the effect of an aerosol on the airflow and obtain a range of particles size where the aerosol action on the air cannot be neglected.

In this article we are interested in the simulation of the air flow in the bronchial tree. The model we use has already been described by Baffico, Grandmont and Maury and is based on a three part description of the respiratory tract. This model leads, after time discretization, to a Stokes system with non standard dissipative boundary conditions that cannot be easily and directly implemented in most FEM software, in particular in FreeFEM++. The objective is here to provide a new numerical method that could be implemented in any softwares. After describing the method, we illustrate it by two-dimensional simulations.

The present paper deals with non Newtonian viscoelastic flows of Oldroyd-B type in thin domains. Such geometries arise for example in the context of lubrication. More precisely, we justify rigorously the asymptotic model obtained heuristically by proving the mathematical convergence of the Navier-Stokes/Oldroyd-B sytem towards the asymptotic model.

In this work, we are interested in the modelling of diphasic fluids flows in thin films. The diphasic aspect is described by a diffuse interface model, the Cahn-Hilliard equation. The specific geometry (thin domain) allows to replace heuristically the usual Navier-Stokes equations by an asymptotic approximation, a modified Reynolds equation (in which the pressure and the velocity are uncoupled), where the viscosity depends on the composition of the mixture. An existence result on the limit system is stated. Since the boundary conditions are chosen in order to model the injection phenomenon, previous results on the Cahn-Hilliard equation cannot be applied, and new estimates have to be obtained. Moreover, we present numerical simulations for lubrication applications to improve the understanding of the cavitation phenomenon.

An unconditional existence result of a solution for a steady fluid-structure problem is stated. More precisely, we consider an incompressible fluid in a thin film, ruled by the Reynolds equation coupled with a surface deformation modelled by a non-linear non local Hertz law. The viscosity is supposed to depend non-linearly on the fluid pressure. Due to the apparition of a mushy region, the two-phase flow satisfies a free boundary problem defined by a pressure-saturation model. Such a problem has been studied with simpler free boundaries models (variational inequality), or with boundary conditions imposing small data assumptions. We show that up to a realistic hypothesis on the asymptotic pressure-viscosity behaviour it is possible to obtain an unconditional solution of the problem.

In this paper we introduce Fourier-Laplace multipliers and show how this technique can be used to investigate the model problem for the Stefan problem with surface tension.

For some qualitatively new problems with free (unknown) boundary, conditions of local solvability (with respect to time) are investigated.

Cette thèse est consacrée à la modélisation, à l'analyse mathématique et à la simulation numérique d'écoulements de divers fluides complexes dans des domaines de faible épaisseur. En effet, les modèles de fluides newtoniens ne sont pas toujours suffisants pour décrire de manière réaliste les écoulements considérés. Plusieurs phénomènes peuvent être pris en compte :

• le caractère complexe des fluides eux-mêmes, comme pour des fluides non-newtoniens ;
• l'hétérogénéité de l'écoulement, dans le cas de mélanges de fluides par exemple.

Il est important d'analyser comment ces modèles peuvent être simplifiés dans le cas de domaines minces, et d'étudier rigoureusement les modèles approchés.
Dans une première partie, des écoulements de fluides non newtoniens visco-élastiques représentés par une loi de comportement de type Oldroyd-B couplée aux équations de Navier-Stokes sont étudiés. Dans le cas de géométries minces, un modèle approché a été proposé. On justifie la validité de cette approximation ; la démonstration repose sur des estimations et des résultats de régularité fins.
Dans une deuxième partie, on considère un modèle d'écoulement piezovisqueux utilisé en lubrification hydrodynamique. Ce modèle fait aussi intervenir la déformation élastohydrodynamique du domaine (déformation du type Hertz), et l'aspect diphasique de la cavitation, qui est décrit par le modèle d'Elrod-Adams (en pression-saturation). On montre l'existence d'une solution à ce problème pour des lois pression-viscosité réalistes.
Dans une troisième partie, on introduit un modèle diphasique à interface diffuse, permettant de rendre compte de phénomènes plus fins tels que les gouttes. Pour cela, un paramètre d'ordre est introduit (fraction volumique d'une phase dans le mélange), gouverné par le modèle de Cahn-Hilliard. Un système approché est obtenu de manière heuristique pour un domaine de faible épaisseur. On étudie les propriétés mathématiques de ce système, et on montre un résultat d'existence, avec prise en compte ou non de la tension de surface.
Dans la dernière partie, un schéma numérique est mis en place pour simuler le modèle décrit précédemment d'écoulements diphasiques en domaines minces. Il permet de prendre en compte différents phénomènes physiques, comme de grandes variations de la viscosité ou la présence de recirculations à l'intérieur d'une goutte, ainsi que de simuler des mélanges dans le cadre d'écoulements lubrifiés.