Céline Acary-Robert (LAMA, Chambéry) résumé
Corentin Audiard (ICJ, Lyon) résumé
Matthieu Bonnivard (LAMA, Chambéry) résumé
Frédéric Chardard (UMPA, Lyon) résumé
Olivier Druet (UMPA, Lyon) résumé
Roula Fares (LaMUSE, Saint-Étienne) résumé
Frédéric Faure (Institut Fourier, Grenoble) résumé
Dietrich Häfner (Institut Fourier, Grenoble) résumé
Nicolas James (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand) résumé
Adrien Magni (LJK, Grenoble) résumé
Arnaud Münch (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand) résumé
Chrsitophe Picard (LJK, Grenoble) résumé
Julien Vovelle (ICJ, Lyon) résumé
Les avalanches présentent un caractère imprévisible et potentiellement dangereux pour les habitants et les activités en montagne. Dans cette étude, on s'intéresse principalement à deux aspects de la simulation d'avalanches poudreuses. Dans la première partie de cette présentation, nous introduisons un modèle bi-fluide pour la simulation d'avalanches poudreuses. Après une brève introduction des différents modèles existants, nous présenterons un modèle équilibré du point de vue de l'énergie cinétique et nous présenterons des résultats de simulation d'une avalanche poudreuse en présence d'un obstacle rigide. Dans une deuxième partie, nous présentons le couplage faible entre la simulation numérique d'une avalanche poudreuse d'une part et la structure déformable d'autre part. Nous présenterons des résultats de simulation numérique du comportement mécanique de l'obstacle soumis à l'impact d'une avalanche. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Denys Dutykh et Didier Bresch du LAMA.
Corentin Audiard (ICJ, Lyon)Les équations d'Euler–Korteweg s'obtiennent à partir des équations d'Euler classiques, auxquelles on rajoute un terme d'ordre 3 correspondant à des effets de capillarité. On étudie ici une version reformulée et linéarisée de ces équations sur la demi-droite réelle. On décrira comment, après une transformation de Laplace en temps, on est amené à prescrire une condition algébrique (dite de Kreiss–Lopatinskii) pour les conditions au bord, et comment la construction de symétriseurs de Kreiss permet d'obtenir des estimations a priori sans perte de dérivée. On concluera par un théorème d'existence et d'unicité de solutions satisfaisant ces estimations a priori.
Matthieu Bonnivard (LAMA, Chambéry)En s'appuyant sur l'effet d'aspérités microscopiques, il est possible de justifier mathématiquement qu'un fluide visqueux adhère à la paroi d'un domaine imperméable. L'effet de rugosité se traduit asymptotiquement par la transformation d'une condition de glissement parfait sur la paroi rugueuse en une condition d'adhérence, lorsque l'amplitude des rugosités tend vers zéro. Dans certaines situations, l'effet de rugosité peut se caractériser par une inégalité uniforme. Dans cet exposé, nous caractériserons les parois périodiques qui produisent un effet de rugosité uniforme et nous montrerons que dans le cas de parois cristallines arbitraires, l'effet uniforme a lieu sous une hypothèse géométrique sur la paroi.
Frédéric Chardard (UMPA, ENS Lyon)L'indice de Maslov est un indice défini sur les chemins de la variété des plans lagrangiens et permet de compter des valeurs propres pour des problèmes de type Sturm–Liouville. Dans cet exposé, il est utilisé pour étudier la stabilité d'ondes solitaires et d'ondes périodiques survenant dans l'équation de Kawahara et celle de Korteweg–de Vries avec forçage.
Olivier Druet (UMPA, ENS Lyon)Dans un travail en collaboration avec Paul Laurain, nous avons étudié la stabilité de l'obstruction de Pohozaev en dimension 3. Ceci jette une nouvelle lumière sur les phénomènes de petite dimension en EDP elliptiques. Je rappellerai ce qu'est cette obstruction de Pohozaev, ce qu'on entend par stabilité de celle-ci et tenterai de donner quelques idées pour attaquer cette question de stabilité.
Roula Fares (LaMUSE, Saint-Étienne)We study the Stokes equation with varying viscosity in a tube structure. In 2D-dimensional case, a tube structure is some connected union of thin rectangles with heights of order ε and with bases of order 1 with a smoothened boundary; here ε is a small positive parameter. An asymptotic expansion for the case of a constant viscosity have been constructed. It is "compiled" of some Poiseuille flows inside the rectangles glued by some boundary layer solutions, in the neighborhood of the junctions. Here we consider a more general case when the viscosity is not constant but depends on a longitudinal variable for each rectangle. This situation models a blood flow in a vessel structure where the viscosity depends on the concentration of some substances diluted in blood or some blood cells such as erythrocytes and trombocytes.
Frédéric Faure (Institut Fourier, Grenoble)Une question importante de la physique est de comprendre pourquoi les lois de la mécanique (classique) qui sont essentiellement réversibles à l'échelle microscopique des particules, induisent des comportement effectifs irréversibles à l'échelle macroscopique (la physique statistique hors équilibre). Depuis les travaux de Boltzmann, Maxwell,… et ceux des dynamiciens Poincaré, Arnold, Bowen, Ruelle, Prigogine,… il est admis que c'est le mouvement chaotique des particules (i.e. sensibilité aux conditions initiales) qui est responsable de ce paradoxe. Ruelle et Bowen dans les années 70 ont initié des méthodes permettant d'obtenir précisément l'expression d'une dynamique effective irréversible à partir d'une dynamique donnée déterministe et chaotique. Leur idée est simplement d'étudier l'évolution d'une distribution de probabilité sur l'espace des états. Le chaos implique que cette distribution fuit inexorablement vers les petites échelles (i.e. grands modes de Fourier) hors de notre échelle macroscopique. L'opérateur d'évolution étant un opérateur linéaire, son spectre permettra de trouver l'état asymptotique d'équilibre mais aussi les états appelés « résonances de Ruelle » qui gouvernent le régime transitoire. De cette étude découlent toutes les propriétés statistiques de la dynamique. Dans cet exposé on expliquera ces idées pour un flot uniformément hyperbolique, ou flot Anosov. On montrera une majoration du nombre de résonances. Pour cela on utilisera une analogie très forte avec l'évolution d'une onde quantique dans un système ouvert : un atome excité dans un état métastable aussi appelé « résonance », évolue vers l'état fondamental (l'équilibre) en émettant une onde lumineuse qui fuit à l'infini (fluorescence). Grâce à cette analogie on verra que les questions du chaos classique et du chaos quantique sont étroitement liées.}
Dietrich Häfner (Institut Fourier, Grenoble)On considère l'équation des ondes semi-linéaire quadratique sur Rd, d≥3 équipée d'une métrique riemannienne. Nous supposons que la métrique est non captive et approche la métrique euclidienne comme ⟨x⟩-ρ quand |x|→∞. Si ρ≥1, nous montrons pour des données petites un résultat d'existence et d'unicité d'une solution en temps long en toute dimension d≥3. Si ρ>1, nous obtenons pour des données petites une solution globale en dimension d≥4. La preuve est basée sur des estimations de Mourre. Il s'agit d'une collaboration avec Jean-François Bony.
Nicolas James (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand)
La simulation numérique des écoulements turbulents est délicate. En effet, lorsque le pas d'espace du maillage est plus grand que l'échelle dissipative, le maillage ne permet pas la représentation des plus petites échelles de l'écoulement réel. L'énergie transférée depuis les grandes échelles vers les petites échelles, par l'action des termes d'interaction non linéaires, n'est pas dissipée correctement. On constate alors une augmentation anormale de l'énergie au niveau des échelles qui correspondent à la taille de la maille de calcul. En conséquence, la réalisation d'une simulation numérique directe (résolution de toutes les échelles physiques sans modélisation de la turbulence) pour des écoulements caractérisés par un nombre de Reynolds élevé est très coûteuse en ressources informatiques. Plusieurs méthodes ont été développées pour permettre la simulation numérique de tels écoulements.
La méthode multi niveaux que nous proposons consiste à appliquer un traitement spécifique à chaque échelle, en considérant les propriétés physiques de l'écoulement. La décomposition des échelles du champ de vitesse est utilisée pour imposer une décroissance correcte du spectre d'énergie. La dynamique des grandes échelles est améliorée par le contrôle de l'accumulation de l'énergie sur les modes élevés.
De nombreux phénomènes physiques, financiers,… se modélisent sous la forme de lois de conservation. Leur résolution s'effectue alors très souvent à l'aide de méthodes de grille en introduisant un maillage du domaine pour discrétiser les équations. Une alternative permettant de s'affranchir de cette discrétisation consiste à introduire des particules « numériques » et résoudre les équations de manière lagrangienne. Ces méthodes particulaires possèdent des propriétés intéressantes de conservation, stabilité et sont peu diffusives. Cependant la distorsion des particules suivant le gradient du champ de vitesse pose un problème majeur pouvant mener jusqu'à la divergence de la méthode. Une parade fréquemment utilisée, appelée remaillage, consiste à recréer des particules régulièrement espacées sur des intervalles de temps réguliers.
J'exposerai dans cette présentation les principes de base des méthodes particulaires en se concentrant sur la résolution des équations de Navier–Stokes. Une attention particulière sera portée sur l'étape de remaillage, son intérêt, mais également les problèmes engendrés.
L'existence de contrôles distribués aux trajectoires pour l'équation de la chaleur est connue depuis les contributions de Lebeau–Robbiano (1995) et Immanuvilov–Fursikov (1994). L'approximation numérique de tels contrôles se révèle pourtant sévèrement mal posée, et bien plus subtile que pour le cas des ondes. Cet exposé a pour objet de décrire et d'analyser quelques méthodes d'approximation envisageables pour ce type de problème. On introduira notamment des méthodes de perturbation singulière et régulière, la méthode de transmutation ainsi qu'une méthode primale pour résoudre les conditions d'optimalité sous-jacentes.
Christophe Picard (LJK, Grenoble)Les fluides complexes sont des fluides contenant des objets de taille mésoscopique dans une expérience macroscopique. La difficulté de la modélisation du problème réside dans l'interaction entre les structures macroscopiques modélisées et le fluide. Les modèles numériques utilisés font intervenir le couplage des équations de Navier–Stokes avec des équations de mécanique des milieux continus (équation des contraintes). Sachant que l'un des buts est de simuler des systèmes biologiques complexes, les modèles utilisés se doivent de décrire des phénomènes dans des géométries complexes et en trois dimensions d'espace. L'ensemble de ces exigences, c'est-à-dire couplage de modèles numériques, géométries complexes et simulation en 3D, requiert le développement de méthodes de calculs performantes. Dans cet exposé, nous présenterons tout d'abord les résultats existants et qui expriment le besoin d'utiliser des méthodes plus performantes. Dans une seconde partie, nous présenterons les outils numériques et algorithmiques mis en place pour pouvoir travailler sur des gros problèmes. Dans une troisième partie, nous présenterons des résultats préliminaires. Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Thierry Colin de l'IMB et Marc Garbey de l'Université de Houston.
Julien Vovelle (ICJ, Lyon)On étudie les solutions (non paramétriques, i.e. décrites comme le graphe d'une fonction u) d'un problème de courbure moyenne prescrite du type « courbure moyenne = H+tu » où t est un paramètre. On montre l'existence d'un paramètre critique pour l'existence de solution. On étudie la régularité des solutions et en particulier celle de la solution critique.