Mostafa Adimy (ICJ, Lyon 1) résumé
Laurent Chupin (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand) résumé
Eric Dumas (IF, Grenoble) résumé
Ivan Gentil (ICJ, Lyon 1) résumé
Mohamed Hajjej (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand) résumé
Ilya Kostin (LaMUSE, Saint-Étienne) résumé
Aymen Laadhari (LJK, Grenoble) résumé
Céline Labart (LAMA, Chambéry) résumé
Olivier Lablée (IF, Grenoble) résumé
Paul Laurain (UMPA, ENS de Lyon) résumé
Simon Masnou (ICJ, Lyon 1) résumé
Julien Olivier (LAMA, Chambéry) résumé
Nicolas Papadakis (LJK, Grenoble) résumé
Rémi Peyre (UMPA, ENS de Lyon) résumé
We prove the existence of a center manifold for some partial functional differential equations. The attractiveness of the center manifold is also shown when the unstable space is reduced to zero. We prove that the flow on the center manifold is completely determined by an ordinary differential equation in a finite dimensional space. In some critical cases, when the exponential stability is not possible, we prove that the uniform asymptotic stability of the equilibrium is completely determined by the uniform asymptotic stability of the reduced system on the center manifold.
Laurent Chupin (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand)Du point de vue mathématique, un écoulement lubrifié est souvent modélisé par l'équation de Reynolds. Cette dernière correspond effectivement à une approximation des équations de Stokes dans un domaine mince (d'épaisseur E) et soumis à un cisaillement. L'objectif de cet exposé est de montrer que l'on peut généraliser cette approche au cas où le domaine mince est aussi rugueux (de "rugosités" E^2). En collaboration avec Sébastien Martin, nous avons obtenu et justifié un développement de la solution vitesse-pression (U,p) au problème de Stokes en puissance de E. Les résultats permettent entre autres de quantifier l'effet des rugosités sur l'écoulement, et sur l'approximation classique par l'équation de Reynolds.
Eric Dumas (IF, Grenoble)
Des phénomènes d'hystérésis sont observés notamment sur la magnétisation des matériaux ferromagnétiques, lorsqu'un champ magnétique variant au cours du temps leur est appliqué. L'évolution du moment magnétique d'un tel matériau est décrite par l'équation (parabolique, quasi-linéaire et dégénérée) de Landau-Lifschitz.
Dans un travail en collaboration avec Stéphane Labbé, nous étudions le comportement asymptotique des solutions de cette équation, pour des données initales au voisinage d'un état d'équilibre, lorsqu'un petit paramètre (chiffrant le temps de réaction du moment magnétique par rapport au temps caractéristique de variation du champ extérieur) tend vers zéro.
Une inégalité de Nash est équivalente à un contrôle uniforme du noyau de a chaleur. Nous montrons qu'une inégalité de Nash à poids apporte une une borne non-uniforme de la densité. Nous illustrons cette méthode en dimension $1$ au noyau associé à la mesure de densité $C_a\exp(-|x|^a)$, avec $1
On considère un plasma magnétisé constitué d'électrons d'ions.
Le plasma est décrit par le système d'Euler-Poisson avec des conditions
initiales périodiques. On se propose dans ce travail d'étudier la limite
de relaxation en zéro du système par une méthode de développement
asymptotique. Il est bien connu que la limite formelle du système
d'Euler-Poisson est gouvernée par les équations de dérive-diffusion
lorsque le temps de relaxation tend vers zéro. Par des estimations
d'énergie aux systèmes hyperboliques symétriques, on justifie
rigoureusement cette limite lorsque les conditions initiales sont bien
préparées. Le phénomène des conditions initiales mal préparées est
interprété par l'apparition de couches initiales. Dans le cas, on fait une
analyse mathématique des couches initiales en ajoutant des termes de
correction dans le développement asymptotique.
A la fin des années 1980 J. Hale et G. Raugel et, en même
temps, A.V. Babin et M.I. Vishik ont developpé une
technique pour étudier la stabilité de l'attracteur
global d'un système dynamique sous de petites
perturbations. Leurs résultats s'appuient
sur la principale hypothèse structurelle :
tous les points stationnaires du système doivent
être hyperboliques. Or, dans la plupart des
problèmes appliqués cette condition est impossible à
vérifier.
Le présent exposé est consacré à l'étude des cas où
il est possible d'établir la stabilité de l'attracteur
sans l'hypothèse d'hyperbolicité.
Phospholipid membranes are abundant in biology and pure phospholipid vesicles (a closed membrane suspended in an aqueous solution) constitute an attractive model system in order to describe mechanical and viscoelastic behaviors of many cells, like red blood cells. This contribution is concerned with a certain aspect of mathematical and numerical modeling of vesicles.
On s'intéresse à la résolution d'une EDP semilinéaire, ou de manière équivalente à la résolution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Nous présentons un algorithme probabiliste basé sur une méthode de Monte Carlo adaptative approchant la solution exacte. Nous énoncerons un résultat de convergence et présenterons quelques résultats numériques appliqués à la finance.
En mécanique quantique non relativiste, l'état d'un système est régi par la fameuse équation de Schrödinger. Dans cette équation, l'hamiltonien est typiquement un opérateur pseudo-différentiel. En dimension 1 ou dans des situations complètement intégrables, on sait généralement bien décrire les états stationnaires de l'hamiltonien, qui correspondent aux valeurs propres de l'opérateur. On a donc, en principe, accès aux solutions générales de l'équation. Pourtant, la dynamique des solutions (comportement lorsque le temps évolue) reste, sur bien des aspects, mystérieuse.
Après avoir mis en place les diverses notions géométriques, nous formaliserons notre problème sous la forme d'une étude du comportement des suites de solutions d'une E.D.P. de la forme $\Delta u = -2\; u_x \wedge u_y +...$
Les mesures de Young sont un outil fondamental pour capturer les phénomènes de concentration et d'oscillation à la limite de certaines fonctionnelles, notamment celles où le terme intégré fait intervenir une suite de gradients qui converge faiblement. Peut-on également utiliser cet outil pour des fonctionnelles d'ordre deux ? Dans un travail en collaboration avec Giacomo Nardi (Paris 6), nous nous intéressons plus particulièrement à une fonctionnelle qui pénalise la courbure des lignes de niveau , et nous cherchons à exprimer sa relaxée dans l'espace BV. Nous proposons une notion de varifolds associés à des mesures de Young et nous montrons, pour la dimension deux, que cette représentation permet bien de capturer les phénomènes singuliers d'ordre deux. L'exposé sera illustré à l'aide d'exemples explicites de tels phénomènes.
Dans cette exposé, on commencera par une introduction rapide liée aux fluides non-newtoniens. On se focalisera ensuite sur les matériaux vitreux qui présentent une transition entre un comportement quasi-linéaire et un comportement de type fluide à seuil. On peut citer comme exemple le ketchup, les mousses.
L'estimation du mouvement dans les séquences d'image, ou calcul du flot otique, est un problème majeur dans la communauté du traitement d'images. Les applications possibles sont nombreuses : encodage vidéo, suivi de personnes, reconstruction 4D ou sciences environnementales (utilisation des images satellites).
L'évolution de McKean-Vlasov
La limite de relaxation en zéro du système Euler-Poisson
Propriétés de l'attracteur global en présence
des points stationnaires non hyperboliques
An adaptive finite element method for modelling biological vesicles in blood
According to a model introduced by Helfrich 1973, the equilibrium shape of vesicle membranes is determined by minimizing the bending energy subject to two constraints: fixed volume (incompressible enclosed fluid) and fixed area (inextensible membrane). It is a shape optimization problem that writes in the
saddle point formulation.
The purpose of this work is is to derive a finite element method for the evolution of vesicles according to the Helfrich flow, in a Level Set framework. We propose a mixed weak formulation as well as numerical simulations. The equilibrum shapes of vesicles are compared to others found by ODE resolution.
Résolution d'une EDP semilinéaire par une méthode de Monte Carlo adaptative
Dynamique de l'équation de Schrödinger dans le cas complètement intégrable : écroulement et renaissances de l'état initial
Dans cet exposé on présentera des résultats concernant l'évolution de la dynamique quantique en temps long. Cette étude a permis en particulier de prouver l'existence de phénomènes d'écroulement, et de renaissance(s) de l'état initial.
Les techniques utilisées sont issues de la théorie spectrale et de l'analyse semi-classique. L'analyse semi-classique consiste "en gros" à faire de la mécanique quantique avec une constante de Planck qui tend vers 0... On verra que cette asymptotique est remarquablement liée à une géométrie sous-jacente. Celle-ci vit sur une variété symplectique : c'est la géométrie de l'espace des phases. L'exposé commencera par un panorama et des rappels sur l'analyse semi-classique.
Comportement asymptotique des surfaces à courbure moyenne constante
Cette E.D.P. étant à croissance de Sobolev critique, les suites de solutions ne peuvent pas être compactes. Toutefois sa forme particulière la rend sujette à un certain nombre de phénomènes de compensation que nous tâcherons d'exploiter afin de contrôler le comportement asymptotique de nos suites de solutions.
Mesures de Young et varifolds pour représenter la relaxée d'une fonctionnelle d'ordre deux
Analyse de la transition vitreuse dans un modèle multi-dimensionnel.
On introduira le modèle d'Hébraud-Lequeux qui décrit au niveau mésoscopique certains fluides vitreux en cisaillement simple et nous démontrerons, via l'analyse mathématique d'une EDP singulière, qu'il rend bien compte de cette transition.
Enfin nous présenterons une généralisation de ce modèle à d'autres types d'écoulement et en analyserons l'influence sur la transition vitreuse.
Estimation dense du mouvement dans des séquences d'images
Nous nous intéressons ici à l'estimation dense du mouvement 2D entre paires d'images successives.
Ce problème est généralement basé sur l'hypothèse de conservation de la masse de luminance au cours de la séquence d'images, connue comme l'équation (non-linéaire) de contrainte du mouvement apparent (ECMA), couplée avec un a priori sur la régularité de la solution recherchée.
En pratique, deux principales classes de méthodes peuvent être dégagées : les approches variationnelles, basées sur la linéarisation de l'ECMA, et les méthodes dites de correlations, cherchant de manière exhaustive les valeurs optimales du mouvement parmi un ensemble discret de valeurs prédéfinies.
Dans cet exposé, des contributions pour les deux types d'approches sont présentées.
Dans le cas de séquences de mouvement fluide, l'utilisation des techniques d'assimilation de données (couplant dynamique et observations) permet d'estimer des champs de mouvement temporellement continus sur l'ensemble d'une séquence d'images. Pour cela, des a priori de dynamique plutôt que de régularité sont considérés. Les observations sont alors données par l'ECMA et linéarisées au cours de l'optimisation par le modèle adjoint.
Le problème non linéarisé est abordé dans une seconde partie. Dans ce cas, le nombre de valeurs prédéfinies du mouvement ainsi que le coût calculatoire peuvent être optimisés par la convexification du problème [Chambolle08] couplée à une implémentation de type « narrow band ».
[Chambolle08] A. Chambolle, D. Cremers, T. Pock. A convex approach for computing minimal partitions, 2008.
Flambage de McKean-Vlasov
\[ \partial_t f = \nabla \cdot (T \nabla f + (\nabla V * f) f) \]
est équivalente à la descente du gradient de l'énergie libre sur la « variété riemannienne » de dimension infinie associée à la métrique de Wasserstein quadratique. On se place ici dans le cas d'une évolution sur $\mathbb{R}^d$ avec un potentiel d'interaction attractif, à courte portée et non singulier.
L'étude de l'équation linéarisée montre alors que l'équilibre correspondant à une distribution homogène est tantôt instable et tantôt stable selon la température. L'enjeu de cet exposé est d'établir des résultats rigoureux sur cette transition de phase qui aillent au-delà du cadre linéarisé : on montrera en particulier qu'il existe une énergie d'activation non nulle dès qu'on est au-delà de la température de transition. Notre approche passe notamment par l'étude du plongement de l'espace de Wasserstein dans des espaces de Sobolev.