Journées EDP Rhône–Alpes–Auvergne 2012

Le Bourget du Lac, 22-23 novembre 2012

Batiment le Chablais, salle TLR


Liste des orateurs


Morgane BERGOT (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1)
Frédéric CHARDARD (Institut Camille Jordan, Université de Saint-Etienne)
Nicolae CINDEA (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand)
Alberto FARINA (Institut Camille.Jordan, Université Lyon 1)
Thomas GALLOUET (UMPA, ENS LYON)
Alexandre GIROUARD (LAMA, Université de Chambéry)
Clément JOURDANA (LJK, Université Grenoble 1)
Ludovic METIVIER (LJK, Université Grenoble 1)
Emmanuel RUSS (Institut Fourier, Université Grenoble 1)
Dominique SPEHNER (Institut Fourier, Université Grenoble 1)
Rachid TOUZANI (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand)

Programme

Jeudi 22 novembre

Vendredi 23 novembre

Résumé

  • Morgane BERGOT
    Pour simuler le comportement d'un plasma dans le cadre du projet ITER, la méthode semi-lagrangienne en avant (FSL) est mise au point comme une alternative conservative au schéma semi-lagrangien en arrière (BSL) classique pour résoudre les équations gyrocinétiques. Les deux méthodes sont étudiées dans le cadre général de maillages curvilinéaires 2D puis comparées dans un cas 4D réaliste.

  • Frédéric CHARDARD
    L'équation de Kawahara est un modèle dispersif faiblement non-linéaire pour les couches d'eau minces soumises à la capillarité et à la gravité qui admet des solutions de type onde solitaire. Pour chaque onde solitaire, il existe une famille d'ondes périodiques qui approche l'onde solitaire lorsque la période tend vers l'infini. Dans cet exposé, nous étudions la stabilité de ces solutions.

  • Nicolae CINDEA
    Le but de cet exposé est d'étudier la convergence numérique d'un observateur discret pour l'équation des ondes. Plus précisément, nous proposons une méthode de discrétisation d'un système qui approche l'état d'une équation des ondes quand le temps devient grand, sans connaitre la condition initiale mais en supposant que des mesures partielles de l'état du système sont disponibles au long du temps (un tel système est appelé observateur). La convergence d'une telle discrétisation est affectée par l'apparition des hautes fréquences parasites, de nature purement numérique, et donc l'uniformité du taux de décroissance par rapport au pas de discrétisation est perdue. Pour contourner ce problème nous adaptons aux observateurs un des remèdes bien connus dans la théorie du controle : une viscosité numérique est introduite dans le schéma de discrétisation. Dans ce contexte, nous prouvons que le schéma proposée converge vers le système observé et nous obtenons une estimation précise de l'erreur.

  • Alberto FARINA
    On considère quelques problèmes non-linéaires partiellement ou globalement surdéterminés qui apparaissent en dynamique des fluides, dans l'étude des problèmes à frontière libre ou encore en optimisation de forme. Il s'agit de problèmes elliptiques du second ordre posés sur un domaine quelconque. On démontre des résultats de rigidité et de symétrie conduisant à la classification complète des solutions et des domaines considérés.

  • Thomas GALLOUET
    L'équation de Keller-Segel possède un comportement particulier : il existe une masse critique pour la condition initiale en dessous de laquelle les solutions sont régulières et existent pour tout temps positif, et au dessus de laquelle on observe la formation d'une ou plusieurs masses de Dirac, on parle alors d'explosion. Numériquement on observe que l'intensité de ces masses de Dirac, au temps d'explosion, est exactement la masse critique. Montrer que cette propriété est vraie est parfois appelé problème de quantification de la masse. Dans l'exposé nous définirons un modèle particulaire unidimensionnel possédant le meme comportement que l'équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhiberons une grande classe de condition initiales pour lesquelles la propriété de quantification de la masse est vraie.

  • Alexandre GIROUARD
    L'opérateur de Dirichlet-Neumann est un opérateur pseudo-différentiel agissant sur les fonction du bord d'un domaine. Son spectre, connu sous le nom de spectre de Steklov du domaine, est lié à la géométrie du domaine. Dans cet exposé, je survolerai les problèmes liés aux problèmes isopérimétriques et à l'optimisation de ses valeurs propres.

  • Clément JOURDANA
    Nous nous intéressons au transport électronique dans des nanostructures très fortement confinées. Un modèle purement quantique avec masse effective est utilisé dans la zone active du dispositif, couplé spatialement avec un problème de type drift-diffusion dans le reste du domaine. Les spécificités dues au très fort confinement ainsi que les conditions de connexion des deux modèles aux interfaces sont étudiées. Des simulations numériques illustrent l'intéret de cette approche pour un nanotube de carbone simplifié mais déjà significatif.

  • Ludovic METIVER
    L'inversion complète de formes d'ondes est une méthode dont le formalisme a été développé pour l'imagerie sismique, qui permet l'estimation quantitative haute résolution de paramètres physiques du sous-sol, comme la vitesses de propagation d'ondes de compression, celle des ondes de cisaillement, ou encore la densité ou l'atténuation. Elle est basée sur la minimisation de l'écart entre des données enregistrées et des données simulées par la résolution d'un problème de propagation d'ondes. Dans cet exposé, on s'intéresse particulièrement aux méthodes d'optimisation que l'on peut utiliser pour résoudre ce problème de minimisation non linéaire de grande taille. On présente notamment comment les méthodes de Newton tronquées peuvent permettre d'améliorer les estimations des paramètres du sous-sol par rapport aux méthodes de descente plus conventionnelles basées sur le gradient. Ceci est illustrée par plusieurs cas d'études basés sur des profils de sous-sol réels.

  • Emmanuel RUSS
    Dans cet exposé, on présentera des extensions d'un résultat de Bourgain-Brézis sur l'équation div(u)=f avec f appartenant à des espaces de Sobolev fractionnaires sur Omega ouvert de R^d. Il s'agit d'un travail commun avec P. Bousquet (Aix-Marseille) et P. Mironescu (Lyon I).

  • Dominique SPEHNER
    We study the dynamics of a Brownian quantum particle hopping on an infinite lattice with a spin degree of freedom. This particle is coupled to a free boson gas via a translation-invariant Hamiltonian which is linear in the creation and annihilation operators of the bosons. We derive the time evolution of the reduced density matrix of the particle in the van Hove limit in which we also rescale the hopping rate. This corresponds to a situation in which both the system-bath interactions and the hopping between neighboring sites are small and they are effective on the same time scale. The reduced evolution is given by a translation-invariant Lindblad master equation. (joint work with W. De Roeck).

  • Rachid TOUZANI
    Nous présentons un modèle mathématique permettant de décrire les dispositifs de torches à plasma inductives. Ceux-ci consistent à maintenir par effet Joule un plasma froid permettant d'analyser des échantillons de gaz. Le modèle mathématique couple les équations de Navier-Stokes compressibles avec les équations des courants de Foucault. Une méthode d'éléments finis/volumes finis est utilisée pour l'approximation numérique du système d'équations. Nous présenterons quelques résultats numériques.