Journées EDP Rhône–Alpes–Auvergne 2013

Saint-Étienne, 21-22 novembre 2013

En raison des intempéries, deux orateurs sur les treize initialement prévus n'ont pû se rendre aux Journées. De plus, l'ordre des exposés a dû être modifié.

Des transparents ou des notes sont disponibles pour la plupart des exposés.


Liste des orateurs



A. BERTHIER (Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie) résumé
E. BOUIN (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS de Lyon) résumé
L. BOURDIN (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS de Lyon) résumé
Y. COLIN DE VERDIÈRE (Institut Fourier, Université Grenoble 1) résumé
F. DABAGHI (Institut Camille Jordan, INSA de Lyon) résumé
L. DUPAIGNE (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1) résumé
T. GALLAY (Institut Fourier, Université Grenoble 1) résumé
J. GARNIER (Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie) résumé
E. OUDET (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble 1) résumé
Y-J. PENG (Laboratoire de Mathématiques, Université de Clermont-Ferrand) résumé
M. SANTACESARIA (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble 1) résumé
J. TUGAUT (Institut Camille Jordan, Université de Saint-Étienne) résumé
F. VECIL (Laboratoire de Mathématiques, Université de Clermont-Ferrand) résumé

Programme

Jeudi 21 novembre

Vendredi 22 novembre

Résumés et supports des exposés

Adeline BERTHIER (Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie)
Une nouvelle méthode pour la résolution de problèmes inverse en élasticité basée sur la méthode des éléments finis. Application à la caractérisation de la plaque d'athérome
Transparents

Ce travail s'inscrit dans la lignée des problèmes inverses en mécanique des milieux continus et plus précisément en élasticité. L'approche I-FEM (Inverse Finite Element Method) est basée sur la méthode des éléments finis. Les propriétés mécaniques (i.e. le module d'Young et le coefficient de Poisson) sont discrétisées aux nœuds de l'élément fini. Pour cela on a adapté la méthode des éléments finis étendus afin de modéliser la discontinuité des propriétés mécaniques. Le développement de ce nouveau code de calculs éléments finis sera présenté. La méthode sera illustrée par la présentation des cartographies d'élasticité de plaques d'athérome reconstruites avec succès.

Émeric BOUIN (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS de Lyon)
Étude de phénomènes de propagation pour des modèles cinétiques et structurés
Transparents

Il a été récemment mis en évidence que des modèles de type cinétique sont particulièrement adaptés pour décrire des mouvements collectifs au sein de populations. Dans cet exposé, on étudiera la construction d'ondes progressives de type réaction-diffusion pour un modèle cinétique pouvant décrire le mouvement de bactéries et dont la limite de diffusion est l'équation de Fisher-KPP. On présentera aussi une approche basée sur la théorie des équations d'Hamilton-Jacobi pour décrire une limite d'échelle hyperbolique dans un modèle structuré selon un trait phénotypique.

Loïc BOURDIN (Unité de Mathématiques Pures et Appliquées, ENS de Lyon)
Principe du Maximum de Pontryagin pour des problèmes de contrôle optimal non-linéaires posés sur time scale et en dimension finie.
En collaboration avec Emmanuel TRÉLAT (LJLL, Paris 6)
Transparents

Nous rappelons qu'un time scale \(\mathbb T\) est un sous-ensemble non vide et fermé de \(\mathbb R\). Un point right-scattered de \(\mathbb T\) est un point qui est isolé à droite dans \(\mathbb T\). Au contraire, un point right-dense ne l'est pas. Par exemple, \(\mathbb R\) est un time scale dont tous les points sont right-dense tandis que \(\mathbb Z\) est un time scale dont tous les points sont right-scattered.
Dans cette étude, nous présentons une version forte du Principe du Maximum de Pontryagin (PMP en abrégé) pour des problèmes de contrôle optimal non-linéaires posés sur time scale et en dimension finie. Ce résultat est issu de [1]. Le temps final peut être fixé ou non et les conditions de transversalité relatives aux conditions de bord considérées sont établies. La preuve est basée sur le principe variationnel d'Ekeland.
Ce résultat, accompagné de commentaires et de contre-exemples, montre clairement la distinction qui existe entre les points right-dense et les points right-scattered. En effet, en un point right-dense, une condition de maximisation du Hamiltonien est obtenue comme dans le cas classique continu. Par contre, en un point right-scattered, une condition plus faible est obtenue en termes de points critiques du Hamiltonien et de directions Ω-denses stables. Notre résultat, valable sur tout time scale, englobe en particulier les versions classiques continue et discrète du PMP.
Mots-clés : Principe du Maximum de Pontryagin, contrôle optimal, time scale, conditions de transversalité, principe variationnel d'Ekeland, variations aiguilles.
Référence:
[1] L. Bourdin et E. Trélat, Pontryagin Maximum Principle for finite dimensional nonlinear optimal control problems on time scales, accepté pour publication dans SIAM Journal on Control and Optimization (SICON) en 2013.

Yves COLIN DE VERDIÈRE (Institut Fourier, Université Grenoble 1)
Un théoréme ergodique semi-classique pour des métriques discontinues [d'aprés Jakobson, Safarov & Strohmaier].
Notes d'exposé

Un théorème classique, du à Schnirelman (1974), nous dit que les fonctions propres du laplacien d'une métrique riemannienne lisse sur une variété compacte dont le flot géodésique est ergodique se répartissent uniformément sur la variété dans la limite des grandes valeurs propres. Dans un preprint récent, Jakobson, Safarov et Strohmaier donnent une extension de ce résultat pour des métriques discontinues le long d'une interface prenant en compte la possibilité d'une réflexion ou d'une réfraction pour les géodésiques. Je présenterai ce résultat et un exemple d'application.

Farshid DABAGHI (Institut Camille Jordan, INSA de Lyon)
Quelques résultats mathématiques et numériques pour une équation des ondes monodimensionnelles avec une contrainte unilatérale au bord
En collaboration avec Adrien PETROV, Jérôme POUSIN et Yves RENARD.
Transparents

On considère une barre élastique homogène de longueur \(L\) vibrant longitudinalement. Une des extrémités de la barre est libre en déplacement, tant qu'elle ne touche pas un obstacle rigide, l'autre extrémité est fixée. Le problème mathématique peut être formulé comme une équation des ondes monodimentionnelles soumises à une condition limite unilatérale. On propose deux nouvelles preuves d'existence et d'unicité dans le cas d'une équation d'onde homogène et d'une équation d'onde non homogène. On introduit la méthode de redistribution de masse et on prouve sa convergence. Ensuite on propose une nouvelle solution analytique réguliere qui permet d'étudier numériquement plusieurs schémas en temps. Enfin, on présentera des courbes de convergence pour la discrétisation en temps et en espace du problème.

Louis DUPAIGNE
Autour de l'équation de Lane-Emden
Transparents

On s'intéresse aux questions de régularité et de classification des solutions d'une EDP elliptique nonlinéaire classique, l'équation de Lane-Emden. J'aborderai ensuite des variantes (équation de Liouville, laplacien fractionnaire, opérateur biharmonique, systèmes de Lane-Emden et de Liouville).

Thierry GALLAY (Institut Fourier, Université Grenoble 1)
L'équation de Navier-Stokes sur le cylindre \(\mathbb R \times \mathbb T\)
Preprint 1 Preprint 2

On connaît mal le comportement des solutions de l'équation de Navier-Stokes dans un domaine non borné du plan quand on ne fait aucune hypothèse sur la décroissance à l'infini du champ de vitesse et de la pression. En particulier, on ignore en général s'il est possible d'estimer la densité d'énergie uniformément en temps en termes de la densité d'énergie initiale. Je présenterai dans cet exposé un exemple particulier où ces questions peuvent être convenablement traitées, et où on peut en outre décrire précisément le comportement asymptotique en temps de toutes les solutions. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Sinisa Slijepcevic (Zagreb).

Jimmy GARNIER (Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie)
Conséquences de la propagation d'une espèce sur sa diversité génétique : une approche mathématique.
Transparents

Au cours de cet exposé, je m'intéresse à des équations de type réaction-dispersion. Je considère des termes de dispersion aussi bien locale comme le laplacien ou non locale comme les opérateurs de convolution. Les termes de réactions sont de deux types : monostables ou bistables. Le but de cet exposé est de présenter une nouvelle approche permettant de décrire la dynamique interne des solutions de ces équations se propageant en espace. Dans un premier temps, je m'intéresse aux fronts de propagation (traveling waves) dans le but d'introduire les notions de front poussé et front tiré. Dans un second temps, je présente des résultats concernant la nature tiré/poussé de solutions accélérées aparaissant dans les équations de réaction-dispersion non locales. Enfin, je montre comment cette approche mathématique permet de donner des renseignements sur les conséquences de la propagation d'une espèce sur sa diversité génétique.

Édouard OUDET (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble 1)
La contrainte de convexité en calcul des variations

L'optimisation sous contrainte de convexité est une problématique qui apparaît naturellement dans des contextes assez différents comme celui du transport optimal, de la géométrie convexe ou de la modélisation en économie. Après avoir rappelé les difficultés inhérentes à l'approximation numérique de ce type de contraintes, nous développerons une nouvelle discrétisation effective dont nous établirons la convergence. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Q. Mérigot.

Yue Jun PENG (Laboratoire de Mathématiques, Université de Clermont-Ferrand)
Stabilité d'états d'équilibre non-constants de systèmes d'Euler-Maxwell
Transparents

On considère les solutions régulières périodiques pour un système d'Euler-Maxwell modélisant des plasmas magnétisés. Le système est partiellement dissipatif et les états d'équilibre sont solutions stationnaires à vitesse nulle. Pour des données initiales au voisinage d'un état d'équilibre, on étudie l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. Une technique principale est l'utilisation d'un raisonnement de récurrence dans des estimations d'énergie.

Matteo SANTACESARIA (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble 1)
Les problèmes inverses de Calderon et de Gel'fand-Calderon en dimension deux
Transparents

Dans cette exposé je vais présenter des résultats concernant les problèmes de Gel'fand-Calderon et de conductivité inverse (problème de Calderon). Il s'agit de deux problèmes inverses de valeurs au bord avec différents applications, notamment dans le domaine médicale, géophysique et dans la tomographie océanique.
Le problème de Calderon consiste à déterminer une conductivité électrique dans un domaine à partir de l'opérateur tension-à-courant (Dirichlet-to-Neumann) au bord. Dans le problème de Gel'fand-Calderon la quantité à reconstruire est un potentiel dans l'équation de Schrodinger, étant donné l'opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à énergie fixée. Je vais présenter le premier résultat de stabilité globale en dimension deux pour le problème de Gel'fand-Calderon scalaire et multi-canal (matriciel). Ensuite je vais parler d'un algorithme de reconstruction stable et rapidement convergent pour le même problème dans le cas 2D multi-canal, avec applications à l'étude du problème en 3D. Comme derniers résultats je vais montrer des nouvelles estimations de stabilité globale pour les deux problèmes qui dépendent explicitement de la régularité et de l'énergie. J'expliquerai notamment comment la stabilité augmente à hautes énergies.

Julian TUGAUT (Institut Camille Jordan, Université de Saint-Étienne)
Convergence en temps long d'une diffusion de McKean-Vlasov
Notes d'exposé

Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.

Francesco VECIL (Laboratoire de Mathématiques, Université de Clermont-Ferrand)
Simulation déterministe d'un MOSFET de double grille par un solveur parallèle
En collaboration avec José Miguel MANTAS, Maria J. CÁCERES, Carlos SAMPEDRO, Andrés GODOY, Francisco GÁMIZ
Transparents

Le MOSFET de double grille est la base de tout dispositif électronique. Le passage à une échelle inférieure fournit plusieurs avantages, comme des économies de silicone et d'énergie ainsi que l'amélioration des performances. Dans la communauté des ingénieurs, sa simulation est réalisée en utilisant des solveurs de type Monte-Carlo, lesquels ont deux inconvénients principaux : le bruit numérique et le fait de ne pas décrire correctement les zones presque vides du dispositif.
Nous proposons un solveur déterministe pour les équations de Boltzmann-Schrödinger-Poisson. La contribution quantique est due au confinement des électrons le long de la dimension transversale. Le modèle étant cinétique, il est de dimension élevée, donc précis, mais en même temps coûteux. Pour cela, le code a été parallélisé par MPI (Message-Passing Interface) et LIS (Library of Iterative Solvers).
Nous présenterons les performances parallèles et une comparaison avec les résultats obtenus par une méthode de Monte-Carlo.