La théorie de Kolmogorov contenue dans ses 3 célèbres articles écrits en 1941 (K41) est le modèle de base pour la turbulence. On considère l'équation de Burgers stochastique en plusieurs dimensions, dans le cas potentiel périodique en espace. On obtient des estimations précises sur les solutions qui impliquent une description des propriétés à petite échelle des solutions dans le langage de la théorie K41.
On généralise des résultats unidimensionnels obtenus précédemment: la difficulté supplémentaire est la gestion du bilan d'énergie car outre la dissipation visqueuse et le terme source stochastique, on a maintenant un terme trilinéaire de signe non défini.
Le nombre de conditionnement \(\kappa_p(\underline x)\) d’une base ordonnée \(\underline x\) d’un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace \(L^p\), \(1\le p\le\infty\), mesure l’étendue de l’effet sur la fonction résultat des variations relatives dans les coefficients de la base. On considère une base ordonnée \(\underline x\) d’un espace vectoriel normé arbitraire de dimension finie et nous introduisons les nombres \(\kappa_{p,r}(\underline x)\), \(1\le p, r\le\infty\) qui controlent la proximité de la dépendance linéaire deséléments de la base aussi bien que le risque de overflow/underflow pendant les calculs. Ces nombres sont définis en termes de la norme deséléments de la base et de la norme deséléments de la base duale ordonnée correspon- dante. Nous définissons des stratégies de changement d’échelle optimales. Nous explorons les effets produits par des transformations matricielles sur ces nombres. Si \(\underline x\) est une base ordonnée d’un espace avec produit scalaire, alors \(\kappa_{p,r}(\underline x)\) peut être calculé de manière explicite en termes des coefficients diagonaux de la matrice de Gram correspondant à la base \(\underline x\) et les coefficients de son inverse. Nous définissons enfin un nombre de conditionnement de \(\underline x\) relatif au problème du calcul la base duale ordonnée et nousétablissons les relations existantes avec \(\kappa_{p,r}(\underline x)\), où \(\frac1p+\frac1q = 1\). Ce nouveau nombre de conditionnement joue un rôle décisif dans la convergence des méthodes de raffinement itératif des bases de sous-espaces spectraux maximaux d’opérateurs en dimension infinie.
Dans cet exposé nous nous intéresserons à la perturbation d’un système différentiel par un bruit. Telles perturbations régularisent le système, au sens où elles permettent de s’affranchir du cadre usuel du Théorème de Cauchy-Lipschitz pour la résolubilité : l’existence et l’unicité (ici forte) d’une solution. La régularisation (au sens défini ci-dessus) d’un système différentiel par la perturbation de sa dynamique remonte au travail fondateur de Zvonkin en 1974. Depuis, de nombreux travaux ont étendu ce résultat et il est possible de montrer qu’un système différentiel aléatoire ayant une dérive seulement mesurable et bornée est fortement résoluble lorsque le bruit du système ne dégénère pas. Ces résultats reposent sur l’étude de l’EDP associée et plus particulièrement sur les propriétés de régularisation des opérateurs linéaires différentiels du second ordre à matrice de diffusion uniformément elliptique. Dans le cas considéré, le bruit est dégénéré et seulement hypoelliptique : la perturbation aléatoire n’agit que sur la dérive du système. Nous verrons que le bruit régularise encore le système, mais que la dégénérescence conduit à l’apparition d’un exposant critique pour la régularité Hölder de la dérive. La preuve repose sur l’exhibition d’une “bonne” théorie de régularisation pour un noyau Gaussien dégénéré.
Addressing PDE problems that involve moving boundaries is a delicate issue since the geometry of the domain can make part of the unknowns and can generate strong nonlinearities.
Simulating this kind of situations could lead to consider moving computational domains; Instead of that, we use finite element formulations with a fictitious domain approach for which the boundary does not fit to the mesh: the goal is to change the less things we need when the boundary moves through the time.
The method we present here has been first introduced in [1] for the Poisson problem and then adapted in [2] and [3] for the Stokes and Navier-Stokes problems. A first illustration is the unsteady displacement of a solid immersed in a viscous incompressible fluid. An other illustration of this class of methods lies in an algorithmic framework. For instance, for solving numerically an inverse problem, the iterative update of an interface does not necessitate to re-mesh the whole domain. It leads to a gain of time computation and resources. We will take a look at an inverse problem consisting in recovering information (position, shape) on a crack responsible for displacement discontinuities inside a volcano. The data we have are measurements on the surface of the volcano.
On décrit la construction d’une marche quantique aléatoire sur un arbre homogène de degré 3 décrivant la dynamique discrète d’une particule quantique avec spin dans \(\mathbb C^3\), sautant sur les sites voisins de l’arbre, en présence de désordre statique. L’opérateur d’évolution aléatoire correspondant, \(U(C)\), dépend d’une matrice unitaire \(C\) dans \(U(3)\) qui module, dans un certain sens, l’intensité du désordre. On mettra alors en évidence une transition spectrale, de pure point à absolument continu, pour l’opérateur d’évolution aléatoire \(U(C)\) en fonction de \(C\).
Un ensemble minimal est un ensemble fermé (dans un espace euclidien) dont la mesure ne peut être diminuée par aucune déformation lipschitzienne à support compact. Cette notion a été inventée par Almgren pour donner un modèle raisonnable pour le problème de Plateau, dont le but est de comprendre le comportement des objets physiques qui admettent certains propriétés de minimmalité, tels que les films de savon. Nous allons introduire quelques définitions de base, des exemples et des faits sur les cônes et ensembles minimaux, ainsi que des résultats et des problèmes ouverts.
Simona MANCINI Modélisation des potentiels d'action piégées dans des puits de potentielPartant d'un système d'équations différentielles stochastiques modélisant l'activité de deux populations de neurones en interaction, nous étudions l'équation de Fokker-Planck associée. Nous ne connaissons pas à priori l'expression de l'état stable, puisque le terme de convection dans l'e.d.p. n'est pas le gradient d'un potentiel \(V\). Ceci cause plusieurs problèmes et d'un point de vue analytique, que numérique, mais surtout pour le calcul de densités à l'équilibre et des temps de sortie de potentiels d'actions des puits. Nous verrons comment, une réduction de la complexité du modèle stochastique, basée sur le caractère lent-rapide du système d'e.d.s. initiale, aide à contourner ces problèmes.
Dans l'exposé, nous étudierons un cas particulier d'équations de Navier-Stokes incompressible, dans lequel la rhéologie dépendra d'un paramètre évoluant lui-même selon une loi de transport diffusif au cours de l'écoulement. Après une introduction des motivations du modèle, nous regarderons en détail les difficultés liée à la preuve de l'existence d'une solution sur n'importe quel intervalle de temps.
Etant donnée une surface compacte, on traitera d'une vieille question classique (depuis les travaux de Yang et Yau dans les années 80) sur la suite des valeurs propres du Laplacien : existe-t-il une métrique riemannienne (régulière) qui maximise la k-ème valeur propre sur cette surface ? On montrera également le lien entre ce problème et les immersions minimales de surfaces dans des sphères.
This talk is based on a recent joint work with Dorin Bucur, Dario Mazzoleni and Aldo Pratelli, in which we study the regularity up to the boundary of the eigenfunctions on the optimal sets \(\Omega^\ast\subset\mathbb R^d\), solutions of the shape optimization problem
\[
min\left\{F(\lambda_1(\Omega),\cdots,\lambda_k(\Omega))\right\},
\]
where \(F :\mathbb R^k\to\mathbb R\) is a Lipschitz continuous function strictly increasing and bi-Lipschitz in each variable and \(\lambda_1(\Omega),\cdots,\lambda_k(\Omega)\) are the first \(k\) eigenvalues of the Dirichlet Laplacian on \(\Omega\). The main result is the global (on \(\mathbb R^d\)) Lipschitz regularity of the eigenfunctions \(u_1,\ldots,u_k\in\text{H}^1_0(\Omega^\ast)\) of the Dirichlet Laplacian on the optimal set \(\Omega^\ast\).
We will concentrate our attention on the special case
\[F(\lambda_1(\Omega),\cdots,\lambda_k(\Omega))=\lambda_k(\Omega).\]
Denoting with \(u_k\) the \(k\)-th eigenfunction on the optimal domain \(\Omega_k\)
\[
-\Delta u_k=\lambda_k(\Omega_k)u_k\text{ in }\Omega_k,\quad u_k = 0 \text{ on }\mathbb R^d\setminus\Omega_k,
\]
we will prove that \(u_k\) is Lipschitz continuous on \(\mathbb R^d\) by estimating the gradient \(|\nabla u_k|\) on the free boundary \(\partial\Omega_k\). The main difficulty comes from the fact that in the case of multiple eigenvalues \(\lambda_k(\Omega_k)=\lambda_{k-1}(\Omega_k)\) one cannot obtain an optimality condition involving only one prescribed eigenfunction \(u_k\). This forces us to use an approximation argument with optimal sets for functionals of the form \((1 −\varepsilon)\lambda_k + \varepsilon\lambda_{k−1}\) and then search for uniform bounds on the gradients of the \(k\)-th eigenfunctions.
Pour l'équation d'onde ou de Klein-Gordon, on pose un problème de Cauchy caractéristique en spécifiant comme donnée initiale la trace sur un cône de lumière (problème de Goursat). Je vais demontrer comment le problème de Cauchy caractéristique se résout dans l'intérieur d'un cône d'un espace-temps globalement hyperbolique pour des données dans des espaces de Sobolev adaptées. Un argument clé permet de se réduire à un cas déjà étudié par Hörmander, où les données initiales ont un support compact. Je vais ensuite presenter des applications en théorie des champs, où il est essentiel de construire des solutions avec un front d'onde spécifique. (collaboration avec Christian Gérard).