Dans cet exposé, on prouve l'existence d'une solution auto-similaire pour l'équation de Boltzmann dissipative en dimension 1 associée à un potentiel dur. Cette preuve passe par l'étude du problème de Cauchy associé à cette équation et du comportement des moments des solutions de cette équation. Ceci constitue une première étape dans l'étude du comportement en temps grand des solutions de cette équation.
Dans cet exposé je vais présenter quelques idées concernant l'optimisation des valeurs propres des opérateurs Steklov, Wentzell et Laplace-Beltrami en rapport avec la géométrie des domaines. D'abord je présente une méthode de calcul basée sur des solutions fondamentales. Dans certains cas, assez généraux, on peut obtenir une précision importante pour un temps de calcul très court avec la possibilité d'estimation exacte de l'erreur. J'utilise ensuite ces outils pour étudier numériquement quelques problèmes d'optimisation de formes concernant les spectres des opérateurs ci-dessus.
We consider a mathematical model which describes the motion of a fluid gouverned by 3D Unsteady Navier-Stokes System, where the temperature-depend viscosity, and subject to mixed boundary on one part and Coulomb's friction Law on the other part. The regularized friction law is modelled with a memory term. We presente the variational problem, list the assumptions on the data to derive the existence and the uniqueness results of the velocity and the pressure of the fluid in in adequate functional spaces.
L’équation de croissance fragmention est une EDP décrivant l’évolution au cours du temps d’une population qui croît et se divise relativement à une variable (dite structurante). La variable structurante de chaque phénomène modélisé mais l'équation apparaît dans la modélisation de nombreux phénomènes comme la division cellulaire par exemple. Il est connu que la population croît exponentiellement et tend vers un profil fixe après renormalisation. On s’intéresse au problème de trouver le taux de division à partir des mesures expérimentales de l’état stationnaire. Ce problème inverse est mal posé et nécessite une régularisation. Le problème revient alors à inverser un opérateur intégral, ce qui peut être fait grâce à la transformation de Mellin si le noyau de fragmentation dépend seulement du rapport des tailles mère/enfant. Sous cette hypothèse on construit on peut estimer la densité de la population en division. On applique cette méthode à de réelles données biologiques d'une expérience de croissance et fission.
We consider a stochastic model of population dynamics where each individual is characterized by a natural birth rate, a logistic death rate due to age or competition and a probability of mutation at each birth event. Our trait space is finite and we choose parameters such that the induced fitness landscape consists in a double-well : mutant individuals with negative fitness have to be created in order for the population to reach a trait with positive fitness. We focus on the limit of large population and rare mutations with the aim of creating a metastability framework : for a well chosen speed of convergence, the exit time of the double-well is random and its law can be explicitely computed. This is a work in progress in collaboration with Anton Bovier (Bonn University).
Le problème de la répartition optimale de matériaux élastiques au sein d'une structure fixe a longtemps été au coeur des préoccupations en conception de structures, et a motivé l'élaboration d'outils mathématiques nouveaux (par exemple, en homogénéisation). Dans cet exposé, on s'intéresse à l'impact de la géométrie de l'interface entre plusieurs phases aux propriétés élastiques différentes sur la performance de la structure globale. L'un des problèmes majeurs est que les dérivées de formes impliquées font intervenir les sauts de quantités discontinues à travers cette interface, qui sont très difficiles à évaluer numériquement avec précision. Pour pallier cette difficulté, on propose un modèle approché, où l'interface "sèche" entre les différents matériaux est "étalée" en une bande d'épaisseur fixe (et petite). Ce changement de point de vue s'appuie sur l'utilisation de la fonction de distance signée, et implique l'étude de sa dépendance par rapport au domaine lui-même. Bien que plus complexe au premier abord, ce nouveau modèle donne lieu à des dérivées de formes plus faciles à utiliser en pratique. On peut montrer qu'il est consistant avec son pendant à "interface sèche". De plus, ce modèle jouit d'un intérêt propre, par exemple pour la modélisation d'interfaces non monotones. Plusieurs exemples numériques sont proposés, qui permettent d'évaluer les performance de l'analyse présentée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Allaire (CMAP), G. Delgado (CMAP & EADS) et G. Michailidis (CMAP & Renault).
Dans cet exposé on s'int\'eresse à des opérateurs hyperboliques dont les coefficients sont peu réguliers. En particulier, on considère le cas des équations des ondes scalaires et des systèmes du premier ordre. C'est bien connu que des hypothèses de régularité plus faibles que celle de Lipschitz, en général, comportent une détérioration des propriétés des solutions pendant l'évolution temporelle. Alors, le problème de Cauchy peut être bien posé seulement dans l'espace $H^\infty$, avec une perte d'un nombre fini de dérivées. Ici on va voir comment améliorer ce résultat pour des conditions du deuxième ordre (conditions de Zygmund) sur les coefficients, qui sont moins régulières que celles de Lipschitz.
Les opérateurs montones sont des objets mathématiques très populaires via l'algorithme du point proximal qui possède de vastes applications en optimisation ou en approximation des inclusions différentielles. Ajouter un terme de relaxation ou d'inertie à un opérateur peut permettre d'accélerer la convergence de l'algorithme du point proximal associé. Un exemple populaire d'une telle modification est l'accélération de Nesterov pour l'algorithme du gradient, qui a récemment été interpreté comme l'ajout d'un terme d'ordre deux dans une inclusion différentielle. Cet exposé présente les principaux résultats théoriques mais aussi les dernières applications pratiques associées à la relaxation et l'inertie et leurs applications.
Nous considérons des corps rigides se déplaçant sous l'influence d'un fluide visqueux et nous étudions l'asymptotique quand la taille des solides tend vers zéro. Si les solides rétrécissent vers "des particules ponctuelles massives", on obtient la convergence vers la solution des équations de Navier-Stokes. Dans le cas de "particules ponctuelles sans masse", l'égalité d'énergie n'est plus suffisante pour obtenir une estimation uniforme sur la vitesse du solide. Notre remarque initiale est que le problème de petit obstacle est lié au comportement en temps long des équations de Navier-Stokes (via l'invariance par changement d'échelle). Par conséquent, nous établirons les estimations L^p-L^q pour les équations linéarisées, puis nous les appliquerons pour traiter une particule sans masse ponctuelle. Ces travaux sont en collaboration avec S. Ervedoza, M. Hillairet et T. Takahashi.
On s'intéresse à un opérateur linéaire sous forme divergence dont les coefficients sont aléatoires. A grand échelle, cet opérateur se comporte essentiellement comme un opérateur à coefficients constants, "homogénéisés". Je décrirai une nouvelle approche permettant de quantifier ce résultat. Travail en collaboration avec Scott N. Armstrong et Tuomo Kuusi.
We explore a direct method allowing to solve numerically inverse type problems for hyperbolic type equations. We first consider the reconstruction of the full solution of the equation posed in Ωx(0,T) - Ω a bounded subset of ℝⁿ - from a partial distributed observation. We employ a least-squares technic and minimize the L²-norm of the distance from the observation to any solution. Taking the hyperbolic equation as the main constraint of the problem, the optimality conditions are reduced to a mixed formulation involving both the state to reconstruct and a Lagrange multiplier. Under usual geometric optic conditions, we show the well-posedness of this mixed formulation (in particular the inf-sup condition) and then introduce a numerical approximation based on space-time finite elements discretization. We show the strong convergence of the approximation and then discussed several examples for n=1 and n=2. The reconstruction of both the state and the source term is also discussed, as well as the boundary case as well as the parabolic case. Joint works with Nicolae Cindea and D. Araujo de Souza.
Nous verrons comment des modèles récents provenant de l’imagerie médicale conduisent à des problèmes inverses originaux. C’est méthodes dites hybrides, augmentent considérablement la résolution de méthodes classiques mal posées. L’utilisation d’une transformée géométrique intégrale, permet de construire une donnée interne au domaine de recherche à partir de laquelle une reconstruction quantitative du paramètre recherché est possible. Cette reconstruction fait intervenir un couplage non linéaire d’EDP classiques. Non montrerons que les reconstructions restent possibles et stables dans certains espaces de fonctions discontinues ce qui est essentiel pour les applications médicales.