Le but de mon exposé sera de présenter quelques inégalités fonctionnelles importantes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles lorsque l'on désire prendre en compte certaines hétérogénéités : estimations à poids, estimations de type log-Sobolev en autres. On discutera plus particulièrement de quelques systèmes issus de la géophysique ou de la dynamique des gaz.
Je commencerai par rappeler le rapport entre certaines EDPs bien connus (équation d'Euler pour les fluides incompressible par exemple) et certaines structures géométriques sur le groupe des difféomorphismes. Je présenterai ensuite quelques résultats sur des systèmes de contrôles invariants à droite sur un tel groupe. En particulier, je donnerai un résultat de contrôlabilité, ainsi que les équations Hamiltoniennes suivis par les flots optimaux dans de tels systèmes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Emmanuel Trélat.
On présentera des résultats concernant la simulation des déformations d'édifices volcaniques en présence de fracture. Une méthode numérique de type domaines fictifs sera présentée et illustrée. Ces travaux ont été réalisés dans le cadre d'une collaboration avec des géophysiciens (labex Clervolc). Les perspectives de ce travail, concernant le problème inverse seront présentées en fin d'exposé.
On présente des modèles de plaques minces avec inclusions piézoélectriques périodiquement distribuées munies de dispositifs électroniques élementaires. Il y a donc deux petits paramètres, l'épaisseur de la plaque et la dimension caractéristique des céramiques, qu'on fait tendre vers 0. Les équations de départ sont celles de l'élasticité et de la piézo-électricité dans leurs versions linéaires et statiques. On utilise un mélange de théorie des plaques de de convergence à deux échelles pour obtenir des modèles limites quand les deux petits paramètres tendent vers 0.
We present a parallel version of a second-order cut-cell scheme for the numerical simulation
of two-dimensional incompressible flows past obstacles. The cut-cell method is based on the MAC scheme on
cartesian grids and the solid boundary is embedded in the computational mesh. Classical second-order centered
schemes are applied in mesh cells which are sufficiently far from the obstacle. In the mesh cells cut by the
obstacle, first-order approximations are used. A global second-order accuracy is recovered. The time
discretization is achieved with a projection scheme.
Due to the presence of solid boundaries, the linear systems are non-symmetric but the stencil remains compact
as in the classical MAC scheme. They are solved by a direct method based on the capacitance matrix method
combined with discrete Fourier transforms (DFT) in the direction tranverse to the mean flow. The computational
grid is splitted in the x-direction so that the DFTs are local to the MPI processes. A divide and conquer
approach is applied to solve the tridiagonal systems whose solutions correspond to datas distributed accross
all the MPI processes. The efficiency and robustness of the method are supported by numerical simulations of
2D flows past a circular cylinder at Reynolds number 9500 on grids with up to 212 millions of points.
Good agreement with published results is obtained.
Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés au modèle Shallow Water multicouches, en vue d'applications en océanographie grande échelle. Deux critères sont essentiels dans de tels régimes, à savoir la décroissance de l'énergie mécanique (schémas entropiques) et la consistance avec les régimes Bas-Froude observés au niveau continu (schémas Asymptotic-Preserving). Nous verrons comment, à partir d'une réinterprétation du modèle au niveau continu, nous parvenons à établir ces deux propriétés dans divers environnements (explicite, semi-implicite, mailles décalées).
In this work, we propose to formulate the Ambrosio-Tortorelli approximation of the Mumford-Shah functional using the full framework of Discrete Calculus, which is able to sharply represent discontinuities thanks to a more sophisticated topological framework. We present our proposed formulation, its resolution, and results on synthetic and real images. We show that we are indeed able to represent sharp discontinuities and as a result significantly better stability to noise, compared with finite difference schemes. (joined work with J.-O. Lachaud and H. Talbot).
Dans cet exposé, je présenterai une classe de schémas capable de capter les asymptotiques dites de "diffusion anormale" des équations cinétiques. Après avoir expliqué formellement comment de telles limites sont obtenues, je proposerai des schémas numériques basés sur des approches classiques pour les schémas AP dans le cas de l'asymptotique de diffusion mais modifiés pour pouvoir capturer numériquement les limites de diffusion anormales. Les propriétés des schémas seront illustrées par des tests numériques.
En présence d'un champ de Killing de translation, les équations d'Einstein dans le vide en dimension 3+1 se réduisent aux équations d'Einstein en dimension 2+1 couplées à une équation d'onde. L'espace-temps de Minkowski en dimension 3+1 est une solution de ce problème, et il est donc naturel de s'intéresser à sa stabilité dans ce cadre. Le taux de décroissance des solutions de l'équation des ondes est plus faible en dimension 2+1 qu'en dimension 3+1, ce qui introduit des difficultés nouvelles par rapport au résultat pionnier de Christodoulou et Klainerman sur la stabilité de l'espace-temps de Minkowski, et au résultat de Lindblad et Rodnianski sur cette même stabilité en coordonnées d'ondes. En revanche, en dimension 2+1, il va être possible de travailler dans des coordonnées d'ondes généralisées qui permettent d'écrire les équations d'Einstein comme un système d'équations d'ondes présentant une structure nulle faible cubique.
Je présenterai quelques résultats que j'ai obtenus récemment en collaboration avec José Antonio Carrillo, François Delarue, François James et Nicolas Vauchelet. Ils concernent des équations d'agrégation, qui sont des équations de transport, conservatives, où le champ de transport est obtenu par convolution de la solution elle-même (l'équation étant donc non linéaire) par le gradient d'un potentiel qui peut n'être pas régulier. Nous verrons que les problèmes de Cauchy associés à ce type d'équations sont bien posés, en un sens proposé par Poupaud et Rascle, en se basant sur la théorie des EDO de Filippov. Nous verrons ensuite que ces solutions, non régulières (mesures bornées), s'approchent bien (à l'ordre 1/2 en le pas du maillage) par des schémas diffusifs, en distance de Wasserstein.
In this this talk we shall discuss the large-time asymptotic behavior of the solution to a Cauchy problem governed by a linear transport equation arising in neutron transport theory. The existence and uniqueness of the solution follow from the Hille-Yosida theorem. Since this approach is not constructive, our objective here is to discuss the properties of the solution via the spectral properties of the transport operator and those of its associated strongly continuous semigroup.
On étudie la problématique de collisions de filaments tourbillonnaires dans les fluides en dimension trois, à partir d'un système d'équations introduit par Klein, Majda et Damodaran. Pour des configurations symétriques de filaments, le système se ramène à une seule équation dispersive, pour laquelle on démontre l'existence d'une collision auto-similaire en temps fini. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Valeria Banica et Erwan Faou.
Recovering structures in images from lowpass and noisy measurements is a challenging issue of image processing. In this lecture, I will present a new convex formulation for the problem of recovering lines in degraded images. This optimization problem is formed by the combination of a data fidelity term and a norm-based regularizer which favors some notion of complexity. By choosing the atomic norm as penalty, we enforce the solution to be expressed in terms of atoms, lying continuously on a infinite dictionary, namely the set of line parameters. This parsimonious model enables the reconstruction of the lines from lowpass measurements, even in presence of a large amount of noise or blur. We solve the optimization problem by means of a recent primal-dual algorithm. Furthermore, a Prony method performed on rows and columns of the restored image, leads to a spectral estimation of line parameters, with subpixel accuracy. This approach is able to provides a lines estimation procedure with infinite precision, where the Hough and the Radon transform fail, due to their discrete nature. Our work is part of the super-resolution methods, which achieve this goal of recovering fine scale information lost in the data, beyond the Rayleigh or Nyquist resolution limit of the acquisition system. This kind of techniques have been intensively exploited to reconstruct 1D sparse signals like spikes, but not yet for 2D elongated structures like filaments, neurons and veins, which motivates the present work.
Dans cet exposé on s’intéresse à l'approximation numérique des ondes progressives qui dérivent d'un modèle consistant à une équation cinétique pour le mouvement biaisée des cellules suite à un processus run-and-tumble couplé avec deux équations de réaction-diffusion pour les signaux chimiques. La construction du schéma well-balanced fondé sur des solutions élémentaires de Case est présente. Des simulations numériques montrent la précision du schéma et sa capacité à capter des ondes progressives.