Ce travail porte sur les effets d’une jonction de fils sur la stabilité des murs. On considère un fil ferromagnétique infini sur lequel on branche perpendiculairement un fil fini. Les variations de l’aimantation au cours du temps sont décrites sur chaque fil par l’équation de Landau Lifschitz couplé par des conditions sur la jonction et la condition de Neumann homogène sur le bord (voir [1]).
Dans un premier temps, on cherche les solutions stationnaires, puis on étudie la stabilité de certaines d’entre elles en utilisant la technique du repère mobile développée par G. Carbou et S.Labbé (voir [4]). On conclut que les profils des murs sont fixés par la jonction.
[1] Sergiy M. Bokoch, Gilles Carbou, Stéphane Labbé, Circuits ferromagnetic of nano wires, in preparation.
[2] William F. Brown, Micromagnetics, Wiley, New York, 1963.
[3] Gilles Carbou and Stéphane Labbé, Stabilization of Walls for Nano-Wires of Finite Length, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 18 (2012), no. 1, 1–21.
[4] Gilles Carbou and Stéphane Labbé, Stability for static walls in ferromagnetic nanowires, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 6 (2006), no. 2, 273–290.
Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi_\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine $\{z : \phi_\lambda(z) > 0\}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés.
Nous étudions un système d'équations aux dérivées partielles 1D couplées modélisant l'évolution d'une couche d'oxyde sous l'effet de la corrosion. Il s'agit d'EDP de type parabolique (lois de Fick) pour l'évolution de la concentration des espèces chimiques, ainsi que d'une équation elliptique sur le potentiel électrostatique. Ces équations sont couplées à plusieurs niveaux : les coefficients des équations de diffusion dépendent du potentiel électrostatique, et surtout un couplage non-linéaire intervient au niveau des conditions aux limites. Une discrétisation par la méthode des volumes finis est proposée, analysée et implémentée, les résultats numériques montrent l'efficacité de cette méthode.
Dans cet exposé je discuterai d'un récent travail avec P. B. Mucha (Varsovie - Pologne) et E. Zatorska (Imperial College - RU) concernant l'existence de solutions à la Leray pour un système de Stokes compressible bi-fluides avec une seule vitesse et avec fermeture algébrique pour la loi de pression. Le système semble hors d'atteinte par l'approche classique développée en dimension 2 ou 3 d'espace par Lions-Feireisl. Nous montrerons comment adapter une nouvelle méthode de compacité développée en collaboration avec P.-E. Jabin (Maryland - USA) dans le cadre d'un écoulement mono-fluide compressible afin de montrer la stabilité faible. Nous discuterons également de la construction de solutions approchées par formulation Lagrangienne, troncature et résultats de stabilité de trajectoires pour des champs de vitesse peu réguliers.
Nous considérons la limite α->0 dans un fluide de grade deux sur un domaine borné avec des conditions aux limites de Dirichlet. Dans le cas de la viscosité nulle nous montrons la convergence vers une solution de l'équation d'Euler en dimension deux. Dans le cas de la viscosité non nulle nous montrons la convergence vers l'équation de Navier-Stokes en dimensions deux et trois.
The aim of this talk is to compare numerical properties of a standard finite differences scheme for the approximation of boundary controls of a one-dimensional Euler-Bernoulli beam equation, with respect to different boundary conditions. We also consider the situation of a slightly different beam model, namely the Mindlin-Timoshenko beam equation.
It is well known that, due to the high frequency spurious oscillations, the numerical controllability of hinged beam equation inherits the difficulties appearing for the wave equation with Dirichlet boundary controls. This similitude is a consequence of the correlation of the spectral properties of continuous and discrete operators governing both equations and we can employ the same strategies to obtain the uniform controllability (filtering, adding numerical viscosity, etc.)
In a joint work with Ionel Roventa and Sorin Micu, we consider the approximation of boundary controls for a clamped beam equation. The main difference, with respect to the hinged beam equation, is that the continuous and discrete operators governing the clamped beam equation are not anymore obtained as the square of the Dirichlet Laplacian and as the square of its discretization, respectively. Hence, the spectral properties of these operators are essentially different, with some consequences on the uniform controllability of the semi-discrete system. The spectral properties of the operator governing the Mindlin-Timoshenko beam equation are different to the one of the Euler-Bernoulli equation even at the continuous level.
Cet exposé aura pour objectif la description de phénomènes de propagation de solutions de l'équation de Schrödinger sur la droite réelle, et cela, asymptotiquement en temps. L'approche proposée est inspirée du principe physique de vitesse de groupe pour un paquet d'ondes et repose techniquement sur des applications précises de méthodes de phase stationnaire pour des intégrales oscillantes. Nous montrerons que la solution de l'équation de Schrödinger libre tend à se localiser dans un cône de l'espace-temps dès que la donnée initiale est localisée dans une bande de fréquences et que la présence d'une fréquence singulière affecte le taux de décroissance temporelle de la norme $L^{\infty}$ de la solution. La méthode utilisée permettra également d'étudier l'influence des fréquences d'un potentiel sur le comportement asymptotique en temps du paquet d'ondes issu de la première interaction entre la solution libre et le potentiel.
L'étude des écoulements de films minces de fluides newtoniens repose souvent sur des modèles résultant d'une moyennisation sur la profondeur des équations de la mécanique des fluides. Plusieurs modèles consistants à deux équations ont été proposés, reposant d'une part sur la conservation de la masse et d'autre part soit sur le bilan de quantité de mouvement soit sur le théorème de l'énergie cinétique. En étudiant systématiquement les propriétés linéaires et non-linéaires de ces modèles, nous proposons un modèle à deux équations qui semble optimal. Cependant, nous montrons que tous les modèles consistants à deux équations présentent des incohérences et une contradiction fondamentale. Cette contradiction ne peut être résolue qu'avec des modèles à trois équations relatives à la masse, à la quantité de mouvement et à l'énergie, qui constituent le cadre théorique adapté pour ces systèmes.
En mécanique des fluides, le nombre de Mach est un nombre sans dimension qui exprime le rapport de la vitesse locale d'un fluide à la vitesse du son dans ce même fluide. Lorsque ce nombre est très petit, les compressions dues aux variations de pression peuvent être négligées, et l'écoulement peut être considéré, en première approximation, comme étant incompressible.
D'un point de vue théorique, de nombreuses recherches ont pour objectif de justifier rigoureusement la transition d'un écoulement à nombre de Mach strictement positif, c'est-à-dire compressible, vers un écoulement à nombre de Mach nul, c'est-à-dire incompressible.
D'un point de vue applicatif, peuvent intervenir, dans de nombreuses configurations industrielles, des transitions entre un écoulement incompressible ou faiblement compressible vers un écoulement fortement compressible. C'est le cas par exemple lorsque l'on étudie des situations accidentelles dans le domaine de la sûreté nucléaire. Il est alors essentiel de disposer de méthodes numériques permettant de simuler des écoulements à tout nombre de Mach.
Depuis quelques années, un effort important a été consacré au développement de schémas pour la simulation numérique des écoulements compressibles sur mailles décalées, c'est-à-dire s'appuyant sur une discrétisation en espace (structurée ou non) des variables scalaires au centre des mailles et des vitesses aux faces de celles-ci. Outre leur simplicité et leur efficacité (les flux numériques sont très aisés à construire), ces schémas présentent l'intérêt suivant : si l'on suppose la masse volumique constante, ils dégénèrent vers un algorithme standard (et éprouvé) pour l'incompressible. En particulier, la discrétisation en espace garantit le contrôle de la pression en norme L^2 par le contrôle de son gradient en norme H^{-1} (propriété dite inf-sup discrète). Dans cet exposé, nous nous plaçons dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles barotropes, et démontrons que la convergence vers le schéma pour l'incompressible est réellement obtenue: à maillage fixé, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la masse volumique tend effectivement vers une constante maille par maille. L'analyse présentée ici adapte au niveau discret la théorie développée dans le papier de Lions et Masmoudi (1998) au niveau continu pour les solutions faibles. Elle s'étend à deux discrétisations en temps différentes, qui ont pour résultat de découpler les équations en faisant apparaître un problème elliptique discret pour la pression. Ce sont ces schémas qui ont un intérêt en pratique ; l'un d'entre eux est utilisé quotidiennement dans le logiciel P2REMICS de l'IRSN, pour la simulation des déflagrations en phase gazeuse (explosion d'hydrogène).
La dynamique des fluides compressibles non visqueux met en jeu un tenseur symétrique positif à divergence nulle (DPT). On établit des estimations optimales pour les DPTs, dans le cas périodique ou dans un domaine borné. On en déduit de nouvelles estimations pour les équations d'Euler ou celle de Boltzmann. Celles-ci mettent en jeu une intégrale en espace et en temps, contrairement aux estimations classiques (masse, énergie). La partie théorique sur les DPTs touche à d'autres domaines aussi divers que l'homogénéisation, l'inégalité isopérimétrique ou l'inégalité de Gagliardo.
We will review the issue of the relation between the effective equations of kinetic theory and their microscopic counterpart based on fundamental models of interacting particles. A systematic method, relying on propagation of chaos, can be developed to derive several types of equations. Considering Boltzmann as paradigmatic case, we will discuss in detail the notion of chaos and its delicate implications.
On s'intéressera à l'équation de Moser-Trudinger en dimension 2, c'est à dire à l'équation d'Euler-Lagrange associée à l'inégalité de Moser-Trudinger critique avec une nonlinéarité de type exp(u^2) (travail en collaboration avec Olivier Druet). On donnera en introduction quelques motivations variationnelles de ce problème ainsi que les principaux résultats existants. Il est maintenant établi que la quantification des défauts de compacité est fausse pour les suites de Palais-Smale associées à cette équation. Cependant, concernant les solutions de cette équation, nous avons obtenu des asymptotiques ponctuelles précises des pertes de compacité. L'analyse de ce premier travail permet notamment de montrer que les bulles ne peuvent pas s'accumuler et que les pertes de compacité arrivent à des niveaux d'énergie bien identifiés. On expliquera enfin comment ce résultat permet de comprendre d'une manière globale les propriétés d'existence de solutions pour cette équation, même quand l'énergie est bien au dessus du premier niveau de perte de compacité