# Correction de la feuille TP 4

######################
# Variables continues
######################

# Exercice 1

# 1.1
dexp(x,lambda) #densité
pexp(x,lambda) #fonction de répartition
#etc.

# 1.2
lambda=1/8
qexp(0.999,lambda) #pour voir jusqu'à quelle valeur tracer la densité
x=seq(0,60,length=100)
plot(x,dexp(x,lambda))
plot(x,pexp(x,lambda))
#1.3
1-pexp(15,lambda)
exp(-15*lambda)

# Exercice 2

# 2.1
dnorm(x,mean=m,sd=s) #etc.

# 2.2
m=10
qnorm(0.999,m,3)
pnorm(20,m,3)-pnorm(0,m,3) #pour déterminer jusqu'à quelle valeur tracer les densités
x=seq(0,20,length=200)
plot(x,dnorm(x,m,1))
points(x,dnorm(x,m,2),col='red')
points(x,dnorm(x,m,3),col='blue')

# 2.3

seuil=qnorm(0.95) # Ariane qnorm(0.85)
s=(12.5-m)/seuil #si P(X<=seuil)=c, alors P(s*X+m<=s*seuil+m)=c et ici on cherche s, qui est tq s*seuil+m=12.5, càd s=(12.5-m)/seuil
s

######################
# Lois limites
######################

# Exercice 3

x=c(0:20)
lambda=5
plot(x,dpois(x,lambda),type = "h",ylim=c(0,0.3)) # loi de Poisson avec des bars
cols=rainbow(4)
points(x,dbinom(x,10,lambda/10),col=cols[1])   # loi binomial avec des cercles
points(x,dbinom(x,20,lambda/20),col=cols[2])
points(x,dbinom(x,50,lambda/50),col=cols[3])
points(x,dbinom(x,200,lambda/200),col=cols[4])


# Exercice 4

lambda = 1
qpois(0.999,lambda)
x=c(-3:5)
plot(x,dnorm(x,lambda,lambda^(1/2)),ylim = c(0,0.5))
points(x,dpois(x,lambda),col='red')

lambda = 10
qpois(0.999,lambda)
x=c(-5:25)
plot(x,dnorm(x,lambda,lambda^(1/2)),ylim = c(0,0.25))
points(x,dpois(x,lambda),col='red')

lambda = 100
qpois(0.999,lambda)
x=c(0:200)
plot(x,dnorm(x,lambda,lambda^(1/2)),ylim = c(0,0.06))
points(x,dpois(x,lambda),col='red')
#etc.

# Exercice 5

#########################################################
# La loi binomiale B(n,p) centree reduite si n -> infini
#########################################################

rm(n)
rm(p)
# Def variable aleatoire
X <- function(n) c(0:n)          # X est variable avec valeurs 0,1,...,n
PX<- function(n,p) dbinom(X(n),n,p)    # association des probas a X
# PX est la distribution P(X=x) avec x=0,...,n de loi binomiale B(n,p)

# moyenne de X
m<- function(n,p) n*p 

# ecart type de X
s <- function(n,p) (n*p*(1-p))^(1/2) 

# centrer et reduire X
Y <- function(n,p)  (X(n) - m(n,p))/s(n,p)     # Y variable centree reduite

cols=rainbow(5)

# p = 0.5 (loi symmetrique) changement d'echelle
Gauss <- function(t) exp(-t^2/2)/(2*pi)^(1/2)
t=-100:100/20
plot(Y(5,0.5),s(5,0.5)*PX(5,0.5),type="p",xlim=c(-6,6),ylim=c(0,0.6))  
points(Y(10,0.5),s(10,0.5)*PX(10,0.5),col = cols[3],type="p",xlim=c(-6,6),ylim=c(0,0.6)) 
points(Y(50,0.5),s(50,0.5)*PX(50,0.5),col = cols[4],type="p",xlim=c(-6,6),ylim=c(0,0.6)) 
points(Y(100,0.5),s(100,0.5)*PX(100,0.5),col = cols[5],type="p",xlim=c(-6,6),ylim=c(0,0.6)) 
lines(t,Gauss(t),col=cols[1])