C.R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 155-160, 2001.
Bodo Lass
Démonstration combinatoire de la formule de Harer-Zagier
Résumé.
On donne une démonstration combinatoire
directe de la formule de Harer-Zagier sur les nombres e(g,m)
de manières d'obtenir une surface de Riemann de genre g
par identification par paires des côtés d'un 2m-gone.
Cette formule est la clé combinatoire nécessaire pour le calcul de la
caractéristique d'Euler de l'espace de modules des courbes de genre g.
La méthode ici développée reprend l'approche combinatoire imaginée par
Harer et Zagier et évite d'utiliser l'intégration sur un ensemble
gaussien de matrices aléatoires. Notre technique de démonstration repose
sur l'énumération des arborescences et des circuits
eulériens.
Abstract.
We give a combinatorial and self-contained proof of the
Harer-Zagier formula for the numbers e(g,m) of ways of obtaining a
Riemann surface of given genus g by identifying in pairs the sides of a 2m-gon.
This formula was the key combinatorial fact needed for the calculation of the
Euler characteristic of the moduli space of curves of genus g.
The method developed here completes the original combinatorial approach
imagined by Harer and Zagier and avoids using the integration over
a Gaussian ensemble of random matrices. Our derivation is based upon the
enumeration of arborescences and Euler circuits.
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