Résumés des séances de cours d'Analyse Fonctionnelle 1, Automne 2026

1er Septembre :

• Définition d'une suite de Cauchy, d'un espace complet.
• Propriétés sans preuve : toute suite convergente est de Cauchy, toute suite de Cauchy est bornée, une suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence est convergente. Conséquence : les compacts métriques sont complets.
• Premières propriétés (tout sous-ensemble complet d'un espace métrique est fermé, tout sous-ensemble fermé d'un métrique complet est complet) Exemples, dont les fonctions (continues) bornées de X dans un complet, avec la distance du sup (preuve au tableau pour les fonctions à valeurs dans R). Complétude de l'espace des applications linéaires continues d'un evn dans un Banach, muni de la norme subordonnée (cas particulier important: le dual topologique). Les espaces l_p (et leur dual, brièvement évoqué).
• Théorème de prolongement des applications uniformément continues. Corolaire : théorème de prolongement des applications linéairement continues, théorème de prolongement des isométries. Discussion de la notion de complété (avec une preuve que, pour tout espace métrique (X,d), il existe une isométrie de (X,d) dans un espace de Banach).