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| Magali Mercier Institut Camille Jordan 43 blvd du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne Cedex Mail : mercier(at)math.univ-lyon1.fr Statut : Doctorante à l'Institut Camille Jordan (université Claude Bernard Lyon 1), sous la direction de Sylvie Benzoni-Gavage ; Monitrice à l'ENS Lyon. |
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Un de mes domaines d'intérêt concerne la mécanique des fluides compressibles. Plus précisément,
je m'intéresse au temps
d'existence des solutions régulières ou régulières par morceaux des équations d'Euler compressibles.
Le théorème de Majda donne l'existence locale
en temps de solutions, le système considéré étant symétrisable.
L'étape suivante est la recherche de solutions en temps grand.
On cherche en particulier à obtenir des résultats pour la loi de Van der Waals, au lieu de la loi des gaz parfaits,
qui dans certaines limites (hautes pressions, températures..) n'a pas un comportement très "réel".
En particulier, j'ai généralisé au cas des gaz de Van der Waals un théorème de M. Grassin donnant l'existence globale
de solutions régulières pour des conditions initiales particulières (densité à support compact, proche de 0,
vitesse "expansive").
Je m'intéresse également au temps d'existence des solutions "ondes de choc". Par exemple Li Ta Tsien obtient des résultats
d'existence
globale pour des fluides isentropiques unidimensionnels (pour lesquels il existe des invariants de Riemann forts!).
J'ai poursuivi les calculs de Li Ta Tsien dans le cas des symétries cylindriques ou sphériques, ce qui
rajoute un terme source dans le système considéré.
Ce terme source nous empêche de retrouver des résultats d'existence globale, cependant on obtient une estimation du temps d'existence.
En particulier, le temps d'existence est d'autant plus grand que la discontinuité est initialement loin de l'origine.
Une seconde approche consiste à mettre en place une équation de la surface de discontinuité et à étudier
cette équation (cf. Whitham).
Celle-ci est de type 'mixte', c'est à dire qu'elle est parfois hyperbolique et parfois elliptique. Dans le cas hyperbolique
on s'attend à ce qu'un changement de variable nous ramène à une équation des ondes non-linéaires, i.e. à
un sujet d'étude classique.
Par la suite, j'aimerais m'intéresser à la stabilité de ces ondes de choc.
Les lois de conservation ont déjà été abondemment étudiées (par exemple par Dafermos, D. Serre),
et une théorie L1 s'est dégagée dans les cas des lois de conservations scalaires avec
l'apport considérable de Kruzkov, dont l'un des théorème porte notamment sur la dépendance des solutions
aux conditions initiales, ce qui est une question récurrente en analyse numérique en particulier.
Avec Rinaldo Colombo, nous avons généralisé ce résultat en étudiant de surcroît la dépendance au flux et à la source.
Ce nouveau résultat, combiné à une itération de Picard, nous a alors permis de retrouver l'existence de solution
pour le modèle 'jouet' des gaz radiatifs.
Désormais, toujours munis de cet outil, nous nous sommes tournés vers un problème de contrôle par les
conditions initiales pour une loi de conservation scalaire dont le flux est non-local (modèle de trafic piéton,
chaîne de montage ré-entrante...). On
obtient non seulement un résultat d'existence locale, mais aussi, la Gâteaux-différentiabilité du
semi-groupe local de l'équation considérée.
Pour la suite : on pense que la même dérivation est possible par rapport au paramètre
géométrique dans l'équation de trafic piéton.
D'autre part, on aimerait savoir si la même approche est possible pour des modèles cinétiques tels que Vlasov-Poisson...
Ici, j'ai étudié un nouveau modèle de rond-point, considéré comme une route infinie périodique,
sur laquelle sont réparties des points de discontinuité correspondant aux points de sortie et d'entrée de véhicules sur
des routes secondaires. J'ai résolu le problème de Riemann, en considérant aux points d'entrée
et sortie des conditions aux bord du type Bardos-Leroux-Nédélec. Ces conditions signifient que le flux de véhicules sortant
(ou entrant) est borné par la capacité de la route secondaire. Il reste à traiter le problème de Cauchy.
Cependant, un problème apparaît du fait que
le solveur de Riemann est discontinu, en particulier lorsque la densité est maximale.
Pour résoudre un tel problème, il faut donc
se restreindre à des densités de véhicules strictement inférieures à la densité maximale.
Sur les simulations numériques effectuées, avec deux points de discontinuités et des conditions initiales sinusoïdales
il semble que la variation totale décroisse au cours du temps.
Pour la suite, on aimerait traiter le problème de Cauchy grâce à la méthode de front tracking.