Voici l'âge des galaxies suivant leur redshift :


Pour le tracé des courbes, la formule simple à utiliser est classique. Soit $\Omega_{o}$ le paramètre de densité de matière dans les cadres $\Lambda CDM$ et $OCDM$, $\Omega_{\Lambda}$ le paramètre de densité associé à la constante cosmologique, $\Omega_{k}$ le paramètre de densité de courbure défini par $\Omega_{k}= 1-\Omega_{\Lambda}-\Omega_{o}$, alors l'âge d'un objet observé à un redshift de z est : $ t= H_{0}^{-1}\int _0^{1/(1+z)}\frac{x\ dx}{\sqrt{\Omega_{k}x^2+\Omega_{o}x +\Omega_{\Lambda}x^4}}$.
Si on note $\Omega _{m}$ le paramètre de densité de la matière observée aujourd'hui alors on obtient chacun des modèles suivants en posant :

- pour $OCDM$, $\Omega_{o}=\Omega _{m}$ et $\Omega_{\Lambda}=0$;

- pour $\Lambda CDM$, $\Omega_{o}=\Omega _{m}$ et $\Omega_{\Lambda}=1- \Omega _{m}$;

- pour De Sitter, $\Omega_{\Lambda}=\Omega _{m}$ et $\Omega_{o}=0$.
Nous avons négligé dans ces formules le paramètre de densité de radiation $\Omega _{rad}$, mais cela ne modifie pas fondamentalement les résultats (sauf pour les redshifts z plus grand que 1000).

Tout lecteur attentif aura compris que le nouveau modèle $\Lambda CDM$(paradime standard ?) n'est pas viable !
Par contre les modèles du type De Sitter passent l'épreuve aisément.


Ces modèles du type De Sitter admettent pour métrique :
\begin{displaymath}(1)\ \ \ \ \ ds^{2} = d{\tau}^{2} - \frac{sh^{2}{\lambda \tau... ...{\lambda}^{2}}(d{\alpha}^{2} + sh^{2}{\alpha} d{\omega}^{2})\ ,\end{displaymath}



Passons maintenant à l'âge des surdensités locales dans l'univers proche.



Ces courbes sont construites à partir de ces modèles de De Sitter
dont la forme locale statique est :
\begin{displaymath}(2)\ \ \ \ \ ds^2=(1-r^2\lambda ^2)dt^2\ -\frac{1}{1-r^2\lambda ^2} \ dr^2\ -\ r^2\ d\omega ^2\ .\end{displaymath}

De fait il est facile de montrer que cette forme (2) est l'approximation de toute métrique d'univers.


Dans ce cadre Einsteinien, une surdensité de masse M se traduit par la métrique : \begin{displaymath}(18)\ \ \ \ \ ds^{2} = (1 - \frac{2M}{r} - {\lambda}^{2}r^2)d... ...{2M}{r} - {\lambda}^{2} r^{2})}dr^{2} - r^{2} d{\omega}^{2}\ ;\end{displaymath}


En résumé : l'étude locale de l'univers ne peut que reposer sur l'ensemble suivant d'équations qui se déduisent de la métrique (18) :

\begin{displaymath}(13)\ \ \ \ r_{a}^{3} = \frac{M}{{\lambda}^{2}} \end{displaymath}


\begin{displaymath}(21)\ \ \ \ \ \frac{v(r)}{v_{cos}(r)}=\pm \frac{\sqrt{1+\frac{r_a^2}{r^3}\ (2r_a-3r)}}{\sqrt{1-3\lambda ^2 r_a^2}}\ ;\end{displaymath}


\begin{displaymath}(23)\ \ \ \ \ \frac{r_{a}({\tau})}{r_{a}({\tau}_{o})} =\frac{... ...u}_o)}= \frac{sh(c{\lambda \tau})}{sh(c{\lambda \tau}_{o})}\ . \end{displaymath}

Pour ceux qui souhaiteraient travailler dans un cadre post-Newtonien, les équations ci-dessus peuvent se déduire du champ d'accélération suivant :

$\vec{g} = - \frac{M}{r^{3}} \vec{r} + {\lambda}^{2} \vec{r}$