FORMES MODULAIRES modulo 2


Les polynômes Fp[x,y]


Les polynômes Fp[x,y] sont décrits dans la Note :
Jean-Louis Nicolas et Jean-Pierre Serre, Formes modulaires modulo 2 : l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke,
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 350, 2012. CRASS14866.pdf ou http://arxiv.org/abs/1204.1036

Pour obtenir les polynômes Fp pour p <= 257, cliquer sur Polynômes Fp[x,y]

Ils ont été calculés en SAGE par Marc Deléglise en résolvant un système linéaire de p+1 équations à p+1 inconnues dans F2 [t].

Pour obtenir l'algorithme détaillé de calcul, ainsi que la preuve de l'irréductibilité de Fp[x,y], cliquer sur ??? à écrire


La base m(a,b)


La base m(a,b) est décrite dans le paragraphe 6 de la Note :
Jean-Louis Nicolas et Jean-Pierre Serre, Formes modulaires modulo 2 : structure de l'algèbre de Hecke,
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 350, 2012. CRASS14872.pdf ou http://arxiv.org/abs/1204.1039

En cliquant sur basem(a,b), on trouve la valeur du polynôme m(a,b) pour a + b ≤ 16. Entre crochet, la table donne les exposants de Δ dans m(a,b)
Exemple :
a = 1, b = 2, m(1,2) = [19, 11] = Δ19 + Δ11.


Développement des Tp comme séries en x=T3 et y=T5


Ces développements sont décrits dans le paragraphe 7 de la Note :
Jean-Louis Nicolas et Jean-Pierre Serre, Formes modulaires modulo 2 : structure de l'algèbre de Hecke,
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 350, 2012. CRASS14872.pdf ou http://arxiv.org/abs/1204.1039

Pour obtenir une table de ces développements pour p ≤ 257 (et calculée en utilisant la valeur de Tpk pour k ≤ 4097) cliquer sur serie4097.text
Pour obtenir une table de ces développements pour p < 10000 (mais moins précise que la précédente, car calculée en utilisant la valeur de Tpk pour k ≤ 257) cliquer sur serie257.text

Dans ces deux tables, le monôme xayb est représenté par [a,b].
Exemple : T7=xy+x3y+x5y +x3y3+ ... est représenté par [[1,1],[3,1],[5,1],[3,3]...].


Séries thêta associées à Q(√-2);


Ces séries θt,n sont décrites dans le paragraphe 8 de la Note :
Jean-Louis Nicolas et Jean-Pierre Serre, Formes modulaires modulo 2 : structure de l'algèbre de Hecke,
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 350, 2012. CRASS14872.pdf ou http://arxiv.org/abs/1204.1039

En cliquant sur resutheta6.text , on trouve la valeur de θ(t,n) pour 0 ≤ n ≤ 6 et 0 ≤ t ≤ 2n-1 .

Entre crochet, la table donne les exposants de Δ dans θ(t,n) rangés par ordre de dominance.
Exemple : n = 3, t = 1, θ(1,3) = [11, 3] = Δ11 + Δ3.


Séries thêta associées à Q(i);


Ces séries θ't,n sont décrites dans le paragraphe 9 de la Note :
Jean-Louis Nicolas et Jean-Pierre Serre, Formes modulaires modulo 2 : structure de l'algèbre de Hecke,
C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 350, 2012. CRASS14872.pdf ou http://arxiv.org/abs/1204.1039

En cliquant sur resuthetapr6.text , on trouve la valeur de θ'(t,n) pour 0 ≤ n ≤ 6 et 0 ≤ t ≤ 2n-1 .

Entre crochet, la table donne les exposants de Δ dans θ'(t,n) rangés par ordre de dominance.
Exemple : n = 3, t = 1, θ'(1,3) = [21, 13, 5] = Δ21+ Δ13 + Δ5.