Séminaire des doctorants ENS Lyon/ ICJ

Résumé des exposés

• Probabilité via des tâches de Poisson, par Xiaolin Zeng

  On cherche à estimer certaines probabilités pour des modèles très variés, des évènements dont les probabilités peuvent être approchées en regardant des tâches de Poisson appropriées dans l'espace. Cela nous permet d'avoir une intuition précise pour beaucoup de modèle. On commencera en introduisant l'idée avec un bébé exemple: la queue M/M/1, et on finira par une application à la percolation au premier passage sur l'arbre binaire. L'exposé sera accessible aux non probabilistes.

• Métriques de Kähler-Einstein sur les variétés toriques compactes Fano, par Thibaut Delcroix

  Les variétés toriques compactes sont les compactifications équivariantes des tores algébriques (C*)^n. Elles forment une classe agréable de variétés algébriques ou kählériennes sur lesquelles on peut souvent faire des calculs explicites qu'on ne peut pas faire sur des variétés générales. J'expliquerai dans cet exposé comment le problème de l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur des variétés toriques Fano se ramène à des équations de Monge-Ampère complexes sur (C*)^n puis à des équations de Monge-Ampère réelles sur R^n (les équations de Monge-Ampère sont des EDPs impliquant le déterminant de la hessienne). J'expliquerai tous les gros mots de ce résumé pendant l'exposé, de manière compréhensible pour un enfant de (vingt) deux ans.

• Dimers, Pavage, Empilement et Perles : un modèle de physique statistique hors équilibre, par Benoît Laslier.

  Nous présenterons le modèle de dimers sur le réseau hexagonal. Ce modèle est remarquable par la diversité des points de vues sous lequel il peut être abordé, d'où l'apparente contradiction dans le titre. Nous nous intéresserons à résultat sur la vitesse de convergence d'une dynamique aléatoire. Ceci nous permettra de présenter sur un exemple un ensemble de méthodes classiques en probabilité discrète. L'exposé essayera d'être accessible à tous et ne demandera aucune connaissance en proba. En particulier nous travaillerons uniquement avec des ensembles finis et des tirages de pile ou face.

• Un problème variationnel elliptique sous contrainte de degré au bord, par Rémy Rodiac

  Nous rappellerons tout d'abord brièvement le principe du calcul des variations, les problèmes de Dirichlet et de Neumann pour l'énergie de Dirichlet et la définition du degré topologique pour des applications de S¹ dans S¹. Nous considérerons ensuite la minimisation de l'énergie de Dirichlet, pour des applications de A (ouvert borné de C) dans C, avec des conditions de degré au bord. On donnera un résultat pour la minimisation de cette énergie dans le cas où A est simplement connexe et dans le cas où A est doublement connexe.

• Equilibre de Wardrop, du discret au continu, par Roméo Hatchi

  Parmi les modèles du trafic routier congestionné, la notion d'équilibre de Wardrop est devenue populaire, depuis son introduction dans les années 50. Nous allons d'abord décrire le modèle discret et nous verrons que c'est aussi un problème de minimisation et d'analyse convexe. Nous montrerons ensuite comment on peut passer à un modèle continu, grâce notamment à la notion de \Gamma-convergence. Enfin, nous donnerons quelques résultats liés au modèle continu.

• Introduction aux modèles de Markov cachés, par Alexis Huet

  Un modèle de Markov caché est un modèle statistique dans lequel le système est régi par un processus markovien qui n'est observable qu'à travers un autre processus produisant une séquence d'observations. Par exemple, le système considéré peut être la position d'un objet évoluant de façon markovienne et les observations la position bruitée de cet objet. Etant donné un modèle et les observations, le premier problème est de calculer la probabilité d'obtenir ces observations sachant le modèle considéré. Ensuite, on peut rechercher quelle séquence cachée optimale permet d'obtenir ces observations. Enfin, on cherche à ajuster le modèle aux observations. J'exposerai comment aborder ces problèmes dans le cas d'espaces d'états finis et illustrerai l'ensemble des résultats sur un exemple. A noter que l'exposé est accessible à tous sans prérequis particulier.

• Espaces de configuration des mécanismes plans et théorèmes d'universalité, par Mickaël Kourganoff

  Un mécanisme est un assemblage de barres rigides reliés par des joints flexibles. Les mécanismes dans le plan sont très variés : certains sont utilisés dans la suspension des voitures, ou l'étaient dans les machines à vapeur. D'autres peuvent servir à faire des opérations élémentaires comme l'addition ou la multiplication, ils se présentent alors comme des ordinateurs mécaniques. D'autres encore sont même capables de signer votre nom... à condition que votre signature soit une courbe algébrique ! Étant donné un mécanisme, on peut aussi s'intéresser à son espace de configuration, c'est-à-dire à l'ensemble des positions possibles du mécanisme dans le plan : cela revient à regarder l'ensemble des immersions d'un graphe métrique dans le plan. Les espaces de configuration des mécanismes peuvent être très complexes, et un théorème d'universalité récent affirme qu'à quelques détails près, toutes les variétés différentiables sont des espaces de configuration.

• Un aperçu des groupes de tresses, par Maxime Bourrigan

  Les groupes de tresses, découverts par Emil Artin en 1926, sont des objets hybrides : les tresses sont des objets de nature topologique ou géométrique, liés à la théorie des nœuds, mais elles forment ensemble un objet de nature algébrique. Par ailleurs, les groupes de tresses surviennent, sous des déguisements variés, dans un grand nombre de contextes différents, de la topologie à la physique statistique en passant par la cryptographie ou la théorie des catégories. La diversité de ces manifestations est la richesse principale du sujet. C'est par exemple l'importation d'idées provenant de la physique et des algèbres de von Neumann qui révolutionna la théorie des nœuds dans les années 80, sous l'impulsion de Vaughan Jones. Plus modestement, je chercherai dans cet exposé à présenter quelques-unes de ces approches des groupes de tresses. L'exposé ne présupposera aucune connaissance en topologie.

• Asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann spatialements homogènes sans cutoff, par David Godinho Pereira

  L'équation de Boltzmann décrit la densité f_t(v) de particules qui se déplacent dans un gaz avec une vitesse v à un temps t. L'asymptotique des collisions rasantes correspond au cas où l'on se concentre sur les "petites" collisions de particules engendrant de petites déviations. Ces collisions sont en nombre infini sur chaque intervalle de temps. Il est connu que dans ce cas, la solution de l'équation de Boltzmann converge vers la solution de l'équation de Landau. Mais il n'y a pas de vitesse de convergence explicite connue à ce jour. Nous nous intéresserons dans un premier temps à l'équation de Kac qui est une caricature unidimensionnelle de l'équation de Boltzmann. Nous donnerons une vitesse de convergence explicite vers une équation de type Fokker-Planck dans le cas de l'asymptotique des collisions rasantes. En s'inspirant de ce résultat, nous approcherons ensuite la solution de l'équation de Kac dans le cas général, ce qui nous permettra de construire un système de particules convergeant vers cette dernière. Nous nous intéresserons ensuite à l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann dans les cas des potentiels "mous" et des potentiels de type Coulomb. Nous donnerons là encore une vitesse de convergence explicite.

• Introduction à la propriété RD pour les groupes de Lie semi-simples : le cas SL(2,R), par Adrien Boyer

  Nous définirons la propriété RD pour un groupe localement compact en terme de décroissance des coefficients. Nous montrerons que SL(2,R) a la propriété RD, et nous expliquerons brièvement pourquoi la preuve fonctionne dans le cas plus général des groupes de Lie semi-simples.

• Maximisation des valeurs propres du Laplacien sur les sphères, par Romain Pétrides

  Les valeurs propres du Laplacien sur une surface décrivent ses modes propres de vibration. Elles interviennent dans de nombreux problèmes physiques : penser par exemple aux fréquences sonores émises par un tambour. On cherchera ici à optimiser les valeurs propres en fonction de la géométrie du domaine. Après un bref exposé des résultats les plus connus sur un domaine borné du plan, on étudiera plus particulièrement le problème pour la sphère.

• Cristaux liquides, théorie de Landau-de Gennes et hérisson radial, par Xavier Lamy

  Les molécules formant un cristal liquide nématique tendent à s'aligner dans une certaine direction. La théorie de Landau-de Gennes décrit cet "ordre d'orientation" à l'aide d'un paramètre d'ordre à valeurs matricielles. Le principal problème est de comprendre la formation et la structure des "défauts", c'est-à-dire des singularités de ce paramètre d'ordre, qui minimise une certaine énergie. Que peut-on dire des minimiseurs et points critiques de cette énergie? Si le cristal liquide est contenu dans une boule, il existe un point critique à symétrie sphérique, exemple typique d'un défaut ponctuel : le "hérisson radial". Est-il unique? Son paramètre d'ordre scalaire est-t-il monotone? Est-il stable? Autant de questions auquel l'exposé essayera d'apporter quelques réponses...

• Analyse d'un modèle simplifié du rein, par Magali Tournus

  We study a non linear dynamic system describing the transport of solutes dissolved in a fluid circulating in a counter-current tubular architecture, which constitutes a simplified model of a kidney. The first part of the talk will concern the description of the model.The second part will be about an asymptotic study to explain the role of a specific parameter.

• Algèbres de battages et de quasi-battages, par Anthony Mansuy

  En dualisant les axiomes sur une algèbre, on définit la notion de cogèbre. C’est un espace vectoriel muni d’un coproduit et d’une counité vérifiant certaines relations (coassociativité...). On peut alors introduire la notion d’algèbre de Hopf : c’est à la fois une algèbre et une cogèbre avec de bonnes compatibilités entre le produit et le coproduit. On s’intéresse ensuite aux algèbres de battages et de quasi-battages qui sont des exemples importants d’algèbres de Hopf. On donne quelques propriétés importantes sur ces algèbres. Enfin, on s’intéresse aux fonctions zeta multiples en expliquant le lien entre ces objets et les algèbres de battages et de quasi-battages.

• Contrôle optimal et principe du maximum de Pontriaguine. , par Vincent Runge

  La théorie du contrôle optimal a pour objectif la minimisation d’un critère lors de l’évolution d’un système contrôlable par l’Homme. Il s’agit par exemple de minimiser la dépense d’énergie d’un engin spatial en phase d’alunissage. L’intérêt pratique d’une telle théorie est alors considérable. En cela, son fulgurant développement dans les années 60 n’est pas étonnant. Le principe du maximum est la clef de voûte de la théorie du contrôle optimal, elle-même généralisation du calcul des variations. Sa démonstration repose sur l’élégante introduction des « variations en aiguilles ». Avant de présenter la preuve, nous rappellerons des résultats fondamentaux du calcul des variations dont l’archétype est le problème bien connu de la brachistochrone. Nous mettrons l’accent sur les possibilités nouvelles de résolution offerte par ce principe et illustrerons le tout par des exemples ludiques !

• Espaces quantiques compacts, par Amaury Freslon

  Derrière le nom étrange "espaces quantiques compacts" se cache des objets issus de l'analyse fonctionnelle, les C*-algèbres. L'idée fondamentale de la géométrie non-commutative est de considérer ces espaces comme des analogues des espaces topologiques afin de développer de nouveaux outils pour leur étude. Après avoir introduit les principales idées de la théorie, nous donnerons quelques exemples de théorèmes classiques de topologie élémentaire qui se généralisent à ce cadre. Le reste de l'exposé sera la description d'une série d'exemples illustrant des méthodes pour produire des espaces non-commutatifs : la libération, la déformation et la dualité.

• Plongements isométriques et intégration convexe, par Said Jabrane

  Nous parlerons des immersions isométriques et du théorème de Nash-Kuiper vu sous l'angle de l'intégration convexe. Nous introduisons cette dernière en expliquant comment elle résout le problème d'existence des immersions isométriques dans le cas (d'école) 1-dimensionnel. Enfin, si le temps le permet, nous aborderons le procédé de Nash-Kuiper appliqué au plongement du tore carré plat dans l'espace tridimensionnel.

• Sur les équations cohomologiques, par Michele Triestino

  Déterminer quand deux difféomorphismes f et g produisent la même dynamique (sont-ils conjugués ?) est une question cruciale dans la théorie des système dynamiques. Parfois trop compliquée ! Linéarisons la question : existe-t-il une solution continue à l'équation cohomologique u ° f - u = h ? Peut-on trouver des solutions approchées ? Je ne connais des réponses éclairantes que sur le tore. Dans ce cadre, nous verrons que la nature arithmétique du difféomorphisme est déterminante !

• Le flou des algèbres de von Neumann, par Remi Boutonnet

  Les algèbres de von Neumann sont des algèbres très particulières formées d'opérateurs sur un espace de Hilbert. La condition qu'une algèbre de von Neumann doit satisfaire est assez difficile à cerner. Nous allons illustrer ce phénomène à travers des exemples provenant de groupes (discrets dénombrables) ou d'actions mesurables de groupes. J'expliquerai alors ce que j'entends par le "flou des algèbres de von Neumann" et quelles techniques permettent de lever ce flou.

• Equation de Navier-Stokes stationnaire, par Hugo Decaster

  L'équation de Navier-Stokes est l'équation fondamentale de la mécanique des fluides, et son étude mathématiques offre encore de nombreux problèmes ouverts malgré une recherche très active. Dans un premier temps, je présenterai la dérivation de l'équation à partir de la physique afin de comprendre son origine, puis après avoir introduit quelques outils d'analyse (espaces de Lorentz, théorème de Calderon-Zygmund), je présenterai schématiquement la preuve d'existence et d'unicité pour des données petites dans l'espace entier dans le cas stationnaire. Enfin je montrerai comment on peut extraire à partir de là le comportement asymptotique de ces solutions, d'abord dans l'espace entier puis dans un domaine extérieur.

• Autour de la théorie de l'indice, par Rudy Rodsphon

  Le théorème de l'indice d'Atiyah et Singer est un des résultats marquants de ces dernières décennies. Il stipule que l'indice de Fredholm de certains opérateurs à préciser (à priori de nature analytique), peut être calculé avec des outils purement géométriques/topologiques, avec en prime bien d'autres informations. D'où l'importance de ce théorème : en plus de relier différents domaines (théorie des opérateurs, EDP, topologie, géométrie, physique ...), il contient de grands théorèmes en corollaire (Gauss-Bonnet, Riemann-Roch, signature de Hirzbruch), et il a également amené quantité de nouvelles mathématiques encore très actives aujourd'hui.

  Le but de l'exposé sera de comprendre les enjeux de la théorie de l'indice au travers de quelques exemples, et de préciser "un peu" (faute de temps) l'énoncé du théorème d'Atiyah et Singer. Si le temps le permet, nous discuterons de son application au problème de la courbure scalaire positive, ainsi que d'une ouverture sur ce qui se fait actuellement autour de ce thème.