\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}


\setlength{\oddsidemargin}{0.25in}      % 1.25in left margin
\setlength{\evensidemargin}{0.25in}     % 1.25in left margin (even pages)
\setlength{\topmargin}{0.0in}           % 1in top margin
\setlength{\textwidth}{6.0in}           % 6.0in text - 1.25in rt margin
\setlength{\textheight}{9.5in}          % Body ht for 1.25 in margins
\addtolength{\topmargin}{-\headheight}  % No header, so compensate
\addtolength{\topmargin}{-\headsep}     % for header height and separation
%\usepackage{french}
%\textheight = 250mm
%\oddsidemargin=25mm
%\evensidemargin=25mm
%\textwidth=160mm
%\pagestyle{empty}

%\oddsidemargin -1 cm
%\evensidemargin 3 cm
%\textwidth 17cm
%\topmargin -1.5 cm
%\headheight 1 cm
%\headsep 0pt
%\topskip 0pt
%\textheight 25cm

\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{dfn}[theorem]{D\'efinition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{case}{Cas}
\newtheorem{property}[theorem]{Propri\'et\'e}
\newtheorem{ack}{Acknowledgments}\renewcommand{\theack}{}



\newcommand{\rot}{\overrightarrow{\mbox{rot}}}
\newcommand{\grad}{ \overrightarrow{\mbox{grad}}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\dx}{\,{\mathrm d}x}
\newcommand{\dy}{\,{\mathrm d}y}
\newcommand{\du}{\,{\mathrm d}u}
\newcommand{\dv}{\,{\mathrm d}v}
\newcommand{\dw}{\,{\mathrm d}w}
\newcommand{\dt}{\,{\mathrm d}t}
\newcommand{\dr}{\,{\mathrm d}r}
\newcommand{\df}{\,{\mathrm d}f}
\newcommand{\ds}{\,{\mathrm d}s}
\newcommand{\dz}{\,{\mathrm d}z}
\newcommand{\dg}{\,{\mathrm d}g}
\newcommand{\dA}{\,{\mathrm d}A}
\newcommand{\Nabla}{\overrightarrow{\nabla}}

\newcommand{\et}{\  \mbox{et} \ }
\newcommand{\tq}{\  \mbox{tel que} \ }
\newcommand{\V}{\overrightarrow{V}}
\newcommand{\W}{\overrightarrow{W}}
\newcommand{\U}{\overrightarrow{U}}
\newcommand{\I}{\overrightarrow{i}}
\newcommand{\J}{\overrightarrow{j}}
\newcommand{\K}{\overrightarrow{k}}



\begin{document}
\begin{center}
{\Large \bf Math IV: Analyse (version du
09/06/2011)\footnote{Remerciements aux \'etudiants de
2\`eme ann\'ee en math-info lors du printemps difficile des gr\`eves 2009 pour des corrections et
surtout \`a Yoann Potiron, pour m'avoir convaincue d'\'ecrire ce cours ! Merci aussi \`a mes coll\`egues Tuna Altinel, Damien Gayet et J\'er\^ome Germoni pour leurs remarques pertinentes. Et enfin, ce texte a \'et\'e soigneusement relu par Emmanuelle Curatolo, \'etudiante du cours math-IV analyse en 2010-2011. Je n'aurai s\^urement pas fini ce texte sans ses corrections et des discussions avec elle. Je lui suis sinc\`erement reconnaissante.}}\\
\vspace{0.5cm}


Page-web du cours~:
http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$okra/2011-MathIV/

{responsable de UE : Olga Kravchenko, b\^at Braconnier, 102
 bis, 04 72 43 27 89, okra@math.univ-lyon1.fr}

\tableofcontents

\section{Chapitre I. Topologie d'un espace
vectoriel r\'eel}
\end{center}

\subsection{Espaces m\'etriques, d\'efinition de la distance}
\

On note  $\R^p = \underbrace{\R \times \cdots \times \R}_{p \
\mbox{\scriptsize{fois}}} = \{ X = (x_1, \cdot, x_p)| \ x_i \in \R,
\ \forall i \in [1, \cdots, p]\}$ -  espace vectoriel r\'eel de
dimension $p.$


On s'int\'eresse aux fonctions $f:
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$. Il faut d'abord
\'etudier la structure du domaine $D$ car le domaine est aussi
important que la fonction. Pour cela on va d\'efinir une notion de
distance.

\begin{dfn}

Soit $E$ un ensemble non-vide. On dit qu'une application $d : E
\times E \to \R_+, \ d : (x,y) \mapsto d(x,y)$ est une
\underline{distance} sur $E$ si elle v\'erifie les trois
axiomes suivants~:
\begin{itemize}\item[D1] (s\'eparation) $\forall (x,y) \in E \times
E , \ \{x = y\} \Leftrightarrow \{d (x,y) = 0\};$
\item[D2] (sym\'etrie) $\forall (x,y) \in E \times
E , \ d(x,y) = d(y,x);$
\item[D3] (in\'egalit\'e triangulaire) $ \forall (x,y,z) \in E
\times E \times E, \ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y).$
\end{itemize}
\end{dfn}

\begin{dfn}

On appelle \underline{espace m\'etrique} tout couple $(E,d)$ o\`u $E \not=
\emptyset$ est un espace vectoriel et $d$ est une distance.


\end{dfn}

\begin{example} \label{distance}
\begin{enumerate}
\item $E = \R, \ d(x,y) = |x-y|$
\item $E = \R.$ Soit $f: x \mapsto f(x)$ une fonction concave d\'efinie $\forall x
\geq 0,$ et t.q. $\{f(x) = 0\} \Leftrightarrow \{x = 0\}.$
Alors $d (x,y) = f(|x -y|)$ est une distance. En effet, les
propri\'et\'es D1 et D2 sont \'evidentes et D3 suit de la
condition de concavit\'e.

Une fonction est concave sur un intervalle $I$ si
$x_0,x_1,x_2,x_3 \in I$ et $x_0< x_1 <x_2 < x_3$ alors,
$\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1-x_0} \geq \frac{f(x_3) -
f(x_2)}{x_3-x_2}.$ (G\'eom\'etriquement, c'est une remarque sur
la relation entre les pentes de deux droites qui lient les
points de coordonn\'ees $(x_0,f(x_0) \et (x_1,f(x_1))$ et
$(x_2,f(x_2) \et (x_3,f(x_3)).$ Faites un dessin!). Donc si on
prend $x_0 = 0, x_1 = a,  x_2 = b, x_3 = a+b$ on a $\frac{f(a)
- f(0)}{a -0} \geq \frac{f(a+b) - f(b)}{a+ b-b}.$ Mais $f(0) =
0$ alors, si $0 < a < b$ on a  $f(a) \geq f(a+b) -f(b)$ et donc
$f(a+b) \leq f(a) + f(b).$

On a beaucoup d'exemples de distances diff\'erentes
sur $\R.$ En particulier, $d(x,y) = \sqrt{|x-y|}$ ou $ d(x,y) =
\displaystyle{\frac{|x -y|}{1 + |x-y|.}}$ Le dernier exemple
d\'efinit une distance sur $\R$ qui, pour tout point, est
inf\'erieure \`a $1.$
 \item M\'etriques sur   $E= \R^p,$ soit $X= (x_1, \cdots, x_p)\in \R^p \et Y = (y_1, \cdots, y_p) \in \R^p. $
 On a $ \ d_2(X,Y) = \left({\sum_{i = 1}^p |x_i - y_i|^2}\right)^{1/2}$  (m\'etrique
 euclidienne),

 ou $d_1(X,Y) = {\sum_{i = 1}^p |x_i - y_i|}$,

  ou
 $d_\infty (X,Y) = {\sup_{i = [1, \cdots,p]} |x_i - y_i|}$
 \item \label{distance 1} Soit $E$ un ensemble quelconque. Pour $x,y \in E$ on d\'efinit
 $d(x,y) = \left\{
      \begin{array}{cc}
        0 &\ \mbox{si} \ x =y,  \\
      1 &\ \mbox{sinon.}
      \end{array}
    \right.$
\end{enumerate} Remarque~: dans cet exemple $(E,d)$ n'est pas un espace m\'etrique.

\end{example}

\subsection{ Boules ouvertes, ferm\'ees. Sph\`eres. Parties born\'ees}

\begin{dfn}
Soit $a$ un point de $\R^p$ et $r >0 $ un nombre r\'eel.

\begin{enumerate}
\item $\overline{B}(a,r): =  \{x\in\mathbb{R}^p \ | \ d(a,x) \leq r \}$
est appel\'ee  \underline{boule ferm\'ee} de centre $a$ et de rayon
$r$.
\item Une  \underline{boule ouverte} de centre $a$ et de rayon $r$
est  $B(a,r) : = \{x\in\mathbb{R}^p | \ d(a,x) <r \}$
\item Une sph\`ere de centre $a$ et de rayon $r$ est
$S(a,r) = \{x\in\mathbb{R}^p | \ d(a,x) = r \}$
\end{enumerate}
\end{dfn}
%\vspace{0.2cm}

On obtient des boules de formes diff\'erentes pour des espaces
m\'etriques diff\'erents. Pour le voir je recommande vivement de dessiner des boules unit\'e  dans
$\R^2$ pour les distances $d_1,d_2 \et d_\infty$.

\begin{dfn} Une {\underline{partie born\'ee}} $P$ de $\R^p$ est une partie de
$\R^p$ pour  laquelle on peut trouver une boule (ouverte ou
ferm\'ee) qui contient tous les points de $P.$ \end{dfn}

\subsection{Ouverts et Ferm\'es}

\begin{dfn}
Une \underline{partie ouverte} (ou un \underline{ouvert})
\underline{de $\R^p$} est une partie $U$ t.q. $\forall u \in U, \
\exists r >0 \tq B(u,r) \subset U$ \textit{ie} tout point de $U$ est le
centre d'une boule ouverte, de rayon non-nul, incluse dans $U.$

Une \underline{partie ferm\'ee} (ou un \underline{ferm\'e})
\underline{de $\R^p$} est une partie telle que son compl\'ementaire
$U$ dans $\R^p$ est un ouvert.

\end{dfn}

\begin{remark}
$E$ et $\emptyset$ sont \`a la fois ouverts et ferm\'es.
\end{remark}

\begin{proposition}
Dans un espace m\'etrique $(E,d),$ (1) une boule ouverte est un
ouvert, et (2) une boule ferm\'ee est un ferm\'e.
\end{proposition}
\begin{proof} (1) Soit $y \in B(a,r).$ Alors choisissons
$\epsilon >0$ t.q. $d(a,y) < r-\epsilon$ (un tel $\epsilon$ existe, car $d(a,y)$ est strictement plus petit que $r$). Pour tout $z
\in B(y,\epsilon),$ montrons que $z \in B(a,r),$ cela veut dire
qu'autour de chaque point $y$ de $B(a,r)$ il existe
 une boule ouverte enti\`erement contenue dans $B(a,r).$


\noindent Par in\'egalit\'e triangulaire $d(a,z) \leq d(a,y) +
d(z,y) \Rightarrow d(a,z) < r-\epsilon + \epsilon = r.$ Donc $z
\in B(a,r),$  i.e. chaque point de $B(y, \epsilon)$ appartient
\`a $B(a,r)$ et $B(y, \epsilon) \subset B(a, r).$

(2) Soit $\complement \overline{B}(a,r)$ le compl\'ementaire de
$\overline{B}(a,r).$ Il faut montrer que $\complement \overline{B}(a,r)$ est
un ouvert. Soit $y \in \complement \overline{B}(a,r).$ Montrons qu'il existe
une boule contenant $y$ enti\`erement contenue dans $\complement
\overline{B}(a,r).$


\noindent Puisque $y$ est en dehors de $\overline{B}(a,r), \ d(a,y)
> r$. Soit  $ \epsilon = d(a,y)- r
> 0.$

\noindent Pour tout $ z \in B(y,\epsilon)$ montrons que $z \in
\complement \overline{B}(a,r).$ En effet, par in\'egalit\'e triangulaire
$d(a,z) + d(z,y) \geq d(a,y) = r + \epsilon.$ Donc $d(a,z) \geq
r+\epsilon - d(z,y).$ Puisque $ z \in B(y,\epsilon)$  on a $\epsilon
> d(z,y)$ donc $d(a,z) > r + \epsilon - d(z,y) >  r + \epsilon
-\epsilon = r \Rightarrow z \in \complement \overline{B}(a,r).$ Donc $
\overline{B}(a,r)$ est un compl\'ement d'un ouvert, c'est donc un
ferm\'e. \end{proof}
{\tiny
\begin{dfn} Soit $E$ un ensemble non-vide et $P(E)$ l'ensemble de ses
parties. On appelle \underline{topologie induite par distance}  (ou
\underline{topologie} tout court) l'ensemble des ouverts $\mathcal T
\subset P(E)$ v\'erifiant les propri\'et\'es suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $E$ et $\emptyset$ sont des \'el\'ements de $\mathcal T$
\item Toute intersection finie d'\'el\'ements  de $\mathcal T$
appartient \`a  $\mathcal T$
\item Toute r\'eunion d'\'el\'ements de $\mathcal T$ appartient \`a $\mathcal T.$
\end{enumerate}
\end{dfn}}

\begin{dfn}\underline{{Position d'un point par rapport \`a une partie de
$\R^p.$}}

Soit $A \subset \R^p.$ \begin{enumerate}
\item
 On dit que $a$ est \underline{int\'erieur} \`a $A$ si on peut trouver un ouvert
 $U \in \R^p$ t.q. $a \in U$ et $U \subset A.$ L'\underline{int\'erieur} de $A,$ not\'e
$\displaystyle\mathop{\!A}^o,$ est le plus grand ouvert inclus dans
$A.$
\item On dit que $a$ est un \underline{point fronti\`ere} de $A$ si
tout ouvert $U \subset \R^p$ contenant $a$ rencontre \`a la fois $A$
et le compl\'ementaire de $A.$
\item On dit que $a$ est \underline{adh\'erent} \`a $A$ si tout ouvert
$U \subset \R^p$  contenant $a$ rencontre $A.$
\item L'adh\'erence de $A,$ not\'ee $\overline{A},$ est le plus petit
ferm\'e qui contient $A.$
\end{enumerate}
\end{dfn}

\begin{dfn}
 On dit qu'une partie $V$ de $\R^p$ est un \underline{voisinage}
de $x \in \R^p$ si $V$ contient un ouvert contenant $x.$
\end{dfn}

\textbf{Exercice.} D\'emontrer l'\'equivalence avec la d\'efinition
suivante~: On dit que $V\subset\mathbb{R}^p$ est un voisinage de $x$
ssi $\exists\varepsilon >0$ tel que $B(x,\varepsilon) \subset V.$

\subsection{Normes des espaces vectoriels}


\begin{dfn} Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R.$ On appelle
\underline{norme} sur $E$ une application de $E$ dans $\R_+$ qui \`a
$x \mapsto \parallel x\parallel  \in \R_+,$ et v\'erifie
\begin{itemize}
\item[N1] (s\'eparation)
$\forall x \in E, \parallel x\parallel  = 0 \Leftrightarrow x = 0$
\item[N2] (homog\'en\'eit\'e positive) $\forall\lambda \in \R, \forall x \in E, \parallel \lambda x\parallel  = |\lambda| \cdot \parallel
x\parallel $
\item[N3] (in\'egalit\'e triangulaire) $\forall x,y \in E,
\parallel x+y\parallel  \leq \parallel x\parallel + \parallel y\parallel.$
\end{itemize}

Un espace vectoriel sur $\R$ muni d'une norme est appell\'e \underline{espace
vectoriel norm\'e }(e.v.n.).
\end{dfn}

\begin{proposition}
Soit $E$ un e.v.n. L'application $d: E \times E \to \R_+$ qui au
couple $(x,y)$ associe $d(x,y): = \parallel x - y\parallel$ est une
distance sur $E.$

 On l'appelle \underline{distance induite sur $E$ par la
norme.} Elle poss\`ede les propri\'et\'es suivantes:
\begin{itemize}
\item $\forall x \in E, \ d(0,x) = \parallel x\parallel$
\item $\forall \lambda \in \R, \ \forall (x,y) \in E^2, \ d(\lambda x,
\lambda y) = |\lambda| d (x, y)$
\item $\forall (x,y,z) \in E \times E \times E, \ d(x+z,y+z) =
d(x,y).$
\end{itemize}
\end{proposition}
\begin{remark} Toute norme induit une distance, par contre toutes les distances
ne proviennent pas d'une norme. La distance (\ref{distance 1})
de l'exemple \ref{distance}  n'est induite par aucune norme
(quelle propri\'et\'ee de la norme n'est pas forc\'ement
satisfaite~?).
\end{remark}

\noindent{\textbf{Exemple de normes sur $\R^p.$}}  Soit $x \in
\R^p, \ X = (x_1, \cdots, x _p), \ x_i \in \R, \forall i \in
[1, \cdots, p]. $ Alors
$$ \begin{array}{ll}
\parallel X \parallel_1 &= \sum_1^p |x_i| \ (\mbox{norme de Manhattan})\\
\parallel X \parallel_2 &= \left(\sum_1^p |x_i|^2\right)^{1/2}\ (\mbox{norme euclidienne})\\
\parallel X \parallel_n &= \left(\sum_1^p |x_i|^n\right)^{1/n}\\
\parallel X \parallel_\infty &= {\max}_{1\leq i \leq  p} |x_i|
\end{array}
$$
sont des normes sur $\R^p.$
\begin{dfn} \textbf{Normes \'equivalentes.}
Deux normes $\| \cdot\|$ et $\| \cdot\|'$ sur $\R^p$ sont
\'equivalentes s'il existe deux constantes $\lambda>0, \mu>0$
telles que $\forall X \in \R^p, \lambda \|X\| \leq \|X\|' \leq \mu
\|X\|.$ On note $\| \cdot\| \sim \| \cdot\|'.$
\end{dfn}

\begin{proposition} Cette d\'efinition induit une relation
d'\'equivalence.
\end{proposition}

{\tiny \noindent \begin{proof}\begin{itemize}
\item \textbf{reflexivit\'e}~: $\| \cdot\| \sim \| \cdot\|$
\item \textbf{sym\'etrie}~: si $\lambda \|X\| \leq \|X\|' \leq \mu
\|X\|$ alors $\frac{1}{\mu} \|X\|' \leq \|X\| \leq \frac{1}{\lambda}
\|X\|'.$
\item \textbf{transitivit\'e}~: $\lambda \|X\| \leq \|X\|' \leq \mu
\|X\| \et \beta \|X\|' \leq \|X\|'' \leq \gamma \|X\|'$ implique $
\beta \lambda \|X\| \leq \|X\|'' \leq \gamma \mu \|X\|.$
\end{itemize}
\end{proof}}

\begin{example}
Les normes $\|\ X \|_2 =   \left(\sum_1^p |x_i|^2\right)^{1/2}
\et
\parallel X \parallel_\infty = {\max}_{1\leq i \leq  p} |x_i|$ sont
\'equivalentes. En effet, on a $\|X\|_2 \leq (p \cdot
\|X\|_\infty^2)^{1/2} = \sqrt{p} \|X\|_\infty. $  Soit $k \in
\{1, \cdots, p\}$ tel que  $x_k = \max\{x_1, \cdots, x_p\} =
\|X\|_\infty,$ alors $\|X\|_\infty = (x_k^2)^{1/2} \leq
\left(\sum_1^p |x_i|^2\right)^{1/2}= \|X\|_2. $  Donc
$\frac{1}{\sqrt{p}} \|X\|_2 \leq \|X\|_\infty \leq \|X\|_2.$
\end{example}
\noindent \textbf{Exercice.} \

1. Montrer que toutes les normes $\|\cdot \|_n, n \in [1,
+\infty] $ sont \'equivalentes.

2. Si $\| \cdot\| \sim \| \cdot\|'$ montrer qu'il existe une
constante \ $\lambda>0$\ t.q. $\lambda \|X\| \leq \|X\|' \leq
\frac{1}{\lambda} \|X\|$ et $\lambda \|X\|' \leq \|X\| \leq
\frac{1}{\lambda}\|X\|'.$



{\tiny
\begin{theorem}
Deux normes \'equivalentes induisent la m\^eme topologie.
\end{theorem}
\textit{Ie} si les normes sont \'equivalentes  on trouve que deux
ensembles $$\mathcal T = \{ U \in P(\R^p), U \ \mbox{ouvert pour la
norme}~\|\cdot\| \}$$

et $\mathcal T' = \{ U \in P(\R^p),\ U \ \mbox{ouvert pour la norme}~\|\cdot\|' \},$  sont
\'egaux: $\mathcal T = \mathcal T'.$

\begin{proof}  Soit $U$ un \'el\'ement de
$\mathcal T$, il faut montrer que c'est aussi un \'el\'ement de
$\mathcal T'.$

\noindent Cela se traduit:

Soit $U$ un  ouvert pour la norme $\| \cdot \| \Leftrightarrow
\forall X \in U, \ \exists \varepsilon
> 0 \tq B(X,\varepsilon) \subset U.$ On va m.q. $U$ est un  ouvert pour la norme $\| \cdot \|'.$
Pour tout $X \in U$ il faut
montrer qu'il existe $\varepsilon'
> 0 \tq B'(X,\varepsilon'),$  une boule pour la norme $\|\cdot
\|'$ est un sous-ensemble de $U.$ Pour cela on va trouver
$\varepsilon'$ tel que tout point $Y$ de $B'(X,\varepsilon')$
appartienne aussi \`a $B(X,\varepsilon)$ et donc \`a $U.$
 Par \'equivalence des normes $ \exists \lambda > 0 \tq \forall Z
 \in \R^p
\|Z\| \leq  \lambda \|Z\|'.$ Soit  $Y \in
B'(X,\frac{\varepsilon}{\lambda})$  on a $\|X-Y\| \leq \lambda
\|X-Y\|'< \lambda \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\lambda}}=
\varepsilon $ donc $ B'(X, \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\lambda}}) \subset U.$
 Donc si $U$ est un ouvert pour $\|\cdot\|$, alors  pour tout $X \in U,$ il
 existe $\varepsilon' = \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\lambda}} > 0 \tq B'(X,\varepsilon' ) \subset U.$
 Donc $U$ est un \'el\'ement de $\mathcal T'.$

 De la m\^eme mani\`ere on montre que si $U$ est un \'el\'ement de
 $\mathcal T'$, c'est aussi un \'el\'ement de $\mathcal T.$\end{proof}}


\begin{theorem}(Admis.) Sur un espace vectoriel norm\'e de dimension
finie, toutes les normes sont \'equivalentes.
\end{theorem}
{\tiny \begin{corollary}
On parle de la topologie usuelle sur $\R^p$ sans pr\'eciser la norme.
\end{corollary}}

\noindent Dans la suite, on notera $||.||$ sans pr\'eciser de quelle
norme il s'agit. \vspace{0.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{{Chapitre II.} Fonctions de plusieurs variables.}

\subsection{Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de
niveau.}

 On s'int\'eresse maintenant aux fonctions $f:\
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$. On distingue des
fonctions scalaires~: $\R^p \to \R$ et des fonctions vectorielles~:
$\R^p \to \R^q, q >1. $


On va commencer par l'\'etude des fonctions de deux variables.
Une fonction d\'efinie sur une partie $D$ de $\R^2$ et \`a
valeurs r\'eelles fait correspondre \`a tout point $X=(x,y)$ de
$D,$ (appel\'e le domaine de d\'efinition de $F$) un r\'eel
unique $f(X).$


\begin{dfn}\label{partielles} Soit $f: D \to \R, \ D \subset \R^2.$
\begin{enumerate} \item  L'ensemble des points de $\R^3$
\[ S = \{(x,y,z) \in \R^3 | (x,y) \in D, \   z =  f(x,y)\}.
\]
 est appel\'e la \underline{surface repr\'esentative} de $f.$ $S$
  est aussi appel\'e le \underline{graphe} de la
 fonction $f.$
 \item Soit $A = (a,b)$ un point int\'erieur de $D.$ Les fonctions $x
 \mapsto f(x,b) \et y \mapsto f(a,y)$ d\'efinies sur des intervalles
 ouverts, contenant respectivement $b$ et $a$ sont appel\'ees les
 \underline{fonctions partielles} associ\'ees \`a $f$ au point $A.$
 \item Soit $k \in \R.$ L'ensemble $L_k = \{(x,y) \in D \tq f(x,y)
 = k\}$ est la \underline{ligne de niveau}  $k$ de la fonction $f.$
 \end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{remark}
Pour les fonctions de trois variables, la notion analogue \`a
la  ligne de niveau est celle de surface de niveau
(Formulez-l\`a!)

Les lignes de niveau et les fonctions partielles sont utiles pour
dessiner les graphes des fonctions.
\end{remark}

\begin{example}
\noindent \textbf{A.} $f(x,y) = 4x^2 + y^2$ sur $D = \{x^2 + y^2 \leq
4\}.$ On calcule et repr\'esente des lignes de niveau $k = 0,
k= 1,k=2, k = 4, k = -1.$  Pour $k=0$ c'est un seul point
$(0,0),$ avec la valeur de la fonction $0,$ pour $k= 1,2,4$ on
obtient des ellipses. Par exemple aux  points de l'ellipse
$4x^2 + y^2= 1$ la fonction a la valeur $1,$ etc. La ligne de
niveau $k=-1$ est l'ensemble vide (la fonction ne prend  la
valeur $-1$ en aucun point).
Au point $(0,0)$ les fonctions partielles sont $x \mapsto 4x^2$
et $y \mapsto y^2.$

\noindent \textbf{B.} Sur $D = \{x^2 + y^2 \leq 4\} \et x \not= 0$ on
consid\`ere la fonction $f(x,y) = y/x$ avec ses lignes de
niveau $k = 0, 1, -1, 2, -2.$ Ce sont des intervalles des
droites $y =0, \ y =x,\ y=-x,\ y = 2x,\ y = -2x$ sans le point
$x=y=0$. La valeur de la fonction sur la droite $y=x$
est \'egale \`a $1,$ sur $y=-x$ est \'egale \`a $-1$, etc.

\end{example}

\subsection{Notion de limite}

\noindent Une fois qu'on a les normes et les voisinages, la d\'efinition de limite
est la m\^eme que dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$:
\begin{dfn}
 Soit $\left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'\'el\'ements de
$\displaystyle\mathbb{R}^p$ et $\displaystyle A\in\mathbb{R}^p$. On
dit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}X_n=A$ ssi $\forall
V$ voisinage de $A$, $\exists N_V\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq
N_V\Rightarrow X_n\in V$. C'est-\`a-dire $\forall \varepsilon>0$
$\exists N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq
N_{\varepsilon}\Rightarrow \|X_n-A\|\leq\varepsilon$.
\end{dfn}

\noindent Lien avec les limites dans $\mathbb{R}$:

\begin{property}
\noindent Soit $\left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=
\left((x_{n_1},\dots,x_{n_p})\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de
$\displaystyle\mathbb{R}^p$ et $\displaystyle
A=(a_1,\dots,a_p)\in\mathbb{R}^p$, alors
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}X_n=A$ ssi $\forall
i=1,\dots,p$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_{n_i}=a_i$.
\end{property}

\begin{dfn}  \label{lim-suites} Soit $\displaystyle f:\ D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$ et
$A\in D$. On dit que $f$ a une \underline{limite} $L\in \R^q$  en
$A$ ssi $\forall \left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ suite de $D$
telle que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}X_n=A,$ on a
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}f(X_n)=L$.
\end{dfn}
\vspace{0.5cm}

Il y a une autre d\'efinition de la limite d'une fonction
utilisant $\varepsilon-\delta$ qui est \'equivalente \`a la
d\'efinition \ref{lim-suites}.

\begin{dfn} Soit $f: D \to \R^q$ une fonction d\'efinie sur une
partie $D$ de $\R^p$ et $A$ un point adh\'erent \`a $D$, $L$ un point
de $\R^q.$ On dit que $f$ a pour \underline{limite} $L$ lorsque $X
\to A$ si : $(\forall \varepsilon > 0, \exists \eta >0~;
\|X - A \| \leq \eta, X \in D) \Longrightarrow (\|f(X) - L\| \leq
\varepsilon).$
\end{dfn}

\begin{remark}
{\phantom{mu}}
\

\begin{enumerate}\label{unique}
\item La notion de limite ne d\'epend pas des normes utilis\'ees (pourquoi
?).
\item La limite, si elle existe, est \underline{unique} (trivial mais tr\`es important).
\item La limite partielle~: soit $D_1 \subset D$ un sous-ensemble et
$A$ un point adh\'erent \`a $D_1.$ Si $f(X)$ tend vers $L$
lorsque $X$ tend vers $A$ en restant dans $D,$ alors  \ $f(X)$
tend vers la m\^eme limite $L$ si $X$ tend vers $A$ en restant
dans $D_1.$ En particulier, si on regarde le comportement des
fonctions partielles au m\^eme point, elles doivent toutes
avoir la m\^eme limite (si elle existe, bien sûr).
\end{enumerate}

\end{remark}

Nous avons les propri\'et\'es suivantes des  limites de fonctions~:
\begin{proposition}\label{limites}
 Soient $f$  et $g$ des fonctions d\'efinies sur $D \subset \R^p$ \`a valeur dans
$\R^q, \ X \in D \ \et A$ un point adh\'erent \`a  $D.$
\begin{enumerate}
\item $\lim_{X \to A} \left(f(X) \pm g(X)\right) = \lim_{X \to A} f(X) \pm \lim_{X \to A}
g(X)$
\item $\lim_{X \to A} f(X)g(X) =\lim_{X \to A} f(X) \cdot \lim_{X \to
A}g(X)$
\item Pour les fonctions \`a valeurs r\'eelles (i.e. $q=1$) si $\lim_{X \to A} f(X) \not=0$ on a $$\lim_{X \to A}
\frac{1}{f(X)} = \frac{1}{\lim_{X \to A} f(X)}.$$
\item \underline{Composition}. Soient les fonctions $
g_i: E \subset \R^n \to \R^p, \ i = 1, \cdots, p \ $ et $B$ un point
adh\'erent \`a  $E \et f: D \subset \R^p \to \R^q, $ si $\lim_{Y \to
B} g_i(Y) = a_i,\ A = (a_1, \cdots, a_p)$ un point adh\'erent \`a
$D$ alors $$ \lim_{Y \to B} f (g_1(Y), \cdots, g_p(Y)) = \lim_{X \to
A} f(X).$$
\item \underline{Majoration}.
Si $\lim_{X \to A} g(A) = 0 \et \|f(X) - C\| \leq g(X), C \in \R^q $
pour tout $X$ au voisinage de $A,$ alors $\lim_{X \to A} f(X) = C.$
\end{enumerate}
\end{proposition}

La preuve de cette proposition r\'ep\`ete la preuve d'une
proposition analogue pour des fonctions d'une variable - il
faut juste utiliser des normes \`a la place des valeurs
absolues.


\subsection{Continuit\'e}

\begin{dfn}
Une
fonction $f$ est \underline{continue en un point} $A \in D$ si la limite de
$f$ en ce point existe et est \'egale \`a la valeur de la fonction en
$A.$

La fonction est \underline{continue sur $D$} si elle est continue en
tout point de $D.$
\end{dfn}
Ou bien on peut reformuler cette d\'efinition \`a l'aide des
suites~:

\begin{dfn}  Soit $\displaystyle f:\ D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$ et
$A\in D$. On dit que $f$ est {\underline{continue}} en $A$ ssi
$\forall \left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ suite de $D$ telle que
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}X_n=A,$ on a
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}f(X_n)=f(A)$.
\end{dfn}

\begin{property} \label{fonctions continues} \textbf{Op\'erations sur les fonctions continues}~: suite \`a la
Proposition \ref{limites} la somme, le produit et le quotient
(l\`a o\`u le d\'enominateur ne s'annule pas) des fonctions
continues sont continus. La compos\'ee de fonctions continues
est continue.\end{property}

\begin{remark}  Toute fonction obtenue \`a l'aide de fonctions
continues \'el\'ementaires de variables $(x_1, \cdots, x_p)$
en utilisant les op\'erations alg\'ebriques et la composition
est continue dans son domaine naturel de d\'efinition.
Exemples~: des polyn\^omes $x^k y^n,$ exponentielles $e^{2x +
xy},$ trigonom\'etriques $\sin (xy)$ etc sont continues  sur
$\R^2.$



 \textbf{Attention}~: $\displaystyle{\frac{1}{x^n y^m}},
n,m>0$ n'est pas un polyn\^ome (et n'en a jamais \'et\'e un).
\end{remark}


\noindent Il peut \^etre pratique de fixer toutes les composantes
sauf une: \vspace{0.5cm}
\begin{dfn}
\noindent Soit $\displaystyle f:\
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$. Soit $\displaystyle
X_0=(x_0^1,\dots,x_0^p)\in D$. Pour $i=1\dots,p$, on appelle
{\underline{$i$-\`eme fonction partielle}} de $f$ en $X_0$ la
fonction:
\[
f_{X_0,i}:\left\{\begin{array}{c} D_i\subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^q\\
  x\mapsto f(x_0^1,\dots,x_0^{i-1}, x,x_0^{i+1},\dots,x_0^p)\end{array}\right.
\]
o\`u $x$ est \`a la $i$-\`eme place, et $D_i$ est tel que pour $x\in D_i$, $(x_0^1,\dots,x,\dots,x_0^p)\in D$.
\end{dfn}
\vspace{0.5cm}


\begin{proposition}
\noindent Si $f$ est continue en $x_0=(x_0^1,\dots,x_0^p)$ alors
$\forall i=1\dots,p$, la fonction partielle $f_{x_0,i}$
est continue en $x_0^i$.
\end{proposition}
\begin{remark}
La r\'eciproque est fausse! \end{remark}

{\tiny
\begin{example} \label{x2/x2}
 \noindent On consid\`ere une fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie
de la  fa\c con suivante
\[
f:\
(x,y)\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\mbox{
si }
                   (x,y)\neq (0,0),\\\\
                   0\mbox{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}\right.
\]
Ses $2$ fonctions partielles en $(0,0)$ sont
\[
f_{(0,0),1}:\
x\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{x\cdot 0}{x^2+0}
\mbox{ si }x\neq 0,\\\\
0\mbox{ si }x=0,\end{array}\right.
\]
et
\[
f_{(0,0),2}:\
y\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{0\cdot
y}{0+y^2}\mbox{ si }
                   y\neq 0,\\\\
                   0\mbox{ si }y=0.\end{array}\right.
\]
Elles sont donc \underline{continues}. Pourtant $f$ {
\underline{n'est pas continue}} en $(0,0)$: \vspace{0.1cm}

\noindent Soient $x_n=y_n=1/n$. On a
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n=0$,
mais $\displaystyle f(x_n,y_n)=\frac{1/n^2}{2/n^2}=\frac{1}{2}$.
Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f(x_n,y_n)\neq
0=f(0,0)$.

\noindent Une autre d\'emonstration du fait que $f$ n'est pas
continue en $(0,0)$~: prenons une restriction de $f$ sur la
droite $D_1$ d\'efinie par l'\'equation $y=x.$
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left(f(x,y)\big|_{D_1} \right) = \lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{xx}{x^2+x^2} =
\frac{1}{2}.$$ Donc la fonction $f$ restreinte \`a un
sous-ensemble $D_1$ de $\R^2$ n'a pas la m\^eme limite que la
m\^eme fonction restreinte \`a deux autres sous-ensembles de
$\R^2.$ (Les fonctions partielles  $f_{(0,0),1} \et
f_{(0,0),2}$ sont des restrictions de $f$ aux droites $y=0 \et
x =0$ respectivement). Or la limite, si elle existe, doit
\^etre unique (remarque \ref{unique}), donc la limite n'existe
pas.
\end{example}
}




\noindent \textbf{Etude de continuit\'e des fonctions~:}
\begin{example}
\

\begin{enumerate}
\item {\tiny On consid\`ere $f(x,y) = x^2 + y^2. $ On va montrer que  pour toutes valeurs
$(x,y) = (a,b)$ la limite de $\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)$
existe et est \'egale \`a la valeur au point $f(a,b)= a^2 +
b^2.$ Si $(x,y) \to (a,b)$ (par exemple dans une norme
euclidienne) cela veut dire que $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \to
0$ donc  on a~: $$(x-a)^2 + (y-b)^2 \to 0
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x -a \to 0\\
y-b \to 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x \to a\\
y\to b\end{array}\right.$$

Donc $\lim_{(x,y) \to (a,b)}x^2 +y^2 = a^2 + b^2,$ c'est
exactement ce qu'on cherche a montrer, et alors la fonction est
continue en chaque point.}

En g\'en\'eral on ne v\'erifie pas la
continuit\'e en chaque point comme dans cet exemple - aux
points r\'eguliers on utilise plut\^ot les propri\'et\'es des
fonctions continues.
\item Prenons un autre exemple~:
$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{c}\displaystyle{\frac{y}{x}}, \
\mbox{si}
 \ x\not=0\\
3, \ \mbox{si}
 \ x = 0 \end{array}\right.$$
alors $ \ f(a,b) = \displaystyle{ \frac{y}{x}} \ \mbox{pour } \
x \not=0$ \'etant  une fraction de fonctions continues est
continue mais pour $x=0$ sur les droites $y = kx$ on obtient
des limites diff\'erentes quand $x \to 0$. On conclut que la
fonction n'est pas continue en $(0,b), \ \forall b \in \R$. Il
y a une droite des points de discontinuit\'e. Cette droite a
pour \'equation $x =0.$
\end{enumerate}
\end{example}


\begin{dfn} Soit $f: D \to \R^q$ une fonction d\'efinie sur une partie
$D$ de $\R^p$. Soit $A$ un point adh\'erent \`a $D$ n'appartenant
pas \`a $D.$ Si $f$ a une limite $L$ lorsque $X \to A$ on peut
\'etendre le domaine de d\'efinition de $f$ \`a $D \bigcup \{A\} $ en
posant $f(A) = L.$ On dit que l'on a \underline{prolong\'e $f$ par
continuit\'e au point $A.$}
\end{dfn}
{\tiny \begin{theorem} (Admis)
Soit $f: D \to \R^q$ une fonction d\'efinie sur une partie $D$ de
$\R^p$. Les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue
\item Pour tout ouvert $U$ de $\R^q, \ f^{-1} (U) $ est un ouvert de
$\R^p$
\item Pour tout ferm\'e $F$ de $\R^q, \ f^{-1} (F) $ est un ferm\'e de
$\R^p$
\item Pour toute suite $(X_n)_{n \in \N}$ de $D \subset \R^p$ convergeant
vers $A,$ la suite  $(f(X_n))_{n \in \N}$ converge vers $f(A)$ pour tout $A \in
D.$
\end{enumerate}
\end{theorem}
}






\subsection{Coordonn\'ees polaires}

Notation~: $\R_+ = [0, +\infty[.$ On a une application bijective de
$\R_+ \times [0, 2\pi[$ vers $\R^2$ donn\'ee par les formules
suivantes~:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{cc} x &= r \cos t\\
y & = r \sin t
 \end{array} \right.
\end{equation}

Son application r\'eciproque est l'application de $\R^2 \to
\R_+ \times [0, 2\pi[$ suivante~:
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{cc} r &= \sqrt{x^2 + y^2}\\
t & = \displaystyle{\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}
 \end{array} \right.
\end{equation}
Donc en particulier, on a $r^2 = x^2 + y^2.$ Dans certains exemples
d'\'etude de continuit\'e des fonctions il est utile de passer aux
coordonn\'ees polaires.


Souvent c'est pratique d'utiliser les  coordonn\'ees polaires pour \'etudier la continuit\'e, car la condition sur deux variables $(x,y) \to 0$ devient une condition sur une seule variable  $ r \to 0.$
\begin{example}
\

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie
de la  fa\c con suivante
\[
f:\ (x,y)\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{x^2 -
y^2}{x^2+y^2}\mbox{ si }
                   (x,y)\neq (0,0),\\\\
                   0\mbox{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}\right.
\]
Cette fonction est continue sur $\R^2 \setminus \{(0,0)\}$ en
tant que fraction de  fonctions continues. En $(0,0)~$ on a~:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\displaystyle\frac{x^2 -
y^2}{x^2+y^2} =  \lim_{\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \to 0
}\displaystyle\frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2} = \lim_{r \to
0}\displaystyle\frac{r^2 \cos^2 t - r^2 \sin^2 t}{r^2}.\] Cette
limite est \'egale \`a $ \cos ^2 t - \sin^2 t.$ Le r\'esultat
d\'epend de $t,$ i.e. il n'y a pas de limite unique, donc la
limite n'existe pas et $f$ n'est pas continue en $(0,0)$.
\item Soit la fonction $g: \R^2 \to \R$ d\'efinie
de la  fa\c con suivante~:
\[
g:\
(x,y)\mapsto\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{x^3}{x^2+y^2}&
\mbox{ si }
                   (x,y)\neq (0,0),\\\\
                   0 &\mbox{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}\right.
\]
 Cette fonction est continue sur $\R^2
\setminus \{(0,0)\}$ en tant qu'une fraction des fonctions
continues. En $(0,0)$ on a~:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\displaystyle\frac{x^3}{x^2+y^2} =  \lim_{\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \to 0
}\displaystyle\frac{x^3}{x^2+y^2} = \lim_{r \to
0}\displaystyle\frac{r^3 \cos^3 t}{r^2} \] Cette limite est \'egale
au produit des limites~: $\lim_{r \to 0} (\cos^3 t) \lim_{r \to 0}
r= 0,$ car $| \cos t| \leq 1$  - une fonction born\'ee. Finalement,
la fonction $g$  est continue en $(0,0)$  et donc elle est continue
sur $\R^2.$
\end{enumerate}
\end{example}


\subsection{Propri\'et\'es des fonctions continues sur un compact}
\begin{dfn}
Une \underline{partie compacte (un compact)} de $\R^p$ est une
partie ferm\'ee et born\'ee.
\end{dfn}
Il existe au moins deux differentes fa\c cons de d\'efinir un
compact dans un espace norm\'e, mais dans $\R^p$ elles sont
\'equivalentes \`a celle qu'on donne ici.
\begin{example}
Dans $\R$ un intervalle ferm\'e, et dans $\R^p$ les boules
ferm\'ees sont des exemples de  compacts.
\end{example}
\begin{theorem} (Admis)
Soit $f: D \to \R^q$ une fonction \emph{continue} sur une
partie $D \subset \R^p$ et $K$ une partie compacte de $\R^p$
contenue dans $D.$ Alors, $f(K)$ est une partie compacte de
$\R^q.$
\end{theorem}
\begin{corollary}
Une fonction continue sur un compact est born\'ee et atteint ses
bornes.
\end{corollary}
Cela signifie que sur un compact $K \in \R^p$ il existe au
moins un point $X_m \in K$ et au moins un point $X_M \in K$
tels que pour tout $X\in K$ on ait $$\|f(X_m)\| \leq \|f(X)\| \leq
\|f(X_M)\|.$$



\subsection{Connexit\'e par arc. Th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires}

\begin{dfn}\label{def:arc}
On dit qu'une partie $\Gamma$ de $\R^p$ est un \underline{arc
continu} si on peut trouver une application continue $\gamma$
d'un intervalle $[a,b]$ de $\R$ dans $\R^p$ dont l'image soit
$\Gamma.$ $\gamma$ est appel\'e un \underline{param\'etrage} de $\Gamma.$
Les points de $\Gamma, \  A = \gamma(a) \et B= \gamma(b)$
s'appellent les \underline{extr\'emit\'es} de $\Gamma.$
\end{dfn}
\underline{Attention}~: $\Gamma$ est un objet g\'eom\'etrique
tandis que $\gamma,$ une fonction continue, est un objet
analytique. Un arc continu admet une infinit\'e de param\'etrages
possibles.

\begin{dfn}\label{connexe}
Soit $E$ un sous-ensemble de $\R^p.$ On dit que $E$ est
\underline{connexe par arc} si, \'etant donn\'es deux points
arbitraires $A \et B$ de $E$ on peut trouver un arc continu $\Gamma$,
d'extr\'emit\'es $A,B$ enti\`erement contenu dans $E.$
\end{dfn}
\begin{theorem}[\textbf{des valeurs interm\'ediaires}]
Soit $f:D \to \R$ une fonction \underline{continue} sur une partie $D
\subset \R^p$ connexe par arc. Soit $A,B$ deux points de $D.$
Pour tout nombre r\'eel $r$ compris entre $f(A) \et f(B)$ il
existe un point $C$ de $D$ tel que $f(C) = r.$
\end{theorem}
\begin{proof} Ici on utilise le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires des fonctions d'une variable.
Soit $\gamma: [a,b] \to D$ un
param\'etrage d'un arc continu tel que $\gamma(a) = A \et \gamma(b)
= B.$ La fonction d'une variable $f\circ \gamma~: I \to \R$ est continue \'etant
une composition de fonctions continues donc, par le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe $c \in [a,b],
\tq f\circ \gamma(c) = r.$ Soit $C= \gamma(c),$ alors $C \in D \et
f(C) = r.$
\end{proof}

\section{{Chapitre III.} Calcul Diff\'erentiel}

\subsection{D\'eriv\'ees. Matrice jacobienne. Gradient}
\

\textbf{Rappel.} Soit $f:I \to \R$ une fonction d\'erivable sur
un intervalle $I \in \R.$ La d\'eriv\'ee de $f$ au point $a\in
I$ est~:
\begin{equation}\label{lim}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a}
\frac{f(x) - f(a)}{x-a}\end{equation}

Soit $\displaystyle f:\ D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$
et $A\in D$. Une expression du type
``$\displaystyle\lim_{X\rightarrow A}\frac{f(X)-f(A)}{X-A}$'' n'est pas bien d\'efinie parce que diviser par $X-A$, qui est un vecteur de
$\displaystyle\mathbb{R}^p$, n'a aucun sens! N\'eanmoins, si on fixe
toutes les composantes de $X$ sauf une, on peut d\'efinir des
\underline{d\'eriv\'ees partielles.}
\begin{dfn} Soit $\displaystyle f:\ D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$
et $A\in D$. Pour $i=1,\dots,p$, on appelle {\underline{d\'eriv\'ee
partielle}} par rapport \`a $x_i$ de $f$ en $A= (a_1, \cdots a_p)$,
et on note $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(A)$, ou
bien $f^\prime_{x_i}(A),$ la d\'eriv\'ee de la fonction partielle
$f_{A,i}$ prise en $a_i$: $$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial
x_i}(A)=f_{A,i}'(a_i) = \lim_{x_i  \to a_i} \frac{f(a_1, \cdots, x_i,\cdots, a_p) - f(a_1, \cdots, a_i,\cdots, a_p)}{x_i-a_i}. $$
\end{dfn}
Pour une fonction de deux variables $f: D \in\R^2 \to \R$ en
point $A = (a,b)\in D$ les d\'eriv\'ees partielles de $f(x,y)$
en $(a,b) $ sont les d\'eriv\'ees des fonctions partielles
$f(x,b) \et f(a,y)$ qui se calculent alors~: \[ \frac{\partial
f}{\partial x} (a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,b) -
f(a,b)}{h} \et  \frac{\partial f}{\partial y} (a,b) = \lim_{k
\to 0} \frac{f(a,b+k) - f(a,b)}{k}.\]

Parfois, on les note aussi $f'_x(a,b) \et f'_y(a,b).$
\begin{example} Soit $f(x,y) = 2x^2 -3xy + 4 y^2.$ Calculer les
d\'eriv\'ees partielles au point $(1,2).$ En consid\'erant $y$
constant et en d\'erivant par rapport \`a $x$ on a~:
\[\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(x,y) = (1,2)} = (4x - 3 y)\big|_{(x,y) = (1,2)}
= -2
\]En consid\'erant $x$
constant et en d\'erivant par rapport \`a $y$ on a~:
\[\frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(x,y) = (1,2)} = (-3x +8y)\big|_{(x,y) = (1,2)}
= 13
\]
\end{example}

\begin{dfn}\label{dfn:Jac}
La matrice des d\'eriv\'ees partielles de $f~: \R^p \to \R^q$ \
s'appelle la \underline{matrice jacobienne} ou la
\underline{Jacobienne} de $f.$
\end{dfn}
La matrice jacobienne $Jac(f)(X_0)$ fait passer de
$\displaystyle\mathbb{R}^p$ dans $\displaystyle\mathbb{R}^q$: elle a
$p$ colonnes et $q$ lignes.
\begin{equation} \label{Jac}
Jac(f)(X_0)=\left(\begin{array}{ccc}
\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(X_0)&\dots&\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(X_0)\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle \frac{\partial f_q}{\partial
x_1}(X_0)&\dots&\displaystyle \frac{\partial f_q}{\partial x_p}(X_0)
\end{array}\right).
\end{equation}
Autrement dit, pour une fonction vectorielle $f(x_1, \cdot x_p)$ \`a valeurs dans $\R^q$
la matrice jacobienne a pour
colonnes les vecteurs $\frac{\partial f}{\partial
x_i}.$ En particulier,
pour une fonction de  $p$ variables \`a valeurs r\'eelles, la
matrice jacobienne est simplement une matrice-ligne~: $$Jac(f)(x_1,
\cdots, x_p) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1},
\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_p}\right).$$ Sa matrice
transpos\'ee - la matrice-colonne~:
$$\grad f(x_1, \cdots, x_p) = \phantom{2}^\dag\!\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},
\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_p}\right)$$ s'appelle le
\underline{gradient} de $f$.
\subsection{Propri\'et\'es des d\'eriv\'ees
partielles.}

Les d\'eriv\'ees partielles d'une fonction qui est obtenue par
des op\'erations alg\'ebriques sur d'autres fonctions (somme,
produit, fraction) suivent les m\^emes r\`egles.

Si une fonction $f: D \subset \R^p \to \R^q$ est obtenue par
des op\'erations alg\'ebriques (somme, produit, fraction) sur
les fonctions $g,h : D \subset \R^p \to \R^q,$ ses d\'eriv\'ees
partielles peuvent \^etre obtenues \`a partir des d\'eriv\'ees
partielles de $g$ et $h$ par les formules de d\'eriv\'ee de
somme, produit, fraction habituelles ($(u+v)' = u' + v'$, etc.)

Les d\'eriv\'ees partielles d'une composition de fonctions sont
plus compliqu\'ees.

\textbf{Rappel~: r\`egle de cha\^\i ne.} Soit $g: I \subset \R \to
J \subset \R, g: x \mapsto g(x), \ h: J \subset \R \to \R, h: y
\mapsto h(y)$ et $f: I \subset \R \to \R, f: x \mapsto h
(g(x)).$ On a~:
\[
\frac{\df}{\dx}\big|_{x=x_0}=\frac{\!{\mathrm d}h
}{\dy}\big|_{y=g(x_0)} \cdot \frac{\dg}{\dx}\big|_{x=x_0}\]


\begin{proposition}\label{compose}
Soient $$\begin{array}{rl} g:& D \subset \R^p \to E \subset \R^m, g:
X \mapsto g(X) =
(g_1(X), \cdots, g_m(X)),\\
 h:& E \subset \R^m \to \R^q, h: Y \mapsto
h(Y) = (h_1(Y), \cdots, h_q(Y)),\\  f:& D \subset \R^p \to \R^q, f:
X \mapsto h (g(X)) = f(X) = (f_1(X), \cdots f_q(X)) \end{array}$$
des fonctions telles que  $g$ en $X_0 \in D$ et $h$ en $g(X_0) \in
E$ sont  des fonctions continument d\'erivables (i.e. les
d\'eriv\'ees partielles existent et sont continues)
 alors pour tout $i \in \{1, \cdots, p\}, j\in \{1, \cdots, q\}~:$
\begin{equation}\label{composition}\begin{array}{rl}\displaystyle{
\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(X_0)} =
&\displaystyle{\frac{\partial (h \circ g)_j}{\partial x_i}(X_0)}
\\=& \displaystyle{\frac{\partial h_j}{\partial
y_1}(g(X_0))\frac{\partial g_1}{\partial x_i}(X_0) + \cdots +
\frac{\partial h_j}{\partial y_m}(g(X_0))\frac{\partial
g_m}{\partial x_i}(X_0)}\end{array}
\end{equation}
ce qui nous donne les entr\'ees d'une matrice jacobienne de $f$
qui est un produit des matrices jacobiennes de $h$ et $g.$
\end{proposition}


 En particulier, si $$h: \R^2 \to \R, \ (y_1, y_2) \mapsto h(y_1, y_2)
 \et g: \R^p \to \R^2, \ X \mapsto (g_1(X), g_2(X))$$ pour  $ f = h
 \circ g : \R^p \to \R$ on a
 \[
\frac{\partial (f)}{\partial x_i}(X_0) = \frac{\partial (h \circ
g)}{\partial x_i}(X_0) = \frac{\partial h}{\partial
y_1}(g(X_0))\frac{\partial ( g_1)}{\partial x_i}(X_0) +
\frac{\partial h}{\partial y_2}(g(X_0))\frac{\partial (
g_2)}{\partial x_i}(X_0)
\]
\begin{example}

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}

\item Soit $f(x) = e^x \sin^2 x.$ On peut voir $f$ comme une
composition de deux fonctions $g: \R \to \R^2, g(x) = (e^x,
\sin x) \et  h: \R^2 \to \R, h (y_1,y_2) = y_1 \cdot (y_2)^2.$

On a deux fa\c cons de calculer la d\'eriv\'ee de $f$ -
directement ou en utilisant la Proposition (\ref{compose})~:
\[\begin{array}{rl} f'(x)& = \displaystyle{\frac{\partial(y_1
\cdot(y_2)^2)}{\partial y_1} \cdot \frac{\partial(y_1
)}{\partial x} + \frac{\partial(y_1 \cdot (y_2)^2)}{\partial
y_2} \cdot \frac{\partial(y_2 )}{\partial x}}\\&
 =
(y_2)^2 e^x + 2 y_1 y_2 \cos x = \sin^2 x \cdot e^x + 2 e^x \sin x
\cos x.\end{array}
\]
\item  On peut aussi r\'esoudre des probl\`emes comme celui-l\`a :

Soient $f(x) = F(x, \phi(x)) = 0,$  o\`u $f(x)$ et $\phi(x)$ sont des fonctions d'une variable et $F (y_1,y_2)$  est une fonction de deux variables.
Calculer $\phi'(x)$ en fonction des d\'eriv\'ees de $F.$

On consid\`ere $f(x)$ en tant qu'une fonction compos\'ee:
$$f'(x) = \frac{\partial F}{\partial y_1}\frac{\dx}{\dx} + \frac{\partial F}{\partial y_2}\frac{{\mathrm d}\phi(x)}{\dx} =
F_1'(x, \phi(x)) + F_2'(x, \phi(x))\phi'(x) = 0.$$
D'o\`u $\phi'(x) = - \displaystyle{\frac{F_1'}{F_2'}(x, \phi(x)).}$
\end{enumerate}

\end{example}

\subsection{Deriv\'ees partielles d'ordre sup\'erieur.
Fonctions de classe $C^k$. Th\'eor\`eme de Schwarz} Soit $f : D
\subset \R^p \to \R.$ Les d\'eriv\'ees partielles d\'efinissent  $p$
nouvelles fonctions
\[ f'_{x_i}  (x_1, \cdots, x_p) = \displaystyle{\frac{\partial
f}{\partial x_i}} (x_1, \cdots, x_p).\] On peut regarder les
d\'eriv\'ees  partielles de chacune de ces nouvelles fonctions.
Cela nous donne les d\'eriv\'ees partielles d'ordre $2$ (aussi
appell\'ees les d\'eriv\'ees partielles secondes) et \`a leur
tour on peut regarder les d\'eriv\'ees partielles des
d\'eriv\'ees partielles d'ordre $2,$ etc. Cela s'\'ecrit par
exemple~:
\[f''_{x_i x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}: =
\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial
x_j}\right)
\]

\begin{dfn}
Une fonction $f : D \subset \R^p \to \R$  de \underline{classe $C^k$}
est une fonction dont toutes les d\'eriv\'ees partielles
jusqu'\`a l'ordre $k$ existent et sont continues. Une fonction
est dite de \underline{classe $C^\infty$} si elle est de classe $C^k$ pour
tout $k \in \N.$
\end{dfn}

\begin{theorem} \textbf{(Schwarz)}
Soit $f : D \subset \R^p \to \R$ une fonction de classe $C^2$ sur
$D.$ Les fonctions de d\'eriv\'ees partielles d'ordre
$2,\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial
f}{\partial x_j}\right) \et \frac{\partial}{\partial
x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}$ sont \'egales en
tout point de $D.$
\end{theorem}

\begin{remark}
Le th\'eor\`eme de Schwarz implique que les d\'eriv\'ees
partielles d'ordre $k,\  k \geq 2,$ d'une fonction de classe
$C^k,\  f : D \subset \R^p \to \R$ ne d\'ependent pas de l'ordre
dans lequel les d\'eriv\'ees partielles sont prises. Par
exemple, pour une fonction de deux variables $f(x,y)$ de classe
$C^3,$ on a~: $\displaystyle{\frac{\partial^3 f}{\partial x
\partial y \partial x} = \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial
y}}.$
\end{remark}



\subsection{Diff\'erentielle} (Chapitre 2 de \cite{Rouv}.)

Lors de l'\'equation (\ref{lim}), en essayant de g\'en\'eraliser
l'expression pour la d\'eriv\'ee d'une fonction d'une variable
aux fonctions de plusieurs variables, nous avons introduit les
fonctions de d\'eriv\'ees partielles, qui sont utiles et
r\'ev\`elent certaines informations sur le comportement de la
fonction mais n'apportent pas toute l'information.




\begin{example}
On consid\`ere \`a nouveau l'exemple \ref{x2/x2}. La fonction
$f: \R^2 \to \R$ d\'efinie de la  fa\c con suivante~:
\[
f:\
(x,y)\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\mbox{
si }
                   (x,y)\neq (0,0),\\\\
                   0\mbox{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}\right.
\]
On calcule sa d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x$~:
\begin{itemize}
\item $\forall (x_0,y_0)\neq(0,0)$,
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=
\left.\left(\frac{xy_0}{x^2+y_0^2}\right)'\right|_{x=x_0}=\left.
\frac{y_0^3-x^2y_0}{(x^2+y_0^2)^2}\right|_{x=x_0} \displaystyle
=\frac{\displaystyle y_0^3-x_0^2y_0}{\displaystyle
(x_0^2+y_0^2)^2}$.
\item $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ est la d\'eriv\'ee
de $\displaystyle x\mapsto\left\{\begin{array}{c}0\mbox{ si }x\neq 0,\\
0\mbox{ si }x=0,\end{array}\right.$

donc $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=
\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = 0$.
\end{itemize}
 On voit que
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe, de m\^eme
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existe et vaut $0$, et pourtant
$f$ n'est m\^eme pas continue en $(0,0)$. Donc les d\'eriv\'ees partielles ne
suffisent pas \`a d\'ecrire la r\'egularit\'e de la fonction.
\end{example}

Nous allons r\'e\'ecrire l'\'equation (\ref{lim}) sans division
et la g\'en\'eraliser aux fonctions de plusieurs variables.

\begin{dfn} Soit $f: D \subset \R^p \to \R^q, \ A \in D.$
La \underline{diff\'erentielle}  $ \df(A) $  de $f$ au point $A$ est \underline{une application lin\'eaire} de $\R^p$ dans $\R^q$ telle que
 au voisinage de
$A$ on a~: \begin{equation} \label{diff}
 f(A + H) - f(A) = \left(\df(A)\right) (H) + r(H), \ \mbox{o\`u} \ r(H) = o(\|H\|).
 \end{equation}
Ici, $H \in \R^p,$ tel que  $A + H$ est au voisinage de $A.$
La fonction $f$ est dite \underline{diff\'erentiable au point} $A$ si elle poss\`ede une diff\'erentielle en ce point.
La fonction $f$ est dite \underline{diff\'erentiable} dans un domaine $D$ si elle est diff\'erentiable en tout point de $D$.

Cette application agit sur les vecteurs de $\R^p$ et les envoie vers $\R^q,$ en particulier $(\df(A)) (H) \in \R^q.$
Le reste, $r(H) = o(\|H\|),$ dit ``petit $o$'' de $\|H\|,$ est
une fonction $r: D \subset \R^p \to \R^q,$ n\'egligeable devant $\|H\|.$ On peut comparer leurs normes~:\[ \lim _{\|H\|
\to 0} \frac{\|r(H)\|_{\R^q}}{\|H\|_{\R^p}} = 0.\]
On peut r\'e\'ecrire la condition de diff\'erentiablit\'e
\[
 \lim_{\|H\| \to 0} \frac{f(A + H) - f(A) - \left(\df(A)\right) (H)}{\|H\|} = 0
\]

 Si elle existe, la diff\'erentielle $\df(A) $ est \underline{unique}. On la
note selon les auteurs ou les circonstances~:
\[
L = Df(A) \ \mbox{ou} \ \df(A) \ \mbox{ou} \ D_Af \ \mbox{ou} \
\mathrm{d}_Af.
\]
\end{dfn}
La diff\'erentielle $\df(A),$ si elle existe, est donn\'ee par une matrice de taille $p\times q$ (une application lin\'eaire de $\R^p$ vers $\R^q$ \'ecrite dans des bases des espaces vectoriels $\R^p \et \R^q$). Cette matrice est appell\'ee la
\underline{matrice jacobienne.}

La diff\'erentiabilit\'e entra\^\i ne
l'existence des d\'eriv\'ees partielles. On peut le voir sur
un exemple d'une fonction $f$ \`a $p$ variables \`a valeurs
r\'eelles ($q=1$). Par d\'efinition~:
\[\frac{\partial f}{\partial x_i} (A) = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(a_1,
\cdots, a_i+h_i, \cdots, a_p) - f(a_1, \cdots, a_i, \cdots,
a_p)}{h_i}. \] Par d\'efinition de la diff\'erentielle on a
aussi\[ \frac{f(a_1, \cdots, a_i+h_i, \cdots, a_p) - f(a_1,
\cdots, a_i, \cdots, a_p)}{h_i}= \frac{\df(A)(H) + r(H)}{h_i}\]
Ici $H$ est le vecteur transpos\'e de $(0, \cdots, h_i, \cdots,
0).$ Donc $r(H) = o(\|H\|) = o(h_i)$ et
$$\lim_{h_i \to 0} \frac{\df(A)(H) + r(H)}{h_i} = \lim_{h_i \to
0} \frac{\df(A)(H)}{h_i}.$$

Donc ici
$$\df(A)\phantom{2}^\dag\!(0, \cdots,0,h_i, 0, \cdots,0) =
\frac{\partial f}{\partial x_i} (A)\cdot h_i$$ et  par lin\'earit\'e
\[ \df(A)\phantom{2}^\dag\!(h_1, \cdots, h_i, \cdots, h_p) = \sum_{i=0}^p \frac{\partial f}{\partial x_i} (A)
\cdot h_i
\]
Finalement, on remarque que
$$\df (A) (H) = Jac (f)(A) H \et \df(A) = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i}(A) \dx_i$$
car les diff\'erentielles de fonctions $x_i,$ not\'ees  $\dx_i,$
satisfont $\dx_i(H) = h_i.$

Dans les exercices de nature th\'eorique, la
diff\'erentiabilit\'e est souvent \'etablie en montrant
directement par des majorations que le reste $r(H)$ est un
$o(\|H\|).$ Mais si $f$ est donn\'ee explicitement au moyen des
fonctions usuelles, on va plus vite en constatant simplement
l'existence et la \underline{continuit\'e} de ses d\'eriv\'ees
partielles.  Si une fonction est de
classe $C^1$ elle est diff\'erentiable.
\begin{property}
Soit $\displaystyle f:\
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$ et $X_0\in D$. Si
$\forall i=1,\dots,p$, $\forall j=1,\dots,q$, $\displaystyle
X\mapsto\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(X)$ {\it existe au
voisinage de $X_0$ et est continue en $X_0$}, alors $f$ est
diff\'erentiable en $X_0$.
\end{property}


En termes moins pr\'ecis, que j'ai prise dans le livre \cite{Rouv} et que
je pense essentielle pour la compr\'ehension du cours, la GRANDE
ID\'EE DU CALCUL DIFF\'ERENTIEL~:
\begin{equation}\label{idee}
\left(\begin{array}{c}\mbox{accroissement}\\\mbox{de la fonction}
\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}\mbox{terme lin\'eaire par rapport \`a
}\\\mbox{l'accroissement de la variable}\end{array}\right)+ \left(
\begin{array}{c} \mbox{\tiny{petit terme}}\\\mbox{\tiny{correctif}}\end{array}\right)
\end{equation}

\begin{proposition}\textbf{Propri\'et\'es de la diff\'erentielle.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Continuit\'e.} Une fonction diff\'erentiable en un point est continue en ce
point.
\item \textbf{Lin\'earit\'e.} Soient $f,g: D \to \R^q$ deux fonctions d\'efinies sur une partie $D$
de $\R^p$. Si $f \et g$ sont diff\'erentiables en $A \in D, \
\lambda \in \R,$ alors $\mathrm{d}(f+g)(A) = \df(A) + \dg(A)$ et
$\mathrm{d}(\lambda f)(A) = \lambda \df(A).$
\item
\textbf{Composition.} Soient $g: D \to E \subset \R^m$
d\'efinie sur une partie $D$ de $\R^p$ et diff\'erentiable en
$A\in D, $ et  $h: E \to \R^q$ diff\'erentiable en $g(A),$
alors $h \circ g$ est diff\'erentiable en $A$ et la
diff\'erentielle $\mathrm{d} (h \circ g) (A) = \dh (g(A)) \times \dg(A)$
\end{enumerate}
\end{proposition}

La composition suit de la formule (\ref{diff})~:
$$\begin{array}{rl}h(g(A+H)) - h(g(A)) = & \mathrm{d}h (g(A))(g(A+H) - g(A)) + \
\mbox{petit reste}\\
 = & \mathrm{d}h (g(A))\dg(A)(H) + \ \mbox{un autre petit reste}\end{array}$$

En pratique c'est donn\'e par le produit des matrices jacobiennes
(comparer avec l'\'equation (\ref{composition})).


Regardons maintenant une fonction $f: D \subset \R^2 \to \R.$
Soit $(x,y) \in D.$ On remarque que la diff\'erentielle d'une
fonction $(x,y) \to f(x,y)$ au point $(x,y)$ est \'egale \`a~:
\[ \df(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \dx  +
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \dy\]


\begin{example}
\begin{enumerate}
\item On reprend~: soit une fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie
de la  fa\c con suivante
\[
f:\
(x,y)\mapsto\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\mbox{
si }
                   (x,y)\neq (0,0),\\\\
                   0\mbox{ si }(x,y)=(0,0).\end{array}\right.
\]
On sait que $f$ n'est pas diff\'erentiable en $(0,0)$ parce qu'elle
n'est m\^eme pas continue. Comment se comportent ses d\'eriv\'ees
partielles au voisinage de $(0,0)$?

On a vu que si $(x_0,y_0)\neq (0,0)$, $\displaystyle \frac{\partial
f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{y_0(y_0^2-x_0^2)}{(x_0^2+y_0^2)^2}$ et
que $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$. Donc
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est bien d\'efinie au
voisinage de $(0,0)$, mais elle n'est pas continue: si $x_n=1/n$ et
$y_n=2/n$, on a $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=0$,
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n=0$, et
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial
x}(x_n,y_n)=\frac{2/n^2}{(1/n^2+4/n^2)^2} =\frac{2/n^2}{25/n^4}$.
Donc, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\partial
f}{\partial x}(x_n,y_n)\neq 0$.

\item Soit
\[
f:\ \left\{\begin{array}{c}\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\\\\
(x,y)\mapsto (x^2y^2,x+y)\end{array}\right.
\]
Est-elle diff\'erentiable en $(2,3)$?

Soit $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$, $\displaystyle\frac{\partial
f^1}{\partial x}(x_0,y_0)=2x_0y_0^2$, $\displaystyle\frac{\partial
f^1}{\partial y}(x_0,y_0)=2y_0x_0^2$, $\displaystyle\frac{\partial
f^2}{\partial x}(x_0,y_0)=1$, $\displaystyle\frac{\partial
f^2}{\partial y}(x_0,y_0)=1$.

Toutes ces d\'eriv\'ees partielles sont continues en $(2,3)$
donc $f$ est diff\'erentiable en $(2,3)$. On a $\displaystyle
Jac(f)(2,3)=\left(\begin{array}{cc}36&24\\\\1&1\end{array}\right).
$
%\[
%Df(2,3):\begin{array}{c}\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\\
%        \left(\begin{array}{c}h\\k\end{array}\right)
%        \mapsto \left(\begin{array}{cc}36& 24\\1&1\end{array}\right)
%        \left(\begin{array}{c}h\\k\end{array}\right)
%        =\left(\begin{array}{c}36h+24k\\h+k\end{array}\right)
%        \end{array}
%\]

\item On consid\`ere~:
\[
f:\ \left\{\begin{array}{c}\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\\\
x\mapsto x^2\end{array}\right.
\]
est-elle diff\'erentiable en $2$? Soit $x_0\in\mathbb{R}$,
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x_0)=2x_0$. Elle est
continue en $2$ donc $f$ est diff\'erentiable en $2$ et
$\displaystyle Jac(f)(2)=\frac{\partial f}{\partial x}(2)=f'(2)=4$.
%\[
%\begin{array}{c}Df(2):\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\
%h\mapsto 4h\end{array}
%\]
\end{enumerate}
\end{example}
\section{Chapitre IV. Propri\'et\'es g\'eom\'etriques des fonctions
de plusieurs variables}

\subsection{D\'eriv\'ee directionnelle}

\begin{dfn}
Soit $f: D \subset \R^p \to \R^q, \ A \in D$ et
$\overrightarrow{V}$ un vecteur de $\R^p.$ On dit que $f$ a une
d\'eriv\'ee au point $A$ en suivant le vecteur $\overrightarrow{V}$ si
l'expression~:
\[
D_{\overrightarrow{V}} f(A) : = \lim_{t \to 0} \frac{f(A +t \overrightarrow{V})
- f(A)}{t}
\]
existe. $D_{\overrightarrow{V}} f(A)$ s'appelle la \underline{d\'eriv\'ee
directionnelle} de $f$ en $A$ en direction de vecteur
$\overrightarrow{V}.$
\end{dfn}
\begin{remark}
Les d\'eriv\'ees partielles $\displaystyle{ \frac{\partial
f}{\partial x_i}}$ sont des d\'eriv\'ees directionnelles de $f$
en $A$ en direction de vecteurs de base $e_i =\!\!{\phantom{m}}^t(0, \cdots,\underbrace{1}_i, \cdots,  0).$
\end{remark}
\begin{proposition} Soit $f: D \subset \R^p \to \R,$ de classe $C^1,$ en $A \in D$ et
$\overrightarrow{V}$ un vecteur de $\R^p.$ Alors, la d\'eriv\'ee directionnelle de $f$ en $A$ en direction de vecteur $\overrightarrow{V}$ est \'egale au produit scalaire du gradient de $f$ au point $A$ et du vecteur $\overrightarrow{V}~:$
\begin{equation}\label{grad-dir} D_{\overrightarrow{V}} f(A) = \grad f (A) \cdot
\overrightarrow{V}\end{equation}
\end{proposition}
\noindent\begin{proof} On va d\'emontrer cette proposition pour le cas
$p=2.$ La g\'en\'eralisation au cas $p>2$ est assez directe.
Soit $\{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\}$ une base
orthonormale de $\R^2$ et $\overrightarrow{V} = \lambda
\overrightarrow{i} + \mu \overrightarrow{j} \et A= (x_0,y_0)
\in D \in \R^2.$ Soit une fonction $u : \R \to \R^2, \ u(t) =
(x_0,y_0) + t \overrightarrow{V} = \left(x_0 + \lambda
\overrightarrow{i}, y_0 + \mu \overrightarrow{j}\right) : =
\left(x(t), y(t)\right).$ On consid\`ere une fonction d'une
variable \`a valeurs r\'eelles~: $F(t) = f(u(t)).$ C'est une
fonction compos\'ee. Sa d\'eriv\'ee en $0~:$
\[
\begin{array}{rl}\displaystyle{\frac{{\mathrm d}F}{\dt}(0)}
&\displaystyle{= \frac{{\mathrm d}(f\circ u)}{\dt}(0) =
\frac{\partial f}{\partial x}\big|_{(x,y) = (x_0,y_0)}}\cdot
\frac{\partial x(t)}{\partial t}(0) + \frac{\partial f}{\partial
y}\big|_{(x,y) = (x_0,y_0)}\cdot \frac{\partial y(t)}{\partial t
}(0) \\& \displaystyle{=\frac{\partial f}{\partial x} \big|_{(x,y) =
(x_0,y_0)}\cdot \lambda + \frac{\partial f}{\partial y}\big|_{(x,y)
= (x_0,y_0)} \cdot \mu = \grad f \cdot
\overrightarrow{V}}\end{array}
\]
car $\displaystyle{\frac{{\mathrm d}x(t)}{\dt}\big|_{t=0} =
\frac{{\mathrm d}(x_0+ \lambda t)}{\dt}\big|_{t=0} = \lambda}$ et
$\displaystyle{\frac{{\mathrm d}y(t)}{\dt}\big|_{t=0} =
\frac{{\mathrm d}(y_0+ \mu t)}{\dt}\big|_{t=0} = \mu.}$ De l'autre
cot\'e
\[\begin{array}{rl}
\displaystyle{\frac{{\mathrm d}F}{\dt}(0)} &= \displaystyle{\lim_{t
\to 0}
\frac{F(t) - F(0)}{t} =\lim_{t \to 0} \frac{f(u(t)) - f(u(0))}{t} }\\
&\displaystyle{= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + \lambda t, y_0+ \mu t)
- f(x_0,y_0)}{t} : = D_{\overrightarrow{V}} f(x_0,y_0)}\end{array}
\]
D'o\`u la relation (\ref{grad-dir}).
\end{proof}


\subsection{Gradient.}

Soit $f: D \subset \R^2 \to \R$ une fonction de classe $C^1.$
Son gradient, pris en tout point de $D$ d\'efinit une fonction
\`a valeurs vectorielles $\grad f: D \subset \R^2 \to \R^2,$
not\'e aussi~:
\[\overrightarrow{\nabla} f (x,y)~: = \displaystyle{\left(\frac{\partial
f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y)}.\]

\subsubsection{\textbf{Propri\'et\'e [a]~: Le gradient est perpendiculaire \`a
la ligne de niveau}}
\begin{dfn}Soit $X$ un point d'une courbe $\Gamma \in \R^p$ et $T$ une droite tangente \`a $\Gamma$ au point $X.$
On dit qu'un vecteur $\overrightarrow{V}$ est \underline{perpendiculaire \`a la courbe} $\Gamma$  au point
$X$ si $\overrightarrow{V}$ est perpendiculaire \`a  $T.$ Dans ce cas on dit aussi que
$\overrightarrow{V}$ est \underline{normal \`a la  courbe} $\Gamma$ au point $X.$
 \end{dfn}
 En particulier, cela signifie que le produit scalaire de $V$ et du vecteur directeur de $T$ est \'egal \`a $0.$


Soient $ D \subset \R^2, \ f: D \to \R \et (x,y) \in D,$  alors si $ f(x,y) = a, \ (x,y)$ appartient \`a la ligne de
niveau $L_a (f).$
\begin{theorem}
Le vecteur gradient $\overrightarrow{\nabla} f (x,y)$ est
normal \`a la courbe $L_a(f)$ au point $(x,y).$
\end{theorem}
\begin{proof} Soit $(x+h, y+k) \in L_a(f)$ un point au
voisinage de $(x,y),$ qui appartient \`a la m\^eme courbe de niveau que $(x,y).$

Alors, $f(x+h,y+k) - f(x,y) = 0 $ car les valeurs de $f$ en ces
deux points sont \'egales. De la grande id\'ee du calcul diff\'erentiel
(\ref{idee}) on a~:
$$\begin{array}{rl}
f(x+h,y+k) - f(x,y) =& df (x,y) \cdot \left(\begin{array}{c}
h\\k
\end{array}\right) + o(\|(h,k)\|) \\=& \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial
x}(x,y)\cdot  h + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\cdot k+
o(\|(h,k)\|)}.\end{array}$$ On a $\displaystyle \lim_{(h,k) \to
0}o(\|(h,k)\|) = 0,$ donc $\displaystyle \frac{\partial
f}{\partial x}(x,y)\cdot  h + \frac{\partial f}{\partial
y}(x,y)\cdot k \to 0$ quand $(x+h,y+k) \to (x,y).$ Quand
$(x+h,y+k) \to (x,y)$ tout en restant sur $L_a(f),$ le vecteur
$(h,k)$ est un vecteur tangent \`a $L_a(f).$ On a alors trouv\'e
que le produit scalaire de
$\displaystyle\left(\frac{\partial f}{\partial
x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right) \et (h,k)$
\'egale $0,$ on en d\'eduit que  ces deux vecteurs sont
orthogonaux.
\end{proof}
\begin{example}
A. $f(x,y) = x^2 + y^2. \ L_a(f) = C((0,0), \sqrt{a})$ - cercle
de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{a}. \
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= 2x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= 2 y.}$ On remarque que
$(2x, 2y) = 2(x,y)$ est 2 fois le vecteur radial qui est en
effet orthogonal au cercle.

B. Soit la courbe d'\'equation $x^2 - y = 0.$ Pour calculer la
normale en chaque point de cette courbe, on la voit comme une
ligne de niveau $0$ de la fonction $f(x,y) = x^2 - y. $ La
normale est donc donn\'ee par son gradient~:
$\overrightarrow{\nabla}f(x,y) = \left(\begin{array}{c}2x\\
-1\end{array}\right).$
\end{example}

\subsubsection{\textbf{Propri\'et\'e [b]~: Le gradient indique la ligne de
plus grande pente}}

Sur le graphe de la fonction $f$ on prend un point
$(x,y,f(x,y)),$ alors $(x,y)$ est sur la ligne de niveau $a =
f(x,y).$

\begin{theorem}
Le gradient en $(x,y)$ indique la direction de plus grande
pente $\geq 0$ sur $\Gamma_f$ \`a partir d'un point en
question.
\end{theorem}
\begin{proof}
\[
f((x,y) +\overrightarrow{v}) - f(x,y) = \overrightarrow{\nabla}
f(x,y) \cdot \overrightarrow{v} + o(\|\overrightarrow{v}\|)\]
Le produit scalaire $\overrightarrow{\nabla} f(x,y) \cdot
\overrightarrow{v}$ vaut $\|\overrightarrow{\nabla} f(x,y) \| \cdot
\|\overrightarrow{v}\| \cos \theta,$  o\`u $\theta$ est  l'angle
entre les deux vecteurs. L'accroissement de la fonction atteint
le maximum quand $\cos \theta = 1$, alors $\overrightarrow{v}$
doit \^etre parall\`ele \`a  $\overrightarrow{\nabla} f(x,y).$
\end{proof}

\begin{remark}  En suivant la ligne de plus grande pente dans $D$ on a,
 sur le graphe, le chemin  le plus court \`a parcourir
pour obtenir une variation donn\'ee de $f.$ Autrement dit, si
on veut passer le plus vite possible du niveau $a $ au niveau
$b$ \`a partir d'un point $(x,y)$ donn\'e de niveau $a =
f(x,y),$ il faut suivre le gradient.
\end{remark}








\subsection{Formule de Taylor}
\

{\textbf{Rappel~: petit o.}} Soient $f \et g$ deux fonctions
d'une variable \`a valeurs r\'eelles. On dit que $g=o(f)$ au
point $a$ si~: \[ \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)} = 0
\]
Exemple~: $ u(x) = x^3, v(x) = x^2 + 2x.$ En $a = 0$ on a $u(x)
= o(v(x))$ et en $a = + \infty$ on a $v(x) = o(u(x)).$

\textbf{Rappel~: La formule de Taylor avec le reste en forme de
Lagrange.} Si $f$ est $n+1$ fois diff\'erentiable en $a,$ on a
une approximation de $f$ par un polyn\^ome~:
\[ f(a+t) = f(a) + f'(a) t + \cdots \frac{f^{(n)}(a)}{n!} t^n +
r_n(a,t)
\]
o\`u il existe $\theta \in [a,a +t]$ tel que $r_n(a,t) =
\displaystyle{ \frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!} t^{n+1}.}$
C'est une cons\'equence du th\'eor\`eme des accroissements
finis~: si $f$ est continue et d\'erivable sur l'intervalle
$[a,b], \ a< b$ alors $\exists x_0 \in [a,b]$ tel que $f(b) = f(a) +
f'(x_0) (b-a).$


Finalement, on a aussi \textbf{la formule de Taylor-Young} avec
$r_n(a,t) =
 o(t^{n})~:$
\[
f(a+t) - f(a) = \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} t^k + o(t^n)
\]
C'est cette formule qu'on va g\'en\'eraliser au cas de
plusieurs variables.

\begin{theorem} (Formule de Taylor)
Soit $f: D \subset \R^p \to \R$ de classe $C^n$ au voisinage du
point $A(a_1,a_2, \cdots a_p) \in D.$ Soient $H(h_1, \cdots,
h_p) \in \R^p \et$ l'intervalle $[A, A+H] \subset D.$ Alors,
\[
f(A +H) - f(A) = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k!} \left((h_1
\partial_1 + \cdots h_p \partial_p)^k (f)\right)(A) + o(\|H\|^n)
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
Ici $\partial_{i}: =
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}.$
Soit $F(t) = f(A +tH)$ une fonction compos\'ee d'une variable
\`a valeurs r\'eelles. On va utiliser la formule de
Taylor-Lagrange pour cette fonction. Pour cela on remarque
que~:
\[
F'(t) = \sum_{i=1}^p \frac{\partial  f(A+tH)}{\partial x_i}
\cdot \frac{\mathrm{d}(a_{i} + t h_{i})}{\dt}.
\]
 Pour la
$k$-\`eme d\'eriv\'ee  de la fonction compos\'ee $F(t)$ on a~:
\[
F^{(k)}(t)  =\displaystyle{
 \sum (\partial_{i_k} \cdots (\partial_{i_1} f(A+tH)\underbrace{)\cdots )}_{k \mbox{ \tiny{fois}}}
\frac{\mathrm{d}(a_{i_1} + t h_{i_1})}{\dt} \cdots
\frac{\mathrm{d}(a_{i_k} + t h_{i_k})}{\dt}}\] o\`u on prend la
somme sur tout $ {i_1 \in \{1,\cdots, p\}, \cdots, i_k \in
\{1,\cdots, p\}}.$ On remarque que $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}(a_{i_k} + t h_{i_k})}{\dt} = h_i, \forall i \in
\{1,\cdots, p\}.}$ Par le bin\^ome de Newton cette formule  se r\'e\'ecrit~:
\[F^{(k)}(t)  =
(h_{1}
\partial_{1} + \cdots + h_{p} \partial_{p})^k f(A+tH)
\]
On \'ecrit a formule de Taylor-Lagrange pour la fonction $F(0+t)$ au voisinage de $0~:$
 \[F(t) = F(0) + F'(0)t + \cdots + \frac{1}{n!}F^{(n)}(0)t^n +
 \frac{1}{(n+1)!}F^{(n+1)}(\theta)t^{n+1}, \ \theta \in [0,t].
 \]
Pour $t=1$ on a~:
\[
F(1) = F(0) + F'(0)t + \cdots \frac{1}{n!}F^{(n)}(0) +
 \frac{1}{(n+1)!}F^{(n+1)}(\theta), \ \theta \in [0,1]
\]
D'o\`u~: \[ f(a_1+h_1, \cdots, a_p +h_p) = f(a_1, \cdots, a_p)
+ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}(h_{1}
\partial_{1} + \cdots +
h_{p}\partial_{p})^kf(A) + r_n(A,H)
\]
Le dernier terme est  le reste~:  $$r_n(A,H) =
\displaystyle{\frac{1}{(n+1)!}(h_{1}
\partial_{1} + \cdots +
h_{p}\partial_{p})^{n+1}f(A+\theta H)} \equiv o(\|H\|^n).$$
\end{proof}

En particulier, la formule de Taylor \`a l'ordre $2$ est la suivante~:
\begin{equation}\label{taylor-ordre2}
f(A+H) = f(A) + \sum_{i=1}^p \partial_i f(a)h_i + \frac{1}{2}\sum
_{i,j=1}^p
\partial_i\partial_j f(a)h_i h_j +o(\|H\|^2)
\end{equation}
La matrice-colonne des entr\'ees $\partial_i f$ est la matrice
Jacobienne. La matrice $p \times p$ des d\'eriv\'ees secondes
\[
Hess_f(A): = [\alpha_{ij}] = [\partial_i \partial_j f (A)]
\]
s'appelle la \underline{matrice Hessienne} de $f$ en $A.$ Par
le th\'eor\`eme de Schwarz cette matrice est sym\'etrique si
$f$ est de classe $C^2.$ La forme quadratique $\alpha(u) =
\sum_{i,j=1}^p \alpha_{ij} u_i u_j$ s'appelle la
\underline{forme hessienne} de $f$ en $A.$

\begin{remark}
L'id\'ee de la formule de Taylor c'est de trouver
une approximation de la fonction par un polyn\^ome dans un voisinage d'un point donn\'e.


En particulier, pour $p =2, \ A=(a,b), \ H=(h,k),  \
(A+H)=(a+h,b+k)$ on a les formules de Taylor suivantes~:
\begin{itemize}
\item{$n=0$} \[f(A+H) - f(A) = o((\sqrt{h^2 + k^2})^0) \Leftrightarrow
\lim_{H \to 0} \frac{f(A+H) - f(A)}{1} = 0\] - continuit\'e
\item{$n=1$} \[f(A+H) - f(A) = h\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) +
k\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o(\sqrt{h^2 + k^2})\] -
diff\'erentiabilit\'e.
\item{$n=2$}
 \begin{equation} \begin{array}{rl}
 f(A+H)&- \ f(A)\ =  \ \displaystyle{h\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) +
k\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)}\\&\displaystyle{ +
\frac{1}{2} \left(h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) +
2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b) +
k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) \right) +
o(h^2+k^2)}\end{array}\label{Taylor-dim2}\end{equation}
\end{itemize}
\end{remark}






\subsection{Vecteur normal et plan tangent \`a un graphe d'une
fonction de 2 variables}
\

\textbf{A. Surfaces et coordonn\'ees curvilignes} (Ici je suis
le cours \cite{Zorich}). \


Soit  $f: D \to \R$ une fonction continue d\'efinie sur une
partie $D$ de $\R^2.$ L'ensemble des points de $\R^3~:$
\[ S = \{(x,y,z) \in R^3|(x,y) \in D, \  z=  f(x,y)\}
\]
est le graphe de la fonction $f$ sur $D$ (d\'efinition
\ref{partielles}). Il est \'evident que l'application~:
 $$F: D
\to S, \ F(x,y) = (x,y,f(x,y)) $$ est une bijection. Puisque
les points de $S$ sont donn\'es par des paires de nombres
$(x,y),$ l'ensemble $S$ est  une \underline{surface de
dimension $2$} dans $\R^3$.

Si on a un chemin $\Gamma: I \to D,$ alors automatiquement on a
un chemin $F\circ \Gamma: I \to S$ sur la surface $S.$ Si
$$\left\{
\begin{array}{c}x= x(t)\\ y = y(t)\end{array}\right.$$ est une repr\'esentation param\'etrique de
$ \Gamma$ alors le chemin $F\circ \Gamma$ sur $S$  est donn\'e
par les trois fonctions~: $$\left\{
\begin{array}{rl} x&= x(t)\\y &= y(t)\\  z &=
f(x(t),y(t))\end{array}\right.$$

Soit $(x_0,y_0)\in D.$ On peut trouver un chemin~: $$x = x_0
+t, \ y = y_0, \ z =  f(x_0+t,y_0)$$
 sur la surface
$S$ pour lequel la coordonn\'ee $y = y_0$ ne change pas et un
autre chemin~:
 $$x = x_0 , \ y = y_0+t, \ z = f(x_0,y_0+t)$$  pour lequel la coordonn\'ee $x = x_0$ ne
change pas. Ces chemins partant de points diff\'erents de la
surface $S$ tracent des lignes de coordonn\'ees sur $S.$ Pour
cette raison on appelle $(x,y)$ les \underline{coordonn\'ees
curvilignes} sur $S.$

\textbf{B. Plan tangent}
\

 Si la fonction $z = f(x,y)$ est
diff\'erentiable en $(x_0,y_0)\in D,$ alors, quand  $(x,y) \to
(x_0,y_0)$ on a~:
\begin{equation}\label{surface}f(x,y) = f(x_0,y_0) + \alpha(x-x_0) +
\beta(y-y_0) + o\left(\sqrt{(x-x_0)^2 +
(y-y_0)^2}\right)\end{equation} o\`u $\alpha$ et $\beta$ sont des
constantes \'egales aux d\'eriv\'ees partielles au point
$(x_0,y_0).$

Consid\'erons un plan dans $\R^3$ donn\'e par une \'equation
\begin{equation}\label{plan-0}
z = z_0 + \alpha(x- x_0) + \beta (y-y_0)
\end{equation}
o\`u $z_0 = f(x_0,y_0).$ On voit que le graphe (\ref{surface})
de la fonction $f$ autour du point $(x_0,y_0)$ est \'eloign\'e
du plan (\ref{plan-0}) d'une valeur n\'egligeable devant $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}.$

\begin{dfn}
Le plan \begin{equation}\label{plan tangent} f(x,y) =
f(x_0,y_0) + \alpha(x-x_0) + \beta(y-y_0)\end{equation} avec
$\displaystyle{\alpha = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0), \beta =
\frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)}$ est appell\'e le \underline{plan
tangent au graphe de la fonction} $z = f(x,y)$ au point
$(x_0,y_0,f(x_0,y_0)).$
\end{dfn}


\textbf{C.Vecteur normal}
\

Soit $(x,y,z) \in D \subset \R^3 \et F(x,y,z) = 0$ l'\'equation
implicite d'une surface $S$ (pr\'ec\'edemment on avait une
surface~: $z = f(x,y)$ pour laquelle $F(x,y,z) =
f(x,y) -z$.) Soit \[t \in I \subset \R,\ \gamma: t  \mapsto \ \left\{ \begin{array}{c} x = f(t)\\
y = g(t)\\
z = h(t)
\end{array}\right.\]
l'\'equation param\'etrique d'une courbe de la surface passant
par le point $P_0(x_0,y_0,z_0),$  c'est-\`a-dire qu'il existe $$t_0 \in
I, \tq (x_0,y_0,z_0) = (f(t_0),g(t_0),h(t_0)) \et (x,y,z) =
(f(t),g(t), h(t))$$ qui satisfont l'\'equation $F(x,y,z) = 0$ pour
tout $t \in I.$ Soit $u (t) = F(f(t),g(t), h(t))$ une
fonction compos\'ee de $I \to \R,$ qui est identiquement nulle
sur $I.$ Donc au point $t=t_0$ on a \begin{equation}
\label{tang}
 0
= \frac{\du}{\dt} = \frac{\partial F}{\partial x} \cdot
\frac{\mathrm{d}f}{\dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot
\frac{\mathrm{d}g}{\dt} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot
\frac{\mathrm{d}h}{\dt}
\end{equation}
 De
l'\'equation (\ref{tang}) suit que le vecteur
$\displaystyle{\left.\phantom{1}^t\!\left(\frac{\mathrm{d}f}{\dt},
\frac{\mathrm{d}g}{\dt},
\frac{\mathrm{d}h}{\dt}\right)\right|_{t =t_0}}$ est orthogonal
au vecteur $\displaystyle{
\phantom{1}^t\!\left(\frac{\partial F}{\partial x},
\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}
 \right) \equiv \grad F (P_0)}.$ Le vecteur
$\displaystyle{\left.\phantom{1}^t\!\left(\frac{\mathrm{d}f}{\dt},
\frac{\mathrm{d}g}{\dt},
\frac{\mathrm{d}h}{\dt}\right)\right|_{t =t_0}}$ est un vecteur
quelconque dans l'espace tangent \`a $S$ au point $P_0.$ Donc
le vecteur $$\grad F (P_0)= \displaystyle{
\phantom{1}^t\!\left(\frac{\partial F}{\partial x},
\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial
z}\right)(P_0)}$$ est orthogonal \`a tout vecteur tangent \`a
la surface $S$ passant par $P_0.$ Cela signifie exactement que
le vecteur gradient est  normal \`a la surface $S.$


L'\'equation du plan tangent \`a la surface donn\'ee par
l'\'equation $F(x,y,z) = 0$ est facile \`a \'etablir~: c'est le
plan passant par $P_0$ tel que tout vecteur de ce plan est
orthogonal \`a $\grad F (P_0).$ Les coordonn\'ees  d'un point $M(x,y,z)$
du plan v\'erifient : $\overrightarrow{P_0M} \cdot
\grad F (P_0) = 0.$ Ce produit scalaire donne l'\'equation du
plan tangent~:
\[
(x-x_0,y-y_0,z-z_0) \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x},
\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial
z}\right)(P_0) =0. \] De fa\c con plus explicite~:
\[ (x-x_0) \frac{\partial F}{\partial x}(P_0) +
(y-y_0)\frac{\partial F}{\partial y}(P_0) +
(z-z_0)\frac{\partial F}{\partial z}(P_0) = 0.\] On peut
comparer cette formule \`a la formule (\ref{plan tangent}).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5



\section{Extrema}

\subsection{Extrema locaux et globaux. D\'efinition}

On \'etudie le comportement d'une fonction de plusieurs
variables \`a valeurs r\'eelles. Une telle fonction peut avoir des
valeurs extr\'emales : des minima (des valeurs les plus petites) ou des
maxima (des valeurs les plus grandes) sur tout le domaine de d\'efinition
ou bien sur une certaine partie. On les appelle des
\underline{extrema}.

\begin{dfn}
\

1. Soit $f: D \to \R$ une fonction d\'efinie sur une partie $D
\subset \R^p.$ On dit que $f$ admet un \underline{maximum
(resp. minimum) global} au point $A\in D$ si pour tout $X \in
D$ on a $f(X) \leq f(A)$ (resp. $f(X) \geq f(A)$). Le maximum
(resp. minimum) est appel\'e \underline{strict} si $f(X) <
f(A)$ (resp. $f(X)
> f(A)$).

2. On dit que $f$ admet un \underline{maximum (resp. minimum)
local} au point $A\in D$ si on peut trouver un nombre  $r >0$
tel que $X \in D \et \|X-A\| < r $ entra\^ine  $f(X) \leq f(A)$
(resp. $f(X) \geq f(A)$).
\end{dfn}


Les extrema  globaux sont appel\'es aussi \underline{extrema
absolus}.

\subsection{Th\'eor\`eme des extrema sur un compact}


\begin{theorem}
Soit $f: K \to \R$ une fonction continue sur un compact $K
\subset \R^p.$ Alors $f$ admet un maximum et un minimum sur
$K.$
\end{theorem}

\begin{remark} En dimension $p=1$ la fonction a des points
extr\'emaux  sur un intervalle. Soit ils sont \`a l'int\'erieur de l'intervalle, auquel cas ils
v\'erifient $f'(x) = 0$, soit ils sont au bord de l'intervalle
(sur le bord, la condition $f'(x)=0$ n'est pas forc\'ement
satisfaite). Donc pour trouver les extrema on cherche d'abord
des points critiques (o\`u la deriv\'ee s'annule), puis on
compare la valeur des points critiques avec les valeurs
sur le bord de l'intervalle. Les valeurs max et min se trouvent
parmi ces valeurs-l\`a.
\end{remark}


\begin{dfn}
Soit $f: D \to \R$ une fonction de classe $C^1$ sur une partie
$D$ de $\R^p.$ On dit que $A \in D$ est un \underline{point critique} de
$f$ si toutes les d\'eriv\'ees partielles s'annulent en $A $
(\'equivalent \`a dire que le gradient de $f$ est nul en $A,$
\'equivalent \`a dire aussi que  la diff\'erentielle de $f$
est nulle en $A$).
\end{dfn}

\begin{theorem}[Condition n\'ecessaire d'extremum local] Soit $f: U \to \R$ une fonction de classe $C^2$ d\'efinie sur
un ouvert $U \subset \R^p$ admettant un maximum ou un minimum
local au point $A \in U. $ Alors $A$ est un point critique de
$f.$
\end{theorem}
\begin{proof} Reprenons la formule de Taylor
(\ref{Taylor-dim2}) \`a l'ordre $2$ en dimension $2$. La preuve
se g\'en\'eralise sans probl\`eme aux dimensions sup\'erieures.
\[ \begin{array}{l}
 f(a+h,b+k)- f(a,b)  = \displaystyle{h\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) +
 k\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)}\\\displaystyle{ +
\frac{1}{2} \left(h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) +
2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b) +
k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) \right) +
o(\|(h,k)\|^2)}\end{array}
\]
Si on a un maximum local en $A,$ alors $
 f(a+h,b+k)- f(a,b)  \leq 0$ pour
tout $(h,k)$ suffisamment petit. La valeur de la fonction lin\'eaire de deux variables
$\displaystyle{h\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) +
 k\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)}$, si elle
 n'est pas 0, est grande par rapport aux termes suivants.
Donc cette valeur, si elle n'est pas \'egale \`a 0, doit \^etre
n\'egative.
  Pourtant pour $h,k$ positifs il faut que  les
constantes $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(a,b)\leq 0,\
i = 1,2$ et pour $h,k$ n\'egatifs il faut que les m\^emes valeurs
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(a,b)\geq 0,\ i =
1,2$, d'o\`u $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial
x_i}}\equiv 0,\ i = 1,2.$ On peut refaire le m\^eme raisonnement pour un
min local. \end{proof}
\subsection{Extrema de fonctions de 2 variables - crit\`ere par le
d\'eterminant de matrice Hessienne }
\

\noindent Soit $\displaystyle f:\
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}$ et $X_0\in D$.
 \
Quand $p=1$, pour savoir si un point critique $X_0$ est un
maximum local ou un minimum local, on \'etudie la d\'eriv\'ee
seconde (quand elle existe):
\begin{itemize}
\item si $f''(X_0)>0$, alors $f(X_0)$ est un minimum local,
\item si $f''(X_0)<0$, alors $f(X_0)$ est un maximum local,
\item si $f''(X_0)=0$, il faut faire des calculs suppl\'ementaires de d\'eriv\'ees sup\'erieures - ce peut \^etre un point d'inflexion,
un maximum ou un minimum.
\end{itemize}
\vspace{0.1cm}

\noindent Dans le cas de plusieurs variables \`a la place de $f'',$ on \'etudie la Hessienne.
\begin{property}
Soit $\displaystyle f:\
D\subset\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}$ et $X_0\in D$ un
point critique de $f$. On suppose que la Hessienne $Hf(X_0)$ existe. Alors
\begin{itemize}
\item si toutes les valeurs propres de $Hf(X_0)$ sont strictement positives,
$f(X_0)$ est un minimum local,
\item si toutes les valeurs propres de $Hf(X_0)$ sont strictement n\'egatives,
$f(X_0)$ est un maximum local,
\item sinon, et si  toutes les valeurs propres ne sont pas 0,
il n'y a pas d'extrema. Si toutes les valeurs propres sont 0,
il faut \'etudier des termes d'ordre sup\'erieur dans la d\'ecomposition de Taylor en $X_0$.
\end{itemize}
\end{property}

Pour $p=2$ on fait le calcul de la formule de Taylor. Au point
critique $X_0(a,b)$ on a
\[
 f(a+h,b+k)- f(a,b) =
\frac{1}{2} \left(h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) +
2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b) +
k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) \right) +
o(\|(h,k)\|^2)
\]
Donc le signe de la forme quadratique (la forme hessienne)
$$\frac{1}{2} \left(h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) +
2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b) +
k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) \right)$$ va
d\'eterminer si on a un maximum, un minimum ou ni l'un ni
l'autre. Pour avoir un maximum (resp. minimum) il faut que la forme
soit n\'egative (resp. positive) pour tout $(h,k)$ au voisinage de
$(0,0).$ Si la forme hessienne n'est pas de signe d\'efini on
a des couples $(h,k)$ pour lesquelles la valeur de $
 f(a+h,b+k)- f(a,b) $ est positive et d'autres pour lesquelles
 cette valeur est n\'egative. Donc on a des directions $(h,k)$
dans lesquelles la fonction a un maximum au point $(a,b)$ et
d'autres o\`u la fonction a un minimum au m\^eme point. Ce type
de point critique s'appelle un \underline{point selle} (comme une selle de
cheval) ou bien \underline{point col} (comme dans les montagnes).

On \'etudie alors la forme hessienne. On choisit des notations
standard : \[ R =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b), \ S =
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b), \ T =
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b).
\]
On suppose que $R \not=0$ et on r\'e\'ecrit la forme hessienne~:
\[ \begin{array}{rl}
Rh^2 + 2 S hk + Tk^2 &=  \displaystyle{R\left(h^2 + 2
\frac{S}{R}hk + \frac{T}{R}k^2\right) }\\&= \displaystyle{R
\left(h^2 + 2\frac{S}{R}hk + \left(\frac{S}{R}\right)^2 k^2 -
\left(\frac{S}{R}\right)^2 k^2+ \frac{T}{R}k^2\right)} \\&=
\displaystyle{R \left(\left(h + \frac{S}{R}k\right)^2 +
\left(\frac{T}{R} - \frac{S^2}{R^2}\right)k^2 \right)}
\end{array} \]
Puisque le premier terme $\displaystyle\left(h +
\frac{S}{R}k\right)^2 \geq 0,$ c'est le
 deuxi\`eme terme qui d\'efinit si la forme est de signe d\'efini. Alors,
\begin{itemize}\item Si  $\displaystyle{(\frac{T}{R} - \frac{S^2}{R^2})} >0
\ (\Leftrightarrow RT - S^2 >0)$ on a un maximum si $R<0$ et
minimum si $R>0.$
\item Si $ RT - S^2 < 0$ on a un point selle.
\end{itemize}
\begin{remark} Si $RT - S^2 >0$ la condition $R>0$ (
$R<0$) est \'equivalente \`a la condition  $R+T
>0$ ($R+T<0$) i.e. la condition sur la trace de la matrice
hessienne.
\end{remark}
\textbf{Recherche des extrema :}\begin{itemize}\item
D\'eterminer des points o\`u $f$ n'est pas de classe $C^1$ et
regarder les valeurs de $f$
 en ces points. Par exemple, la fonction $f(x,y) = 1 -
 \sqrt{x^2 + y^2}$ admet un maximum \`a l'origine mais on ne le
 trouve pas parmi les points critiques.
 \item Rechercher les points critiques.
 \item Etudier les points critiques.
\end{itemize}
\begin{example}
Extrema locaux et globaux de  $f(x,y)= 2x^2y + 2x^2 + y^2$ sur
$\R^2.$ Points critiques~:
\[\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle{
\frac{ \partial f }{\partial x }}& = 4xy + 4x = 0 \\
\displaystyle{\frac{ \partial f }{\partial y }}& = 2x^2 + 2y  =
0
\end{array}\right. \ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{cc}
                             x(y+1) & =0 \\
                             x^2 + y & =0
                           \end{array}
\right.\] On trouve alors trois points critiques $(0,0),
(-1,-1) \et (1,-1).$


\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
&&&\\pt critique & $(0,0)$ & $(-1,-1)$ &$(1,-1)$\\&&&\\
   \hline
  $R = 4y +4 $ & 4 & 0&0 \\$S = 4x $ & 0 & -4& 4\\$T = 2 $ & 2 & 2&2 \\
  $RT - S^2$ & 8 & $-16$ &$ -16$ \\
 Signe de $R$ & $>0$ & &  \\&&&\\\hline &&&\\
  Nature du pt critique: & min & pt selle & pt selle \\&&&\\
  \hline
\end{tabular}\\


Les extrema globaux~: on voit que
\[
\lim_{x \to \pm \infty} f(x,0) = \lim_{x \to \pm \infty} 2x^2 =
+ \infty\] donc pas de maximum global. Pas de minimum global
non plus car
\[
\lim_{x \to \pm \infty} f(x,-2) = \lim_{x \to \pm \infty} -2x^2
+4 = - \infty\]
\end{example}
Ici on a utilis\'e un crit\`ere par le signe du d\'eterminant
(et de la trace) de la matrice hessienne  pour d\'eterminer la
nature du point critique. Si le d\'eterminant est $0$ on doit
regarder la formule de Taylor \`a l'ordre sup\'erieur (\`a l'ordre $3$ et parfois plus).

\begin{example}
On cherche des extrema locaux de $g(x,y) = x^4 + y^4 - 2 x^2$
sur $\R^2.$

On trouve 3 points critiques $(-1,0), \ (0,0),  \ (1,0)$ pour
lesquels on ne peut pas utiliser le crit\`ere car $RT - S^2 =
0$ mais $g(x,y) = (x^2 - 1)^2 + y^4 -1$ donc en $(\pm1,0)$ il y
a un minimum local. En $(0,0)$ on a $g(0,0) = 0$ et au
voisinage de $(0,0)$ on a des valeurs positives et n\'egatives
$g(0,y) = y^4
>0$ et $g(y,0) = x^4 - 2x^2 <0$ pour $x$ suffisamment petit.
Donc $(0,0)$ n'est pas un max ni un min, c'est un point-selle.
\end{example}



\subsection{Extrema li\'es}


Soit $K$ un compact de $\R^2.$  \ Soit $f: K \to \R$ une
fonction de classe $C^2.$ Soit $g(x,y) = 0 $ l'\'equation de la
courbe $C \subset K.$ Si  $C$ est le bord de $K,$ on a une
notation $C =\partial K.$  On regarde la restriction de $f$ sur
la courbe $C.$ Si la courbe $C$ a pour \'equation $g(x,y) = 0,$ tous les points de la courbe satisfont cette \'equation.  Quand on cherche
les extrema de la fonction $f$ sur $C$ on dit qu'on \'etudie
les extrema de $f$ assujettie \`a la contrainte $g(x,y) = 0.$ Ce sont des
\underline{extrema li\'es}.
\begin{example}\label{extrema lie}

\textbf{Exemple A. }Voici un exemple de probl\`eme de recherche d'extrema li\'es~:
parmi des rectangles avec la somme de cot\'es $2p$ (o\`u $p$
est un nombre positif donn\'e), trouver un rectangle \`a l'aire maximale.
Soient $x,y$ les cot\'es du rectangle. Alors on a $\sigma(x,y)
= xy$ l'aire, qui doit \^etre maximale tandis que $(x,y)$ sont
sousmis \`a la condition $x +y = p.$ Ici, il est facile
d'exprimer $y$ par $x$ et trouver un maximum d'une fonction
d'une variable ainsi obtenue.

Il est rare que l'on puisse exprimer $y$ directement comme une
fonction de $x$ en utilisant la contrainte.

\textbf{Exemple B. }Regardons un exemple de la page 362 \cite{Rouv}~: la fonction
$f(x,y) = x^2 + y^2$ et la contrainte, la courbe $C,$
d\'efinie par une \'equation $g(x,y) = 0.$ Il s'agit de trouver
un minimum de $f,$ li\'e par cette relation $g(x,y) = 0.$ C'est un
minimum de $f$ sur la courbe $C.$ G\'eom\'etriquement on peut r\'esoudre
le probl\`eme en tra\c cant des lignes de niveau de $f.$ Les lignes de niveau de $f$
sont des cercles concentriques du centre $(0,0).$ Si on trace
des cercles de rayons croissants, jusqu'\`a leur rencontre avec  la
courbe $C,$ la valeur critique est sur le cercle qui touche la
courbe. Faites un dessin - c'est instructif (dessinez une
courbe quelconque et tracez les cercles).
\end{example}

La m\'ethode g\'en\'erale utilise la consid\'eration suivante.
Soit $P(a,b)$ un point extremum  de $f$ restreint \`a la
courbe $C.$ Le vecteur tangent \`a  la courbe au point $P$ doit
\^etre aussi  tangent \`a la ligne de niveau $f(a,b)$ (on le
voit clairement dans l'exemple B). Mais les lignes de niveau sont normales au
gradient de $f,$ de l'autre c\^ot\'e le vecteur tangent \`a $C$
est normal au gradient de $g$. Donc ces deux gradients sont
proportionnels. On appelle le coefficient de
proportionnalit\'e le \underline{multiplicateur de Lagrange}.

\begin{proposition}
Soit $f: U \to \R, \ g: U \to \R$ deux fonctions de classe
$C^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^2. $ Soit $(a,b)$ un point de
$U$ tel que~:
\begin{enumerate}
\item $f$ soumise \`a la contrainte $g(x,y) =0$ admet un
extremum au point$(a,b)$.
\item $ \grad \ g(a,b) \not= 0$
\end{enumerate}
Alors il existe un nombre r\'eel $\lambda \not=0$ tel que
$\grad f (a,b) = \lambda \ \grad \ g(a,b).$
\end{proposition}
Les nombres $a,b, \lambda$ sont des solutions du syst\`eme
d'\'equations  suivant~: les d\'eriv\'ees partielles de $f(x,y)
- \lambda g(x,y)$ par rapport \`a $x,y,\lambda$ doivent \^etre
\'egales \`a $0.$ \[\left\{ \begin{array}{rl}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) - \lambda
\frac{\partial g}{\partial x} (a,b)} &= 0\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) - \lambda
\frac{\partial g}{\partial y} (a,b)} &= 0\\
g(a,b) &= 0
\end{array}\right.\]
\begin{example}
Trouver le point de la courbe $y=x^2$ qui est le plus pr\`es
du point $(0,h).$ Alors, ici $g(x,y) = y  - x^2, \et f(x,y) =
x^2 + (y-h)^2$ - le carr\'e de la distance. Les gradients nous
donnent
\[\left\{ \begin{array}{rl}
2x + 2 \lambda x &= 0\\
2(y-h) -\lambda &= 0\\
y-x^2 &= 0
\end{array}\right.\]
Les solutions~: soit $x = 0,$ et alors $y =0$ aussi, ou bien
$\lambda = -1$ et $y = h-1/2,$ $x = \pm \sqrt{h-1/2}.$ Alors
pour $h \geq 1/2,$ les points $(\pm \sqrt{h-1/2}, h -1/2)$ sont
\`a la distance minimale de $(0,h).$ Si $h < 1/2$ on a $(0,0)$
comme point le plus proche.
\end{example}
\begin{theorem}
Soit $f$ une fonction $C^2$ sur un compact $K \subset \R^2,$
alors $f$ atteint un minimum et un maximum globaux sur $K.$ Ces
points d'extrema sont \begin{itemize} \item soit des points
int\'erieurs de $K$, auquel cas ce sont des points critiques
($\grad \ f = 0$ en ces points)
\item soit ils sont sur le  bord
$\partial K$ de $K$ auquel cas ils sont donn\'es par le calcul
des extrema li\'es en utilisant des multiplicateurs de Lagrange.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{example} Trouver les extrema globaux de
$f(x,y) = y + y^2 -x^2 +3$ sur $B(0,1)$ disque de centre $
(0,0)$ de rayon $1.$ On cherche les points critiques~:
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}& = -2x &= 0\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}& = 1 +2 y &= 0
\end{array}\right.\]
On trouve un seul point critique $(0,-1/2).$ Ce point se trouve
dans le disque et sa valeur est $f(0,-1/2) = 11/4$
\end{example}
La matrice hessienne donne~:
\[\mbox{d\'et}\left( \begin{array}{cc}-2 & 0\\
0 & 2
\end{array}\right) = -4 <0  \Rightarrow  (0,-1/2) \ \mbox{point selle}.\]
Il faut alors chercher les extrema globaux sur le bord $x^2 +
y^2 -1 = 0.$ On a ~:
\[\left\{ \begin{array}{rl}
-2x- 2 \lambda x &= 0\\
1 + 2y  - 2\lambda y&= 0\\
x^2 + y^2 - 1&= 0
\end{array}\right.\]
On trouve les points $(0, \pm 1) \et \displaystyle{(\pm
\frac{\sqrt{15}}{4}, -\frac{1}{4})}.$ Les valeurs~: $f(0,1) =
5, \ f(0,-1) = 3, f\displaystyle{(\pm
\frac{\sqrt{15}}{4},-\frac{1}{4})= \frac{15}{8}}.$ On compare
ces valeurs et conclut que le max se trouve au point $(0,1)$ et
le min aux points $\displaystyle{(\pm \frac{\sqrt{15}}{4},
-\frac{1}{4})}.$

\subsection{Extrema d'une fonction de $n>2$ variables}
En  dimension $n$ on proc\`ede de la m\^eme fa\c con qu'en
dimension $2.$ En utilisant la formule de Taylor en dimension
$n$  au voisinage d'un extremum on voit que la condition
n\'ecessaire est que le gradient s'annule  aux points d'extrema
locaux. La condition suffisante pour avoir un miminum (resp. maximum)
est que la forme hessienne soit positivement (resp. n\'egativement)
d\'efinie.

Pour les extrema li\'es on a le th\'eor\`eme suivant
(\cite{Rouv})~:
\begin{theorem}
Soient $f,g_1,\cdots g_n$ des fonctions r\'eelles de classe
$C^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p,$ et $E$ un ensemble d\'efini par
les \'equations~:
\[
g_1(X)= 0,  \cdots, g_n(X) = 0, \ \mbox{avec} \ X \in U.
\]
Si la restriction de $f$ \`a $E$ admet un extremum local en $A
\in E,$ et si les diff\'erentielles $Dg_1(A), \cdots, Dg_n(A)$
sont lin\'earement ind\'ependantes sur $\R^p,$ alors
n\'ecessairement les formes lin\'eaires $Df(A), Dg_1(A), \cdots,
Dg_n(A)$ sont li\'ees. En d'autres termes, il existe des
coefficients r\'eels $\lambda_1, \cdots \lambda_n,$ appel\'es
multiplicateurs de Lagrange, tels que
\[
Df(A) = \lambda_1 Dg_1(A)+ \cdots \lambda_n Dg_n(A)
\]
\end{theorem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Chapitre VI. Champs de vecteurs}

\subsection{Definitions}

\begin{dfn}
Un champ de vecteurs sur $D \subset \R^p$ est une application
qui \`a tout point $M$ de $D$ associe un vecteur
$\overrightarrow{V}(M)$ de $\R^p.$ Soit $\{O~; \overrightarrow{i},
\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\}$ un rep\`ere
orthonorm\'e de $\R^3,$ alors un champ de vecteurs
$\overrightarrow{V}(x,y,z), \ (x,y,z) \in D \subset \R^3$ est
donn\'e par trois fonctions  $P,Q \et R$ sur $D$ \`a valeurs
r\'eelles ~:
\[
\overrightarrow{V}(x,y,z) = P(x,y,z) \overrightarrow{i} +
Q(x,y,z)\overrightarrow{j} + R(x,y,z) \overrightarrow{k}
\]
On dit que le champ de vecteurs $\V$ est de classe $C^k$ sur
$D$ si $P,Q,R$ sont de classe $C^k.$
\end{dfn}
Les fonctions \`a valeurs r\'eelles, on les appelle parfois  des
champs scalaires, tandis que les champs vectoriels sont des
fonctions \`a valeurs vectorielles. Quand on dessine un champ
de vecteurs, on a des vecteurs associ\'es  \`a tout point du domaine
de d\'efinition. Pour \underline{dessiner un champ de vecteurs}, on prend quelques
points sur le plan $\R^2$ et en  chaque point choisi on calcule
la valeur du champ ; on fait un dessin du vecteur ainsi obtenu en
commen\c cant au point choisi. Voici quelques exemples de
champs faciles \`a dessiner~:

\begin{example}\




\underline{Champ uniforme}~:  champ constant, par exemple,
$\lambda \overrightarrow{i}, \ \lambda \in \R.$

\underline{Champ convergent}~: $-x \overrightarrow{i} - y
\overrightarrow{j}.$

\underline{Champ tournant}~: $- y \overrightarrow{i} + x
\overrightarrow{j}.$
\end{example}

\subsection{Gradient. Op\'erateur Nabla}

Le gradient est un exemple d'un champ de vecteurs. Le
gradient d'une fonction $f: D \to \R$ de classe $C^1$ sur $D
\subset \R^n$  associe \`a chaque point $X$ de $D$ le vecteur
$\grad f(X)$. Dans $\R^3$ en coordonn\'ees $\{x,y,z\}$ on a~:
$$\grad f (X) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(X),\frac{\partial f}{\partial y}(X),
\frac{\partial f}{\partial z}(X)\right).
$$

Dans  $\R^3$ on regarde un \underline{op\'erateur $\Nabla$} \`a coordonn\'ees
$\displaystyle{\left( \frac{\partial }{\partial
x},\frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}
\right).}$ Cet op\'erateur vectoriel
\begin{equation}
\label{nabla} {\Nabla} = \overrightarrow{i}\frac{\partial
}{\partial x}+ \overrightarrow{j} \frac{\partial }{\partial y}+
\overrightarrow{k} \frac{\partial }{\partial z}.
\end{equation}
agissant sur une fonction $f$ est \'egal au gradient~: $ \grad f
= \Nabla f.$ Cet op\'erateur $\Nabla$ est aussi appel\'e l'\underline{op\'erateur de Hamilton} (c'est le m\^eme Hamilton (1805 - 1865) qui a introduit le mot "vecteur").




\underline{\textbf{Lin\'earit\'e du gradient~: }}
 Soient $f_1,f_2$ des fonctions d\'efinies sur
une partie de $\R^n$ et $\lambda,\mu $ des nombres r\'eels. Alors
$\grad ( \lambda f_1 + \mu f_2) =  \lambda \ \grad  f_1 + \mu \
\grad f_2$

On peut se poser une question~: et si tous les champs de vecteurs sont
des gradients de fonctions ? On voit rapidement que c'est une
restriction assez forte.


\begin{dfn} Soit $\V$ un champ de vecteurs $\V: D \to \R^3, \ D \subset
\R^3.$ S'il existe $f: D \to \R$ tel que $\V = \grad f$ on dit
que le champ $\V$ \underline{d\'erive du potentiel scalaire} $f$ sur $D$ et
$\V$ est un \underline{champ de gradient} aussi appel\'e un \underline{champ
potentiel.}
\end{dfn}
\begin{remark}
\

1. La condition $\V = \grad f$ dans certains livres  de physique
est donn\'ee avec un signe~: $\V = -\grad f$ pour des raisons de
convention dans certaines \'equations.

2. Si la fonction $f$ existe, elle  est unique \`a une constante
pr\`es.
\end{remark}



\subsection{Divergence et Rotationnel}
\

 A l'aide de l'op\'erateur $\Nabla$ on peut
d\'efinir des op\'erations sur des champs - la divergence et le
rotationnel.

Soit $\V : D \subset \R^3 \to \R^3$ un champ de vecteurs de
classe $C^1.$ Le produit scalaire de l'op\'erateur  $\Nabla$ avec le champ $\V$
donne une fonction, qui s'appelle la \underline{divergence} de $\V$.

Le produit vectoriel de l'op\'erateur $\Nabla$  avec un champ $\V$ donne un
nouveau champ, qui s'appelle le \underline{rotationnel} de $\V$.

\textit{La divergence agit sur des champs de vecteurs et donne des
fonctions.}
\begin{dfn}
Soit $\V~: D \to \R^3, \ D \subset \R^3$ un champ de vecteurs,
$\V = P \I + Q \J + R \K,$ o\`u $P,Q,R$ sont des fonctions  $D
\to \R.$ La \underline{divergence} de $\V$ est
\begin{equation}\label{div}
\mathrm{div} \V = \Nabla \cdot \V = \frac{\partial P }{\partial
x}+ \frac{\partial Q}{\partial y}+  \frac{\partial R}{\partial
z}.
\end{equation}
\end{dfn}

On remarque que la divergence est lin\'eaire~: $$
\mbox{div}(\lambda \overrightarrow{V} + \mu \overrightarrow{W})
= \lambda \ \mbox{div}\overrightarrow{V} + \mu \ \mbox{div}
\overrightarrow{W}$$

\textit{Le rotationnel  agit sur des champs de vecteurs et donne des
champs de vecteurs.}
\begin{dfn}
Soit $\V~: D \to \R^3, \ D \subset \R^3$ un champ de vecteurs,
$\V = P \I + Q \J + R \K,$ o\`u $P,Q,R$ sont des fonctions  $D
\to \R.$ Le \textit{rotationnel}  de $\V$ est
\begin{equation}\begin{array}{rl}
\label{rot} \rot \V  &= \Nabla \wedge \V = \left|
                               \begin{array}{ccc}
                                 \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k} \\
                                {\partial}/{\partial x} &  {\partial}/{\partial y} &  {\partial}/{\partial z} \\
                                 P & Q & R \\
                               \end{array}
                             \right|\\
&\displaystyle{= \left(\frac{\partial R }{\partial y}-
\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \overrightarrow{i}+
\left(\frac{\partial P }{\partial z}- \frac{\partial
R}{\partial x}\right) \overrightarrow{j} + \left(\frac{\partial
Q }{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right)
\overrightarrow{k}.}\end{array}
\end{equation}
\end{dfn}

On remarque que le rotationnel est lin\'eaire~: $$ \rot(\lambda
\overrightarrow{V} + \mu \overrightarrow{W}) = \lambda \
\rot\overrightarrow{V} + \mu \ \rot \overrightarrow{W}$$

\begin{example} Syst\`eme d'\'equations de Maxwell pour le champ \'electromagn\'etique dans le vide:
\[\begin{array}{lll}
    1. \ \mbox{div} \overrightarrow{E} = \displaystyle{\frac{\rho }{\epsilon_0}}& & 2. \displaystyle{\ \mbox{div}{\overrightarrow{B}} = 0} \\
  3. \ \rot \overrightarrow{E} = -\displaystyle{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}} & & 4. \displaystyle{\ \rot \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{j}}{\epsilon_0 c^2} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}
  \end{array}
\]
Ici on note :

- $\rho(x,t)$ - la densit\'e volumique de charge \'electrique au point  $x = (x_1,x_2,x_3)$  \`a l'instant $t,$

- $\overrightarrow{j}(x,t)$ - le vecteur densit\'e de courant,

- $\overrightarrow{E}(x,t)$ - le vecteur champ \'electrique,

- $\overrightarrow{B}(x,t)$ - le vecteur induction magn\'etique,

- $\epsilon_0$ - la permittivit\'e di\'electrique du vide,

- $c$ -  la vitesse de la lumi\`ere dans le vide ($=299 792 458$ m/s).

\end{example}

\begin{remark} \textbf{Propri\'et\'es de l'op\'erateur $\Nabla$~}:

Soit $\V~: D \to \R^3, \ D \subset \R^3$ un champ de vecteurs
de classe $C^1,$ et $f: D \to \R$ une fonction de classe $C^1.$
Alors, on a $$\mbox{div} (\rot \V) = \Nabla \cdot (\Nabla \wedge
\V) \equiv 0.
$$
Formellement on peut le voir comme un produit mixte, qui est
identiquement $0$ si les vecteurs ne sont pas lin\'eairement ind\'ependants. Ici
ce ne sont pas des vecteurs mais des op\'erateurs vectoriels mais
le produit mixte de $\Nabla, \Nabla \et \V$ est identiquement
$0$. On a aussi \begin{equation} \label{rot grad} \rot \ \grad f
= \Nabla \wedge (\Nabla f) \equiv 0.\end{equation}
\end{remark}

\begin{dfn}
L'op\'erateur $$\Delta f = \mbox{div}  (\grad f) $$ d\'efini sur les fonctions $f: D  \to \R,\  D \subset \R^3$ de classe $C^2$ \`a valeurs dans les fonctions est appel\'e l'\underline{op\'erateur de Laplace}.
\end{dfn}
\subsection{Th\'eor\`eme de Poincar\'e}.
\

\begin{proposition}
Soit $\V~: D \to \R^3, \ D \subset \R^3, \V = P \I + Q \J + R
\K, $  un champ de vecteurs, $P,Q,R$ des fonctions de $D$ vers
$\R.$ Une condition n\'ecessaire pour que le champ $\V$ d\'erive
d'un potentiel scalaire sur $D$ est qu'en tout point $M$ de
$D, \ \rot \V = 0.$
\end{proposition}
\begin{proof} La relation \ref{rot grad} implique que pour
qu'il existe $f: D \to \R,$ tel que $\V = \grad f$ on a $\rot
\V = 0.$ Cela se traduit en trois conditions sur les fonctions
$P, Q \et R~:$ $$\left\{\begin{array}{rl}
\displaystyle{\frac{\partial R }{\partial y}}&= \displaystyle{
\frac{\partial Q}{\partial z}}\\
\displaystyle{\frac{\partial P }{\partial z}}& =
\displaystyle{\frac{\partial
R}{\partial x}} \\
\displaystyle{\frac{\partial Q }{\partial x}} & =
\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}}
\end{array}\right.$$
\end{proof}

La condition suffisante pour un champ d'\^etre un champ de
gradient est une condition sur le domaine de d\'efinition du champ.

\begin{theorem}[Poincar\'e]\label{thm:Poinc}\

Soit $\V: \R^3 \to \R^3$ un champ de vecteurs de classe $C^1$
tel que $\rot \V = 0.$ Alors il existe une fonction $f: \R^3 \to
\R$ telle que $\V = \grad \ f.$
\end{theorem}
Remarquez ici que le champ $V$ est d\'efini en tout point de $\R^3$ .
On ne donne pas ici de d\'emonstration de ce th\'eor\`eme mais
on remarque que le champ de vecteurs en question doit imp\'erativement \^etre de classe
$C^1$ sur $\R^3.$ C'est $\R^3,$ le domaine de d\'efinition du champ, qui
joue un r\^ole important ici.

Voici une d\'efinition pertinente~:
\begin{dfn}\label{def:simpl-connexe}
Un domaine $D \subset \R^n$ est\underline{ simplement connexe} si  $D$ est
connexe par arc (D\'efinition \ref{connexe}) et toute courbe
ferm\'ee de $D$ peut \^etre ramen\'ee \`a un point par une
d\'eformation continue tout en restant dans $D$.
\end{dfn}

\begin{example}
Un exemple d'un domaine non-simplement connexe~: un
domaine de $\R^2$ - un anneau qu'on peut d\'efinir pour $r^2 <
R^2$ par $ \ D = \{(x,y) | \ r^2 \leq x^2 + y^2 \leq R^2\}.$ On peut
voir ce domaine comme un disque de rayon $R$ trou\'e~: le petit
disque autour du centre est enlev\'e du grand disque. Il n'est
pas simplement connexe. En effet, si on consid\`ere une courbe
ferm\'ee de $D$ (un lacet) qui contourne $(0,0)$ il n'y a pas de fa\c con de l'amener \`a un point, sans la faire "sauter" par dessus ce disque
absent.
\end{example}

Le th\'eor\`eme de Poincar\'e se formule d'une fa\c
con plus g\'en\'erale~:

\begin{theorem}[Poincar\'e g\'en\'eralis\'e]\label{thm:Poinc2}
\

Soit $D$ un domaine de $\R^3.$
Soit $V: D \to  \R^3$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ et
$\rot \ \V = 0.$ Alors  si $D$ est simplement connexe,  il existe
une fonction $f: D \to \R$ telle que $\V = \grad f.$
\end{theorem}

\subsection{Calcul du potentiel} \label{sec:potentiel}

Si $\V$ est un champ potentiel, alors on peut trouver le potentiel
\`a une constante pr\`es.
On va faire un exemple de calcul ici.

Soit $\V: \R^3 \to \R^3$ un champ de vecteurs de composantes
$P,Q,R~:$
\[ P(x,y,z) = 6x(y +z^2), \quad Q(x,y,z) = 3x^2, \quad R(x,y,z) = 6x^2 z
\]
Il est de classe $C^\infty$ sur $\R^3$ car les fonctions $P,Q,R$ sont des polyn\^omes. De plus $\rot V = 0~:$
\[ \left\{\begin{array}{lll}
            \partial R/ \partial y - \partial Q /\partial z & =0 -0  & =0  \\
            \partial P/ \partial z - \partial R /\partial x & = 12xz - 12 xz & =0 \\
          \partial Q/ \partial x - \partial P /\partial y & = 6x - 6x &  =0
          \end{array}
\right.\]

Par le th\'eor\`eme de Poincar\'e (Th\'eor\`eme \ref{thm:Poinc}),
$\V$ d\'erive d'un potentiel scalaire. D\'eterminons tous les potentiels scalaires $f: \R^3 \to \R$ du champ $\V$. on a $\grad f = \V$.
\[ \left\{\begin{array}{llr}
            \partial f/ \partial x & = 6x(y+z^2)& (1)\\
            \partial f/ \partial y& = 3x^2& (2)\\
          \partial f/\partial z & = 6x^2 z& (3)
          \end{array}
\right.\]
De $(2)$ on a $f(x,y,z) =  3x^2 y + \phi(x,z),$ o\`u $\phi: \R^2 \to \R$ est une fonction diff\'erentiable.
De $(1)$ on a $\partial f/ \partial x = 6x(y+z^2) = \partial(3x^2 y + \phi(x,z))/\partial x = 6xy + \partial \phi(x,z)/ \partial x.$
Donc
\[
\partial \phi(x,z)/ \partial x = 6x z^2  \ \Rightarrow \ \phi(x,z)= 3x^2z^2 + \psi(z), \ \mbox{o\`u} \ \psi: \R \to \R \ \mbox{d\'erivable}.
\]
Il suit
\[f(x,y,z) = 3x^2y + 3x^2 z^2 + \psi(z)\]
et avec l'\'equation $(3)$ on a
\[ \partial f/\partial z  = 6x^2 z =  \partial (3x^2y + 3x^2 z^2 + \psi(z)) \partial z = 6x^2 z + \psi'(z)
\]
ce qui donne $\psi(z) = k,\  k$ - une constante.
Finalement
\[
f(x,y,z) = 3x^2y + 3x^2 z^2 + k
\]
est un potentiel scalaire de $\V.$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Chapitre VII. Formes diff\'erentielles}

\subsection{Formes diff\'erentielles}
\begin{dfn}
On appelle \underline{1-forme diff\'erentielle} d\'efinie sur l'ouvert $U \subset \R^p$ une application $\alpha$ de $U$ dans l'espace dual de $\R^p,$ c'est-\`a-dire  dans $(\R^p)^\ast = \mathcal{L}(\R^p, \R),$ l'espace des applications lin\'eaires de $\R^p$ vers $\R$.
\[
\alpha : U \to \mathcal{L}(\R^p, \R)
\]
\end{dfn}
Soit $x \in U,$ alors $\alpha (x) \in \mathcal{L}(\R^p, \R).$

Soit  $\V$ un champ de vecteurs sur $U$, cela signifie en particulier $\V(x) \in \R^p$. Comme on a $\alpha (x)$ application lin\'eaire de $\R^p \to \R$ et $\V(x) \in \R^p$  en chaque point $x$ de $U$ on a $\alpha (x) (\V(x)) \in \R.$

Cela montre qu'en chaque point de $U$  l'espace des 1-formes diff\'erentielles est dual \`a l'espace de champs de vecteurs.

En effet, si un espace $E$ (de dimension finie) est muni d'un produit scalaire, il existe un isomorphisme entre $E$ et son dual. Ici $E$ est l'espace des champs de vecteurs sur un ouvert $E = \mbox{Vect}(U)$ avec un produit scalaire $<.|.>(x)$ d\'efini en chaque point $x \in U.$
On peut donc \'etablir une correspondance entre l'espace des champs de vecteurs et son espace dual des 1-formes diff\'erentielles, not\'e $\Omega^1(U)$ : si $\V$ est un champ de vecteurs sur $U$ il existe une unique 1-forme diff\'erentielle $\alpha$ sur $U$  telle que $\forall x \in U \et \forall \W \in \mbox{Vect}(U).$ On \`a
\begin{equation}\label{eq:dualite}
\alpha (\W) (x) = < \V|\W> (x)
\end{equation}
Nous avons d\'ej\`a vu un exemple d'une 1-forme diff\'erentielle, c'est la diff\'erentielle d'une fonction $f$ de classe $C^1$ sur l'ouvert $U$ \`a valeurs dans $\R$ donn\'ee par
\[
\df : x \in U \mapsto \df(x) = \sum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i} (x) \dx_i.
\]
En tant qu'application de $U$ dans $\mathcal{L}(\R^p,\R),$ elle s'\'ecrit
\[
\df  = \sum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i}  \dx_i
\]
Ici, nous notons $B^\ast = \{\dx_1, \cdots \dx_p\}$ la base duale
de la base de l'espace des champs de vecteurs, la base canonique de $\R^p.$
L'application $\dx_i$ est donc la $i-$\`eme 1-forme coordonn\'ee~:
\[
\dx_i : (x_1, \cdots, x_p) \mapsto x_i
\]
- sur un vecteur de coordonn\'ees $(x_1, \cdots, x_p)$ la forme $\dx_i$ a pour valeur $x_i$ (la forme diff\'erentielle et le champ de vecteurs consider\'es au m\^eme point de $U$).
Pour tout $X$ de $U, \alpha(X)$  s'\'ecrit dans  $B^\ast$ avec des   coefficients $a_i$ qui d\'ependent du point  $X~:$
\begin{equation}\label{eq:forme}
\alpha(X)=\sum_{i=1}^p a_i(X)  \dx_i
\end{equation}
\begin{dfn}
Une  1-forme diff\'erentielle $\alpha$ est de classe $C^k$ sur  un ouvert $U$ si les fonctions $a_i$ qui interviennent dans \eqref{eq:forme} sont de classe $C^k$ sur  $U.$
\end{dfn}

\subsection{$n$-formes diff\'erentielles}

Pour d\'efinir les 1-formes diff\'erentielles nous avons travaill\'e avec des formes lin\'eaires $\mathcal{L}(\R^p, \R)$ mais nous pouvons d\'efinir des formes bilin\'eaires \underline{altern\'ees (anti-sym\'etriques)} et plus g\'en\'eralement k-lin\'eaires anti-sym\'etriques
$\mathcal{L}((\R^p)^k, \R).$
\begin{dfn}
Une application lin\'eaire  $L: (\R^p)^k \to \R^q$ est une k-forme anti-sym\'etrique (= altern\'ee) si
la valeur de $L$ change de signe sous une permutation de  deux variables~:
\[
L(\V_1, \ldots, \V_i, \ldots, \V_j, \ldots, \V_k) = - L(\V_1, \ldots, \V_j, \ldots, \V_i, \ldots, \V_k)
\]
\end{dfn}
En particulier, si $\V_i = \V_j, \et i \not= j$  la valeur de $L$ est $0.$
\begin{example}
Le produit vectoriel $\V \wedge \W,$ o\`u $\V, \W \in \R^3$ est un exemple d'une forme anti-sym\'etrique \`a valeurs dans $\R^3.$
\end{example}

Ce qui nous int\'eresse ici ce sont des formes anti-sym\'etriques \`a valeurs dans $\R.$
On introduit le produit des formes lin\'eaires de sorte qu'\`a deux formes $A \in
\mathcal{L}((\R^p)^k, \R) \et B \in \mathcal{L}((\R^p)^l, \R)$ on associe une forme
$A \wedge  B \in \mathcal{L}((\R^p)^{k+l}, \R).$
Ce produit est appel\'e le \underline{produit ext\'erieur}. Le produit ext\'erieur, not\'e $\wedge,$ est
\begin{itemize}
\item associatif: $(A \wedge B) \wedge C = A  \wedge (B \wedge C)$
\item distributif: $(A + B) \wedge C = A \wedge C + B  \wedge C$
\item anti-sym\'etrique: $A \wedge B = (-1)^{kl} B \wedge A$ pour $A \in
\mathcal{L}((\R^p)^k, \R) \et B \in \mathcal{L}((\R^p)^l, \R).$
\end{itemize}
En particulier, si on a deux 1-formes $A,B \in \mathcal{L}(\R^p, \R)$ leur produit $A \wedge B\in \mathcal{L}((\R^p)^2, \R)$ est anti-sym\'etrique~:
\[
 A \wedge B = -  B\wedge A
\]
En g\'en\'eral, le produit ext\'erieur des formes $A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{L}(\R^p, \R), \ A_1 \wedge \ldots \wedge A_k$ est une k-forme anti-sym\'etrique qui, \'evalu\'ee  sur $k$ vecteurs de $\R^p$ a pour valeur~:
\begin{equation}\label{eq:dual}
A_1 \wedge \ldots \wedge A_k(\V_1, \ldots, \V_k) = \left| \begin{array}{ccc}
A_1(\V_1) & \cdots & A_k(\V_1) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
A_1(\V_k) & \cdots & A_k(\V_k)                \end{array}
\right| = \det (A_j(\V_i))
\end{equation}
\begin{dfn} \label{def:forme}
Soit $U$ un ouvert de $\R^p$, $k \geq 0$ un entier. On appelle \underline{$k$-forme diff\'erentielle } sur $U$ une application
 \[
 \omega : \ U \to  \mathcal{L}((\R^p)^k, \R)
 \]
 telle que, pour tout  $x$ de  $U, \omega(x)$  est une $k$-forme altern\'ee sur $\R^p.$
On note $\Omega^k(U)$ l'espace des $k$-formes diff\'erentielles sur $U \subset\R^p.$

Une k-forme diff\'erentielle est aussi appel\'ee une forme diff\'erentielle de degr\'e $k.$

On consid\`ere les fonctions \`a valeurs r\'eelles comme des $0$-formes diff\'erentielles.
\end{dfn}

 Par exemple les 2-formes diff\'erentielles sur $U \subset \R^2$ forment  l'espace des formes bilin\'eaires altern\'ees. Donc si on a deux formes $\alpha, \beta \in \Omega^1(U),$ alors on a un produit $\alpha \wedge \beta \in \Omega^2(U)$ tel que $\alpha \wedge \beta = - \beta \wedge \alpha.$
 En dimension $2$  dans la base $(\dx, \dy)$  les 1-formes sont
 $\alpha(x,y) = P(x,y) \dx + Q(x,y) \dy$ et les 2-formes
 $\omega(x,y) = h(x,y)\dx \wedge \dy.$ Il n'y a pas de formes $\dx\wedge\dx$ ou  $\dy \wedge \dy$ \`a cause de l'anti-sym\'etrie, et $\dx\wedge\dy = - \dy\wedge\dx.$
Une $k$-forme diff\'erentielle dans $\R^p$ peut se d\'ecomposer
\begin{equation}\label{eq:omega}
\omega(X) = \sum_{1\leq i_1< i_2 <\cdots < i_k \leq p} f_{i_1i_2\cdots i_k}(X) \dx_{i_1}\wedge\dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge \dx_{i_k}.
\end{equation}
o\`u $f_{i_1i_2\cdots i_k}(X) $ sont des fonctions sur $U \subset \R^p$ et $\dx_{i_j}$ sont des \'el\'ements de la base de $(\R^p)^\ast = \mathcal{L}(\R^p, \R).$

On peut d\'efinir la valeur d'une k-forme donn\'ee \'evalu\'ee sur $k$ champs de vecteurs au point donn\'e. On utilise la dualit\'e entre les formes diff\'erentielles et les champs point par point donn\'ee par le produit scalaire $<\cdot, \cdot >.$
\begin{example}  \

\begin{enumerate}
\item On peut regarder une 1-forme $z \dx$ dans $\R^3$  au point $(5,-2,3)$ \'evalu\'ee sur un champ vectoriel $\V(x,y,z) = x^2\I + xy \J + 2z \K.$
    La forme $z \dx$ au point $(5,-2,3)$ est \'egale \`a $3 \dx.$
    La valeur du champ
    $$\V(5,-2,3) = 5^2\cdot \I - 5\cdot 2 \cdot \J + 6 \cdot \K.$$
L'\'evaluation de la 1-forme $3 \dx$ sur $\V(5,2,3)$  est alors
\[
< 3 \dx, 25 \cdot \I - 10 \cdot \J + 6 \cdot \K> = 3 \cdot 25 <\dx, \I> = 75.
\]
On utilise le fait que $\{\dx, \dy, \dz\}$ forme la base duale de  la base $\{ \I, \J, \K\}$ et par cons\'equent $<\dx, \I> = 1, \ <\dx, \J> = <\dx, \K> = 0.$
\item  On regarde une 2-forme $\omega = y \dx \wedge \dy $ dans $\R^2$  au point $(-3,2)$ \'evalu\'ee sur deux  champs vectoriels $\W(x,y) = (2x-y)\I + xy^2 \J \et \U = 3y \I + \J.$
    D'abord, $\omega (-3,2) = 2 \dx \wedge \dy.$
    Les valeurs des champs au point donn\'e sont
    $\W(-3,2) = (2 \cdot (-3) - 2) \I - 3 \cdot 2^2 \cdot \J  =
    -8 \I - 12 \J \et \U(-3,2) = 6\I + \J.$
L'\'evaluation de la 2-forme $\omega$ sur $\W(-3,2) \et \U(-3,2)$ au point $(-3,2)$  en suivant la formule \eqref{eq:dual} est alors
\[\begin{array}{rl}
&<2 \dx \wedge \dy,   (-8 \I - 12 \J) \wedge  (6\I + \J)>= 2 \cdot (-8)\cdot (1) <\dx, \I> <\dy,\J> \\& \qquad + 2 \cdot (-12)\cdot 6 <\dy,\J><\dx, \I>
 = -16  + 144= 128.\end{array}
\]
\end{enumerate}


\end{example}




\subsection{Formes  exactes. Diff\'erentielle de de Rham}

\begin{dfn}
La 1-forme diff\'erentielle $\alpha$ de classe $C^0$ (ou continue)
sur l'ouvert $U$ est \underline{exacte} s'il existe une fonction $f$ de classe $C^1$ sur l'ouvert $U$ telle que $\alpha = \df.$ On dit que $f$ est une primitive de $\alpha.$
\end{dfn}
Il existe des 1-formes diff\'erentielles qui n'ont pas de primitive. Sur un ouvert connexe, lorsqu'une primitive existe, elle est unique \`a ajout d'une constante pr\`es.
Reconna\^itre si une 1-forme diff\'erentielle est exacte est un probl\`eme analogue \`a celui de savoir reconna\^itre si un champ de vecteurs est un champ de gradient (partie \ref{sec:potentiel} du cours).

Pla\c cons-nous par exemple en dimension $2$ et consid\'erons un champ de vecteurs d\'efini sur un ouvert $U\in \R^2$ par~:
\[
\forall(x,y) \in U : \V(x,y) = P(x,y) \I + Q(x,y) \J.
\]
ainsi qu'une forme diff\'erentielle $\alpha$ d\'efinie par :
\[
\forall(x,y) \in U : \alpha(x,y) = P(x,y) \dx + Q(x,y) \dy.
\]
Par la dualit\'e \eqref{eq:dualite} on a $\df(x)((h,k)) = < \nabla f(x)|(h,k)>.$
Alors les \'equations $\alpha = \df \et \V = \Nabla f$ sont toutes les deux \'equivalentes au m\^eme syst\`eme~:
\[
\left\{\begin{array}{ll}
  P(x,y)  & = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} }(x,y)\\
  Q(x,y)  & = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} }(x,y)
\end{array}\right.
\]
Comment v\'erifier si une 1-forme diff\'erentielle est exacte ? Pour les champs de vecteurs on avait le th\'eor\`eme de Poincar\'e g\'en\'eral. Pour les 1-formes c'est exactement le m\^eme th\'eor\`eme. Pour le formuler en dimension quelconque il faut introduire un op\'erateur analogue \`a l'op\'erateur $\Nabla$ qui agit sur les formes.



En fait on a d\'ej\`a cet op\'erateur  - c'est l'op\'erateur $\mathrm d~:$
\[
\mathrm d = \sum_{i=1}^p \dx_i \frac{\partial }{\partial x_i}.
\]
Il faut comprendre que sur une forme diff\'erentielle $\omega$ \eqref{eq:omega} l'op\'erateur
 $\displaystyle{\dx_i \frac{\partial }{\partial x_i}}$ agit par les d\'eriv\'ees partielles   sur les fonctions $ f_{i_1i_2\cdots i_k}(X)$ et par multiplication ext\'erieure de $\dx_{i}$ sur les formes  $\dx_{i_1}\wedge\dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge \dx_{i_k}$ :
\[
\mathrm d  \omega = \sum_{i=1}^p \dx_i \wedge \frac{\partial }{\partial x_i} \omega.
\]



L'op\'erateur $\mathrm d$ est appell\'e  la \underline{diff\'erentielle de de Rham}, aussi appel\'e
parfois la \underline{diff\'erentielle ext\'erieure}. La diff\'erentielle de de Rham agit sur des fonctions de
classe $C^1$ en les envoyant vers les 1-formes diff\'erentielles.


On peut d\'efinir l'action de $\mathrm d$ sur les 1-formes aussi bien que sur les fonctions. Par exemple, en dimension $2$ :
\[\begin{array}{rl}
\mathrm{d}& \big(P(x,y) \dx + Q(x,y) \dy \big) =\displaystyle{\left(\dx \frac{\partial }{\partial x} + \dy \frac{\partial }{\partial y}\right)\big( P(x,y) \dx + Q(x,y) \dy \big)}\\
&=\displaystyle{ \frac{\partial P }{\partial x}  \dx \wedge \dx + \frac{\partial Q }{\partial x} \dx \wedge\dy + \frac{\partial P}{\partial y} \dy \wedge \dx + \frac{\partial Q }{\partial y}  \dy \wedge \dy}\\
&=\displaystyle{ \left(\frac{\partial Q }{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right) \dx \wedge \dy}
  \end{array}
\]
On a utilis\'e dans le calcul $\dx \wedge  \dx = \dy \wedge \dy = 0, \et \dx \wedge \dy  = - \dy \wedge \dx.$

\begin{remark}
 La diff\'erentielle de de Rham est un op\'erateur qui agit sur les formes diff\'erentielles et il augmente leur degr\'e de $1,
\ \mathrm d : \Omega^k (U) \to \Omega^{k+1} (U).$ Par exemple sur une forme  \eqref{eq:omega}
\[\begin{array}{rl}
\mathrm{d}\omega(X) &\displaystyle{= \sum_{i=1}^p \dx_i \frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sum_{1\leq i_1< i_2 <\cdots < i_k \leq p} f_{i_1i_2\cdots i_k}(X) \dx_{i_1}\wedge\dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge \dx_{i_k}\right)}\\
&=
\displaystyle{ \sum_{i=1}^p \sum_{1\leq i_1< i_2 <\cdots < i_k \leq p}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(f_{i_1i_2\cdots i_k}(X)\right) \dx_i \wedge \dx_{i_1}\wedge\dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge \dx_{i_k}}
\end{array}\]

\end{remark}

\begin{lemma}\label{lemma}
La diff\'erentielle de de Rham $ \mathrm{d}: \Omega^k (U) \to \Omega^{k+1} (U), \ U \subset \R^p$ au carr\'e est nul:
\[
\mathrm{d}^2 = 0.
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
En coordonn\'ees l'op\'erateur $\mathrm{d}$ agissant sur une forme diff\'erentielle $\omega \in \Omega^k(U)$ s'\'ecrit:
$\mathrm{d} \omega = \displaystyle{ \sum_{i=1}^p \dx_i \frac{\partial }{\partial x_i} \omega \in  \Omega^{k+1}(U).}$


Son carr\'e est calcul\'e ainsi~:
$$\begin{array}{rl}
\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)&= (\mathrm{d}^2 ) \omega = \displaystyle{\left(\sum_{i=1}^p \dx_i \frac{\partial }{\partial x_i} \sum_{i=1}^p \dx_i \frac{\partial }{\partial x_i}\right) \omega = \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p \dx_i \wedge \dx_j \wedge  \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_j} (\omega)\right)} \\
 &=\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j \leq p} \dx_i \wedge \dx_j \wedge \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}( \omega)\right) + \sum_{1\leq j < i\leq p} \dx_i \wedge \dx_j \wedge \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}(\omega)\right)}\\
&\ \quad  + \displaystyle{\sum_{i = 1}^p \dx_i \wedge \dx_i \wedge \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}(\omega )\right)}. \end{array}
$$
En changeant les notations $i \leftrightarrow j$ dans la deuxi\`eme somme, on voit que la premi\`ere somme a les  termes $\displaystyle{\dx_i \wedge \dx_j \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}( \omega)\right)}$ et la deuxi\`eme $\displaystyle{\dx_j \wedge \dx_i \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}( \omega)\right)}$ pour les m\^emes $i \et j.$
 En utilisant le lemme de Schwarz, on a: $$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}( \omega)\right)
 =\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}( \omega)\right).$$
 Puisque $\dx_i \wedge \dx_j = - \dx_j \wedge \dx_i$ les deux premi\`eres sommes s'annulent mutuellement  et pour la troisi\`eme somme on a : $\forall i, \ \dx_i \wedge \dx_i = 0.$
\end{proof}
\begin{remark} La diff\'erentielle de de Rham agit sur le produit ext\'erieur de deux formes diff\'erentielles $\alpha \et \beta$  de degr\'es $p \et q$   comme suit~:
\[
{\mathrm d}(\alpha \wedge \beta) = {\mathrm d} \alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge {\mathrm d} \beta.
\]
C'est facile \`a voir si on \'ecrit $\alpha \et \beta$  explicitement (comme dans \eqref{eq:forme}).
\end{remark}

\subsection{La dimension 3 est sp\'eciale.}
Faisons le calcul d'action d'op\'erateur de de Rham en dimension $3.$

0. Pour une 0-forme diff\'erentielle (c'est-\`a-dire simplement une fonction)
\[
f = f(x,y,z)\]
d\'efinie sur un  domaine $D \in \R^3, $ o\`u $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $D,$ on obtient
\begin{equation}\label{eq:0-forme}
\mathrm{d} f =  \frac{\partial f}{\partial x}\dx +\frac{\partial f}{\partial y} \dy +\frac{\partial f}{\partial z} \dz,
\end{equation}
Dans cette forme on reconna\^it une expression pour la diff\'erentielle (cela est le cas pour toute dimension).

1. Pour une 1-forme diff\'erentielle \[
\alpha = P \dx + Q  \dy +  R \dz\]
d\'efinie sur un  domaine $D \in \R^3,$ o\`u  $\ P,Q,R $ sont des fonctions de classe $C^1$ sur $D,$ on obtient
\begin{equation}\label{eq:1-forme}
\mathrm{d} \alpha = \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \dy \wedge \dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \dz \wedge \dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \dx \wedge \dy
\end{equation}

2. Pour une 2-forme diff\'erentielle \[
\omega = P \dy \wedge \dz + Q  \dz\wedge \dx +  R \dx \wedge \dy\]
d\'efinie sur un  domaine $D \in \R^3, \ P,Q,R $ des fonctions de classe $C^1$ sur $D,$ on obtient
\begin{equation} \label{eq:2-forme}
\mathrm{d} \omega = \left( \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \dx \wedge \dy \wedge \dz
\end{equation}

3. Une forme diff\'erentielle de degr\'e 3 sur $D \subset \R^3$ s'\'ecrit
\[
\nu = f(x,y,z)\dx \wedge \dy \wedge \dz
\]
avec $f(x,y,z)$ - une fonction sur $D.$
Il n'y a pas de 4-formes diff\'erentielles \`a cause de l'anti-sym\'etrie, donc en particulier,
$d \nu = 0,  \ \forall \nu \in \Omega^3(U), \ U \subset \R^3$.

On reconna\^it ici, au moins formellement, les expressions en coordonn\'ees du gradient  d'une fonction \eqref{eq:0-forme}, du rotationnel \eqref{eq:1-forme} et de la divergence \eqref{eq:2-forme} du champ de vecteurs correspondant.
De cette fa\c con, dans $\R^3$ les op\'erateurs de la th\'eorie des champs de vecteurs se r\'ev\`elent \^etre tous li\'es \`a la  diff\'erentielle de de Rham sur des formes de degr\'es 0,1,2.


 La dimension $3$ est sp\'eciale. En plus de la  dualit\'e entre les 1-formes et les champs de vecteurs dans la th\'eorie des formes diff\'erentielles, il y a une dualit\'e appel\'ee dualit\'e de Poincar\'e (le m\^eme Poincar\'e que le th\'eor\`eme). Cette dualit\'e de Poincar\'e sur $\R^p$ est une application  entre
les k-formes et les $(p-k)$-formes. Par cons\'equent  en dimension $3$ les 1-formes sont duales aux $3-1 = 2$-formes. De ce fait, via cette dualit\'e de Poincar\'e les $2$-formes sont aussi li\'ees aux champs de vecteurs.
\subsection{Formes ferm\'ees. Th\'eor\`eme de Poincar\'e pour les formes diff\'erentielles}
\begin{dfn}
On dit qu'une  k-forme diff\'erentielle $\omega$ est \underline{ferm\'ee} si $\mathrm{d} \omega = 0.$
\end{dfn}
\begin{theorem}[Poincar\'e pour les formes diff\'erentielles sur $\R^p$] \label{thm:Poinc3}\

Soit $\alpha$
une k-forme diff\'erentielle  sur  $\R^p.$ Alors $\alpha$ est exacte si et seulement si elle est ferm\'ee.
\end{theorem}

\begin{example}
On souhaite savoir si la forme $\alpha = 4xy \dx + (1+ 2x^2) \dy$ est exacte et trouver \'eventuellement sa primitive. La forme est d\'efinie sur $\R^2$ tout entier qui est simplement connexe. On a ici $P = 4xy \et Q = 1+ 2x^2$
On calcule:
\[
\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x }= 4x - 4x = 0
\]
La forme est donc exacte et on cherche une primitive $f$ en r\'esolvant le syst\`eme~:
\[\left\{\begin{array}{ll}
   \frac{\partial f}{\partial x}  &= 4xy\\
   \frac{\partial f}{\partial y}  &= 1 + 2x^2
  \end{array}\right.
\]
en int\'egrant la premi\`ere de ces \'equations par rapport \`a $x$, il vient~:
\[f(x,y) = 2x^2y + \phi(y),
\]
o\`u $\phi$ est une fonction d'une variable, d\'erivable. On utilise  ensuite la deuxi\`eme \'equation:
\[
 \frac{\partial (2x^2y + \phi(y))}{\partial y}  = 1 + 2x^2
\]
D'o\`u $\phi(y) = y + C, \ C \in \R$ et finalement
\[
f(x,y) = 2x^2 y + y + C
\]
Cela correspond au calcul du potentiel du champ correspondant.
\end{example}
On utilise cette m\'ethode pour r\'esoudre certaines \'equations diff\'erentielles ordinaires - ici par exemple si on pense \`a $\frac{dy}{dx}$ comme \`a $y',$ la d\'eriv\'ee
 de $y$ par rapport \`a $x$ on a int\'egr\'e une \'equation diff\'erentielle
\[ 4xy + (1+2x^2) y' = 0.
\]
Autre exemple: $\alpha = 2y^2 (x+y) \dx + 2xy(x+3y) \dy$ est une forme ferm\'ee et par cons\'equent exacte, donc sa primitive $f(x,y) = x^2 y^2 + 2y^3 x + C$
donne la solution $x^2 y^2 + 2y^3 x + C = 0 $ de l'\'equation diff\'erentielle : $2y^2 (x+y)  + 2xy(x+3y) y' = 0.$

On peut le voir comme \c ca~: une \'equation diff\'erentielle peut se r\'e\'ecrire de la fa\c con suivante~: $\alpha = 0,$ o\`u $\alpha$ est une 1-forme
diff\'erentielle. Alors, si $\alpha = df, \ f = const$ est la solution de l'\'equation diff\'erentielle $\alpha = 0.$



La th\'eorie des formes diff\'erentielles est utilis\'ee en int\'egration. Souvent on dit qu'on int\`egre des fonctions, en r\'ealit\'e on \underline{int\`egre des formes diff\'erentielles}.
Cette ligne de pens\'ee va nous diriger vers l'int\'egration des fonctions de plusieurs variables.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Chapitre VIII. Int\'egrales multiples}
\subsection{D\'efinition. Int\'egrale double}

Soit $f$ une fonction continue sur un rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$ de $\R^2.$ On partage ce rectangle en $n\cdot m$ petits rectangles $R_{ij}, i \in [1,m], \ j \in [1,n]. \ R_{ij}$ a pour cot\'es le m-i\`eme segment horizontal et le n-i\`eme
segment vertical. Son sommet sup\'erieur droit est le point $(x_i,y_j) = (a + i \cdot \frac{b-a}{m}, c + j \cdot \frac{d-c}{n})$. La \textit{somme de Riemann,} $S_{mn},$ est la somme des volumes des parall\'el\'epip\`edes de bases sur  $R_{ij}$ et de  hauteurs donn\'es par la valeur de $f$ en $(x_i,y_j)$ de $R_{ij}$
 $$S_{mn} = \displaystyle{\frac{b-a}{m}\ \frac{d-c}{n} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i,y_j)}.$$
\begin{dfn}
L'int\'egrale double de $f$ sur $R$ est la limite des sommes de Riemann~:
\[
\iint_R f(x,y) \dx \dy =  \lim_{m \to \infty, n\to \infty} S_{mn}.
\]


\end{dfn}

\begin{property}\


\begin{enumerate}
  \item
\textbf{ Lin\'earit\'e. } Soient $f \et g$ deux fonctions r\'eelles continues sur $R,$ alors
\[
\iint_R (\lambda f(x,y) + \mu g(x,y))\dx \dy =
\lambda \iint_R f(x,y) \dx \dy +
\mu \iint_R g(x,y) \dx \dy
\]
  \item \textbf{Croissance.}
  Soient $f \et g$ deux fonctions r\'eelles continues sur $R,$ telles que $f(x,y)
\leq g(x,y), \ \forall (x,y) \in R,$ alors
\[
\iint_R f(x,y)\dx \dy \leq \iint_R g(x,y) \dx \dy
\]
On en d\'eduit que \[
\left|
\iint_R f(x,y) \dx \dy \right| \leq \iint_R \left| f(x,y) \right| \dx \dy
\]
\item {\bf Th\'eor\`eme de Fubini pour un rectangle.}
L'int\'egrale double d'une fonction r\'eelle continue $f$ sur un rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$ est \'egale \`a deux int\'egrales simples successives~:
\[
\iint_R  f(x,y) \dx \dy =
 \int_c^d\int_a^b (f(x,y) \dx)\dy =
 \int_a^b \int_c^d (f(x,y) \dy)\dx
\] En particulier, si $f(x,y) = g(x) h(y)$
\[
 \iint_R f(x,y) \dx\dy =
\int_a^b g(x) \dx \cdot
 \int_c^d h(y)\dy   \]
\end{enumerate}
\end{property}


\subsection{Aire d'une partie quarrable. Th\'eor\`eme de Fubini}

Pour d\'efinir l'int\'egrale double sur une partie de $\R^2$ qui n'est pas un rectangle on introduit la notion d'une partie quarrable du plan.

Soit $D$ une partie born\'ee de $\R^2$ et $R = [a,b] \times [c,d]$ un rectangle qui la contient.

On appelle  \underline{subdivison} $\sigma$ de $R, \ m \cdot n$ rectangles $R_{ij} = [x_i, x_{i+1}] \times [y_j, y_{j+1}], x_i,y_j \in R$ venant du partage de $[a,b]$ en $m$ segments et de $[c,d]$ en $n$ segments:
\[
a = x_0 <x_1 < \cdots <x_m = b~;\ \   c = y_0 < y_1 < \cdots < y_n = d\]
pour $m \et n$ quelconques.
Le rectangle  $R_{ij},$  est d'aire  $\mu (R_{ij})= (x_{i+1} - x_{i})\cdot  (y_{j+1}-y_j).$

A toute subdivison $\sigma$ de $R$ on associe deux quantit\'es qu'on appelle les sommes de Darboux~:
$$\displaystyle{s(\sigma) = \sum_{R{ij}\subset D} (x_{i+1} - x_{i})\cdot  (y_{j+1}-y_j}) \  \et \displaystyle{S(\sigma) = \sum_{R{ij}\bigcap D \not= \emptyset} (x_{i+1} - x_{i})\cdot  (y_{j+1}-y_j}).$$

\begin{dfn}
On dit que $D \subset R$ est \underline{quarrable }si la borne sup\'erieure des sommes $s(\sigma)$ est \'egale \`a la borne inf\'erieure des sommes $S(\sigma).$ Leur valeur commune donne l'aire de $D.$
\end{dfn}


\begin{remark}
Si $D$ est une partie quarrable du plan alors la fronti\`ere de $D$ est quarrable d'aire nulle. Ainsi, un disque  ou un polygone sont des exemples de parties quarrables, que l'on prenne ou non leur fronti\`ere.
\end{remark}

\begin{dfn}
Une fonction $f$ born\'ee sur une partie quarrable de $\R^2$ est \underline{int\'egrable} si et seulement si la somme (aussi appel\'e une somme de Riemann)
\[
\sum_{R_{ij} \bigcap D \not= \emptyset} f(u_i,v_j)\  \mbox{Aire}(R_{ij})
\]
tend vers une limite finie ind\'ependante du choix de $(u_i,v_j)$ quand $x_{i+1}- x_i \et y_{j+1} - y_j$ tendent vers $0.$
Cette limite est appel\'ee l'int\'egrale de $f$ sur $D~:$
\[ \iint_D f(x,y) \dx \dy .\]
\end{dfn}

\begin{theorem}
Soit $f: D \to \R$ une fonction \underline{continue et born\'ee} sur une partie quarrable du plan. Alors $f$ est int\'egrable sur $D.$
\end{theorem}

\begin{remark}
La propri\'et\'e d'\^etre born\'ee est importante. C'est la m\^eme chose   pour les fonctions  d'une seule variable comme le montre l'exemple de la fonction $1/x$ qui n'est pas born\'ee sur l'intervale $]0,1]~:$ elle n'est pas int\'egrable!
\end{remark}

\begin{theorem}
Soit $f: D \to \R$ une fonction born\'ee sur une partie quarrable du plan. Si l'ensemble des points de discontinuit\'e  de $f$ est d'aire nulle alors $f$ est int\'egrable sur $D.$
\end{theorem}

Par ailleurs, l'aire d'une partie quarrable $D \subset \R^2$ peut \^etre vue comme une int\'egrale d'une fonction constante \'egale \`a $1$ sur $D~:$
\[
Aire(D) = \iint_D \dx \dy
\]

Il est facile d'expliquer cela par un raisonnement g\'eom\'etrique - pr\'esenter le graphe de la fonction $1$ sur $D$ et voir quel volume
 repr\'esente l'int\'egrale double.

Comment, en pratique,  calcule-t-on  les int\'egrales doubles sur une partie quarrable du plan~?

- Soit $\phi$ et $\psi$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et
soit \[
D = \{ (x,y) \in \R^2 | \ \phi(x) \leq y \leq \psi(x) \}.
\]
(Faire un dessin). Soit $f$ une fonction r\'eelle int\'egrable sur $D.$
Alors, on a $$\iint_D f(x,y) \dx \dy = \int_a^b \left( \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) \dy \right) \dx.
$$
\begin{example} On calcule $$I = \iint_D (x+y)^2 \dx \dy$$ o\`u $D$ est un triangle de sommets $(0,0), \ (0,1) \et (2,0).$
Alors ici $$\phi(x) = 0 \et \psi(x) = - \frac{x}{2} +1, \ x \in [0,2].
$$
Donc \[
I = \int_0^2 \left( \int_0^{-x/2 + 1} (x+y)^2  \dy\right)\dx = \int_0^2 \left[(x+y)^3 \right]_{y=0}^{y=-x/2 + 1} \dx = \frac{7}{6}
\]
La variable $x$ ayant exactement le m\^eme statut que la variable $y$ donc on  peut calculer la m\^eme int\'egrale comme suit~:
\[ I =
\int_0^1 \left( \int_0^{2-2y} (x+y)^2  \dx\right)\dy\]
et obtenir le m\^eme r\'esultat.
Il faut faire attention aux bornes de l'int\'egrale. La valeur de l'int\'egrale est un nombre - on ne peut pas avoir des fonctions pour des bornes pour l'int\'egrale simple calcul\'ee en dernier.
\end{example}
\subsection{Changement de variables dans une int\'egrale double.
Matrice jacobienne}\label{sec:changm}

Soit $f$ une fonction continue sur un compact quarrable $D \subset \R^2. $ Soit une bijection not\'ee  $\Delta \to D$ d\'efinie par~:
\[
(u,v) \mapsto (x = \phi(u,v), y = \psi(u,v)),
\]
$\phi \et \psi$ \'etant de classe $C^1.$
Alors,
\[
\iint_D f(x,y) \dx \dy = \iint_\Delta f(\phi(u,v), \psi(u,v)\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right| \du \dv,
\]
o\`u $\displaystyle{\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|} = \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right|$ est la valeur absolue du d\'eterminant de la matrice Jacobienne  (d\'efinition \ref{dfn:Jac}) des d\'eriv\'es premi\`eres de l'application $\Delta \to D.$

On peut le voir en utilisant le calcul des formes diff\'erentielles.
Si $x = x(u,v) \et y = y(u,v)$ la 2-forme diff\'erentielle $\dx \wedge  \dy$ s'exprime en $\du \wedge \dv$
par le calcul suivant (dans le  contexte des int\'egrales on n'\'ecrit pas de symbole de produit $\wedge$)~:
\[\begin{array}{rl}
\dx \dy = & \displaystyle{ \left(\frac{\partial x}{\partial u} \du + \frac{\partial x}{\partial v} \dv\right) \cdot\left(\frac{\partial y}{\partial u} \du + \frac{\partial y}{\partial v} \dv\right)} \\
=  &\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}\du \dv + \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\dv \du = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\du \dv} \end{array}
\]

\begin{example}
Si on effectue un changement lin\'eaire des variables~:
\[
\phi(u,v) = au + bv,
\ \psi(u,v) = cu + dv
\]
alors, la fonction int\'egr\'ee n'est modifi\'ee que par le facteur \[
|ad - bc|,
\]
(valeur absolue du d\'eterminant).
Lorsque ce d\'eterminant est $1$ (pour une rotation par exemple), la fonction int\'egr\'ee reste inchang\'ee. Ce changement de variables lin\'eaire envoie un carr\'e $[0,1] \times [0,1]$ vers le parall\'elogramme $P$ engendr\'e par les vecteurs $
\left(\begin{array}{c}
                              a \\
                               b
                             \end{array}\right) \et\left(\begin{array}{c}
                              c \\
                              d
                             \end{array}\right).$
Donc en particulier $$Aire(P)= \int_P \dx \dy = \int_{[0,1]\times [0,1]} |ad - bc| \du \dv =  |ad - bc| $$
\end{example}

\begin{example} Changement en coordonn\'ees polaires.
Soit $[0, \infty[ \times [0,2\pi[ \to \R^2$ une bijection entre les coordon\'ees polaires et cart\'esiennes donn\'ees par
$$(r,t) \mapsto (x = r \cos t, y = r \sin t).$$
$$\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right| = \left|
                                         \begin{array}{cc}
                                           \frac{\partial x }{\partial r} & \frac{\partial x }{\partial t}  \\
                                           \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y }{\partial t}  \\
                                         \end{array}
                                       \right| = r \cos^2 t + r \sin^2 t  = r.
$$
Calculer $I = \iint_D y^2 \dx \dy$ sur $D,$ disque de centre $(0,0)$ de rayon $R.$ Le calcul direct est assez long~:
\[\begin{array}{rl}
I =& \int_{-R}^R \left( \int_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}} y^2 \dy \right) \dx=\int_{-R}^R  2 \left( \int_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}} y^2 \dy \right) \dx \\ &\\
=& \int_{-R}^R  2 \left( y^3/3 \right)_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}}  \dx = \frac{4}{3}\int_{0}^R  (\sqrt{R^2 - x^2})^3  \dx \\ &\\
=& \frac{4}{3}\int^{0}_{\pi/2}  R^3 \sin^3\theta (-R \sin \theta)  {\mathrm d} \theta = \frac{4}{3}R^4\int_{0}^{\pi/2}  \sin^4 \theta  {\mathrm d} \theta = \frac{\pi R^4}{4} \end{array}
\]
o\`u on utilise le changement de variables
$$x = R \cos \theta, \ 0 \leq \theta \leq\pi/2, \ \quad \dx = - R \sin\theta \ {\mathrm d} \theta, \ R^2 - x^2 = R^2 (1- \cos^2 \theta) = R^2 \sin^2 \theta.$$ On utilise aussi la lin\'earisation de  $\sin^4 \theta~:$
\[
\sin^4 \theta = \left( \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2 i} \right)^4= \frac{e^{4i\theta} - 4e^{2i\theta} + 6 - e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta}}{16}  = \frac{1}{8} \cos{4\theta} - \frac{1}{2} \cos{2 \theta} + \frac{3}{8}
\]
Ce calcul a l'air assez long et fort utile, mais \`a l'aide d'un changement de variables sous l'int\'egrale double  on arrive  au r\'esultat plus rapidement~:
les coordonn\'ees polaires transforment le rectangle en disque. Ici on a un disque et donc~:
\[
\Delta = \{(r,t) \in \R^2 \left| 0 \leq r \leq R \et 0 \leq  t \leq 2 \pi \right. \} \to D = \{(x,y)\in R^2 \left| x^2 + y^2 \leq R^2 \right.\}
\]
D'o\`u
\[
I = \iint_\Delta r^2 \sin^2 t r \dt \dr = \int_0^R r^3 \dr \cdot \int_0^{2\pi} \sin^2 t \dt = \frac{R^4}{4} \cdot \int_0^{2\pi}
\frac{1-\cos 2t}{2} \dt = \frac{\pi R^4}{4}
\]
\end{example}


\subsection{Volume. Int\'egrales triples.}
Pour certaines parties $E \subset \R^3$ et certaines fonctions $f: E \to \R$ on d\'efinit un nombre r\'eel not\'e
\[
I = \iiint_E f(x,y,z) \dx \dy \dz
\]
et appel\'e l'int\'egrale de $f$ sur $E.$
\begin{dfn}
Un compact \'el\'ementaire $\Delta$ de $\R^3$ est une partie de $\R^3$ de l'une des formes suivantes~:

$  \begin{array}{ll} (1) \ \Delta_{(x,y)} = & \{(x,y,z) \in \R^3 |  \  \phi_1(x,y) \leq z \leq  \phi_2(x,y), \ \mbox{o\`u}
     (x,y) \in D - \mbox{partie}  \\& \ \ \mbox{ quarrable de} \ \R^2  \et  \phi_1,\phi_2  - \mbox{fonctions continues sur} D \}\end{array}$

$ \begin{array}{ll} (2) \ \Delta_{z} = & \{(x,y,z) \in \R^3 |  \  a \leq z \leq  b,\ \ \mbox{o\`u}
     (x,y) \in D(z) =  \mbox{la projection} \\& \ \mbox{sur le plan} \ xy \ \mbox{ de  l'intersection de } \Delta   \et   \mbox{du plan passant par} \ (0,0,z)\  \\& \mbox{ et parall\`ele au plan} \ xy\}\end{array}$

$\ (3) \ P = [a,b] \times [c,d] \times [e,f],$
 dans ce cas on dit aussi que c'est un pav\'e de $\R^3.$
\end{dfn}
\begin{theorem} (de Fubini)
Soit $\Delta$ un compact \'el\'ementaire de $\R^3$ et $f(x,y,z)$ une fonction continue sur $\Delta.$
\begin{enumerate}
\item Si $\Delta$ est de type $\Delta_{(x,y)} $ alors
\[
\iiint_{\Delta} f(x,y,z) \dx \dy \dz = \iint_D \left( \int_{\phi_1(x,y)}^{\phi_2(x,y)} f(x,y,z) \dz\right)\dx \dy
\]
(int\'egration par ''piles'')
\item  Si $\Delta$ est de type $\Delta_{z} $ alors
\[
\iiint_\Delta f(x,y,z) \dx \dy \dz = \int_a^b \left( \iint_{D(z)} f(x,y,z) \dx \dy \right)\dz
\]
(int\'egration par ''tranches'')
\item Si $\Delta = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$ alors
$$\begin{array}{rl}\displaystyle{ \iiint_{\Delta} f(x,y,z) \dx \dy \dz = }&\displaystyle{ \int_a^b\left(\int_c^d \left( \int_e^f f(x,y,z)\dz\right) \dy \right) \dx }\\
=& \displaystyle{ \int_e^f\left(\int_c^d \left( \int_a^b f (x,y,z)\dx\right) \dy \right) \dz = \cdots} \end{array}$$

\end{enumerate}
\end{theorem}
En particulier, le volume de $\Delta$ est l'int\'egrale triple sur $\Delta $ de la fonction $1$~:
\[
\mbox{Volume de} \ \Delta =  \displaystyle{ \iiint_{\Delta}  \dx \dy \dz}
\]
Les int\'egrales triples sont des int\'egrales de 3-formes diff\'erentielles. Pour les 3-formes diff\'erentielles on peut calculer ce qui ce passe si on change les variables.
Supposons que $x,y \et z$ soient des fonctions de variables $u,v \et w$ telles qu'on a les formules
$$x = x(u,v,w),\  y = y(u,v,w), \ z = z(u,v,w).$$
Ce sont des formules de changement de variables - c'est-\`a-dire une transformation qui \`a un point $m$ de coordonn\'ees $u,v \et w$ associe le point de coordonn\'ees $x,y \et z.$
Le jacobien du changement de variable est le d\'eterminant
\[\left|\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}\right| = \left| \begin{array}{ccc}
                                       {\partial x}/{\partial u} & {\partial x}/{\partial v}  & {\partial x}/{\partial w} \\
                                       \displaystyle{{\partial y}/{\partial u}}  & {\partial y}/{\partial v}  & {\partial y}/{\partial w}  \\
                                      {\partial z}/{\partial u}  & {\partial z}/{\partial v}  & {\partial z}/{\partial w}
                                     \end{array}
\right|.
\]
Alors, si le domaine $\Delta$ est transform\'e par ce changement de variables en $\Delta'$, la 3-forme diff\'erentielle $\dx \dy \dz$ doit \^etre
 chang\'ee \`a l'aide du Jacobien et
 on obtient la formule suivante~:
\[
\iiint_\Delta f(x,y,z) \dx\dy \dz = \iiint_{\Delta'} f(x(u,v,w), y (u,v,w), z(u,v,w))\left|\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}\right|\du\dv\dw
\]
\subsection{Coordonn\'ees cylindriques. Coordonn\'ees sph\'eriques}
\textit{Prima facie}, les\\ \underline{coordonn\'ees cylindriques} sont $r,t \et z$ telles que
$$ x= r \cos t, \ y = r \sin t, \ z = z, \ \mbox{avec} \ r^2 = x^2 + y^2, \ \ t \in [0, 2\pi[ $$
On obtient
\[\left|\frac{D(x,y,z)}{D(r,t,z)}\right| = r
\]
\begin{example}
Le volume de la partie $\Delta$ du cylindre d'\'equation $x^2 + y^2 - ax \leq 0$ (o\`u   $a >0$) comprise entre le plan $xy$ et le plan d'\'equation $z = 1$ s'obtient gr\^ace \`a la formule de changement de variables~:
$\Delta$ est transform\'ee par les coordonn\'ees cylindriques en $$\Delta' = \{(r,t,z)| \ t \in [0, 2\pi[, \ r \in [0, a \cos t ], \ z \in [0,1]$$
Alors,
$$\begin{array}{rl}
V = & \displaystyle{\iiint_\Delta  \dx\dy \dz = \int_0^{2\pi} \int_0^{a \cos t} r\dr \dt \int_0^1\dz = \int_0^{2\pi} \frac{(a \cos t)^2}{2} \dt}\\
 &\displaystyle{= \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} \dt = \frac{a^2 \pi}{2}}
 \end{array}
$$
\end{example}
Les \underline{coordonn\'ees sph\'eriques} sont $(\theta, \phi, r)$ telles que
  \begin{equation} \label{eq:boule}
  \begin{array}{rcl}
 g~: [0,\pi] \times [0,2 \pi] \times [0, + \infty[ &\to & \R^3\\
  (\theta, \phi, r) & \mapsto & g(\theta, \phi, r) = (r\sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos  \theta).
  \end{array}
  \end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Chapitre IX.
Courbes et Int\'egrales
curvilignes}
\subsection{Courbes de $\R^2.$ Th\'eor\`eme des fonctions implicites pour les courbes de
$\R^2$}
Une courbe $\Gamma$ de $\R^2$ peut \^etre d\'efinie de plusieurs fa\c cons diff\'erentes.

\textbf{A)} \underline{Forme explicite} $ y = f(x)$ o\`u $f: I \to \R, \ I \subset \R,$
  \[
  \Gamma = \{ (x,y) | \ x \in I \subset \R, y = f(x) \}.
  \]
  Si $f$ est d\'erivable en $x_0 \in I$ alors $\Gamma$ poss\`ede une tangente au point $m_0 = (x_0,y_0),$ o\`u $y_0 = f(x_0).$ L'\'equation de cette tangente est
\[
y- y_0 = f'(x_0) (x-x_0).
\]

\textbf{B)} \underline{Forme param\'etrique}
 (cf. D\'efinition \ref{def:arc})
 \begin{dfn} Une partie de $\R^p, \ \Gamma$ est une courbe s'il existe
 une application continue $\gamma$ d'un intervalle $[a,b]\subset \R$ dans $\Gamma \subset \R^p.$  Si cette application est bijective, $\gamma$ est appel\'e un \underline{arc de courbe}. Le couple $(\Gamma, \gamma)$ est appel\'e une \underline{courbe param\'etr\'ee}.
 Si $\gamma(a) = \gamma(b)$ mais $\gamma(t_1) \not= \gamma(t_2)$ pour tous les points $t_1\not= t_2$ de $ [a,b]$ la courbe $\Gamma$ est appel\'ee \underline{une courbe ferm\'ee} ou \underline{un circuit ferm\'e}.
 \end{dfn}
 Les \underline{courbes planes} sont des courbes dans $\R^2$. Les \underline{courbes gauches} sont des courbes dans $\R^3.$

  Soit
   \[\gamma(t) =  \left\{\begin{array}{cc}
                                                 x  & = g(t) \\
                                                 y & = h(t)
                                               \end{array}\right.\]
 o\`u $g,h : [a,b] \to \R, \ [a,b] \subset \R.$ Alors, la fonction $\gamma(t)$ \`a valeurs dans $\R^2$ sur un intervalle $[a,b]$ d\'efinit  $\Gamma,$ une courbe param\'etr\'ee dans $\R^2~:$
  \[
  \Gamma = \{ (x,y) | x = g(t), y = h(t); \  t \in [a,b]\}.
  \]
  On dit que  $\gamma(t) = (g(t),h(t))$ est une repr\'esentation param\'etrique de la courbe.

  La m\^eme courbe peut avoir des repr\'esentations diff\'erentes, par exemple,
les param\'etrisations  \[\gamma(t) =  \left\{\begin{array}{rl}
                                                 x  & = t \\
                                                 y  & = 2t
                                               \end{array}\right., \ t \in  [0,1]; \ \ \gamma(s) =  \left\{\begin{array}{rl}
                                                 x & = s/2 \\
                                                 y & = s
                                               \end{array}\right., \ s \in  [0,2]\]
                                               d\'efinissent le m\^eme segment sur la droite $y = 2x.$

Pour une courbe
\[\gamma(t) =  \left(\begin{array}{cc}
                                                g(t) \\
                                                 h(t)
                                               \end{array}\right)
                                              \qquad \mbox{ sa d\'eriv\'ee} \qquad
\gamma'(t) =  \left\{\begin{array}{cc}
                                                   & g'(t) \\
                                                  &  h'(t)
                                               \end{array}\right.\]
 d\'efinit un vecteur tangent \`a la courbe $\Gamma$ au point $(x,y) = (g(t), h(t)).$
Pour \'ecrire l'\'equation de la tangente \`a $\Gamma$ au point donn\'e de la courbe $\gamma(t_0) = (x_0,y_0)$, on trouve l'\'equation de la droite passant par $(x_0,y_0)$ et parrall\`ele  \`a $(g'(t_0), h'(t_0)).$ On l'\'ecrit sous la forme de d\'eterminant d'une matrice \[
\left|
  \begin{array}{cc}
    x-x_0 &  g'(t_0)\\
    y-y_0 &  h'(t_0)\\
  \end{array}
\right| = 0
\]
Ce qui donne
\[
g'(t_0) (x-x_0)  - f'(t_0) (y-y_0) = 0.
\]
Si $(g'(t_0), h'(t_0))= (0,0)$ la tangente peut exister \'egalement, sa pente est $\displaystyle{\lim_{t\to t_0} \frac{h'(t_0)}{g'(t_0)}}$ lorsque cette limite existe.


\begin{dfn}
On note $\Gamma^+$ un arc d'une courbe avec un sens  de parcours indiqu\'e. On dit qu'on \underline{choisit l'orientation} de $\Gamma$ quand on choisit le sens de parcours.
On d\'enote par $\Gamma^-$ un arc d'une courbe qui est le m\^eme que $\Gamma^+$ mais avec un sens de parcours oppos\'e.
Soit $\gamma: [a,b] \to \Gamma$ une param\'etrisation de $\Gamma.$ On dit que $\gamma$  est \underline{compatible avec l'orientation} de $\Gamma^+$ si le point $\gamma(t)$ se d\'eplace dans le sens de parcours de $\Gamma$ lorsque le param\`etre cro\^it de $a$ \`a $b.$

\end{dfn}
\begin{example} Soit $\Gamma$ une partie de la  droite $y=x$ sur l'intervalle $[0,2]$  parcourue du point $(2,2)$ vers le point $(0,0).$
Deux param\'etrisations
\[
t \in [0,2], \  \gamma(t) = \left(\begin{array}{c}
t \\
t
                        \end{array}\right) \et \mu(t) = \left(\begin{array}{c}
2-t \\
2-t
                        \end{array}\right)
\]se distinguent par l'orientation~: $\mu$ est compatible avec $\Gamma^+$ tandis que $\gamma$ a une orientation oppos\'ee.
\end{example}

\textbf{C)} \underline{Forme implicite :} par une \'equation cart\'esienne $$\Gamma = \{ (x,y) \in D | f(x,y) = 0\} \ \mbox{o\`u} \ f~: D \to \R, \ D \subset \R^2.$$
      Dans ce cas, sous certaines conditions, c'est possible de se ramener \`a la forme explicite. On cherche \`a exprimer $y$ en fonction de $x$ par $y = \phi(x)$ localement, i.e. au voisinage d'un point de la courbe $(x_0,y_0).$
\begin{theorem}{(Des fonctions implicites pour les courbes.)} Soit $D \subset \R^2$ et $f: D \to \R$ une fonction de classe $C^1$ sur $D.$ Soit $(x_0,y_0) \in D$ avec $$f(x_0,y_0) = 0 \et \frac{\partial f}{\partial y }(x_0,y_0) \not= 0.$$
 Alors il existe $I \subset \R$ un intervalle ouvert de centre $x_0$ et $J \subset \R,$ un intervalle ouvert de centre $y_0,$ tels que
\begin{enumerate}
  \item $\forall x \in I, \ f(x,y) = 0$ poss\`ede une unique solution $y \in J$ not\'ee $y = \phi(x)$ (en particulier $y_0 = \phi(x_0)).$
  \item En particulier, $\phi: I \to J$ est d\'erivable sur $I$ avec
      \[ \phi'(x) = -  \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) }{ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)}
      \]
\end{enumerate}

\end{theorem}
Exemple: $f(x,y) = x^2 +y^2 -1, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y.$ Pour le point $(x_0,y_0) = (0,1)$ de la courbe $f(x,y) = 0$ on a $\frac{\partial f}{\partial y} (0,1)= 2$ - le th\'eor\`eme s'applique, d'o\`u l'existence d'une fonction $\phi: I \to J.$ On peut prendre les intervalles  $I = ]-1,1[$ et $ J = ]0,2[.$ Dans ce cas simple on peut expliciter $ \phi(x) = \sqrt{1-x^2}.$ Pour la d\'eriv\'ee on v\'erifie que \[
\phi'(x) = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = - \frac{x}{y} = -  \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) }{ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)}.
\]
L'int\'er\^et du th\'eor\`eme r\'eside dans les cas o\`u on ne peut pas expliciter $\phi$, mais o\`u n\'eanmoins on peut construire le graphe en utilisant les valeurs des tangentes.

En utilisant la formule de Taylor, on a
\[\begin{array}{rl}
f(x,y) & = f(x_0,y_0)\\
 &+ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) + o(\sqrt{|x-x_0|^2 + |y-y_0|^2})\end{array}
\]
La ligne de niveau $0$ de $f$ d\'efinit une courbe implicitement. $(x_0,y_0)$ appartient a cette courbe si $f(x_0,y_0) = 0.$ La diff\'erentielle en ce point d\'ecrit bien le comportement de la courbe~:
\begin{equation}\label{tangente}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) = 0.\end{equation}
C'est une \'equation de la droite tangente.  Si on peut r\'esoudre cette \'equation lin\'eaire par rapport \`a $y$ (i.e. $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \not=0$) alors la courbe $f(x,y)=0$ est proche de la  droite (\ref{tangente}) dans un voisinage suffisamment petit. On peut esp\'erer pouvoir r\'esoudre $f(x,y) =0$ comme une relation explicite entre $y$ et $x.$
\begin{remark}
Si $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \not=0$ le th\'eor\`eme des fonctions implicites appliqu\'e en permutant le r\^ole de $x \et y$ donne une application $\psi: J \to I$ et au voisinage de $(x_0,y_0)$ l'\'equation de la courbe est $x = \psi (y).$
\end{remark}

\subsection{Droite tangente, plan normal \`a une courbe param\'etr\'ee de $\R^3$}
Une courbe param\'etr\'e dans l'espace, appel\'ee aussi "courbe gauche", est donn\'ee par une application vectorielle~:
\[\gamma(t) =   \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\\z(t)
                                               \end{array}\right), \ \ t \in I \subset \R.
                                               \]
                    Le vecteur directeur de la droite tangente au point de la courbe $(x_0,y_0,z_0) = (x(t_0),y(t_0),z(t_0))$
est donn\'e par la d\'eriv\'ee de $\gamma~:$
\[
\overrightarrow{\gamma'}(t_0) =   \left(\begin{array}{c}x'(t_0)\\y'(t_0)\\z'(t_0)\end{array}\right).
\]
La droite tangente $T$ passe par $(x_0,y_0,z_0) $ et parall\`ele au vecteur $\gamma'(t_0).$ Cela signifie que  chaque vecteur $\overrightarrow{P_0P}$ passant du point  $P_0=(x_0,y_0,z_0) $ au point $P=(x,y,z) \in T$  est colin\'eaire au vecteur $\overrightarrow{\gamma'}(t_0).$ En coordonn\'ees cela donne l'\'equation de la droite~:
\[  \left(\begin{array}{ccc}x-x_0& = &k x'(t_0)\\y-y_0& = &k y'(t_0)\\z-z_0& = &k z'(t_0)\end{array}\right), \ k \in \R.
\]
$k$ est ici un coefficient de proportionnalit\'e entre les  vecteurs $\overrightarrow{P_0P} \et \overrightarrow{\gamma'}(t_0). $ Cette variable $k$ d\'epend de la position du point $P$ sur la droite et quand $k$ parcourt $\R,$ le point $P$ parcourt la droite tangente. Si toutes les coordonn\'ees de $\overrightarrow{\gamma'}(t_0)$ sont non-nulles on peut r\'e\'ecrire l'\'equation de la droite sans $k~:$
\begin{equation} \label{eqn:tangente} \frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)}= \frac{z-z_0}{ z'(t_0)}.
\end{equation}

Le plan normal, orthogonal \`a la courbe au point de la courbe $(x_0,y_0,z_0)$, ce qui en pratique signifie orthogonal \`a la tangente en ce point, est donn\'e par la relation suivante~:
\[
x'(t_0)\cdot(x-x_0) + y'(t_0)\cdot (y -y_0) + z'(t_0) \cdot (z- z_0) = 0.
\]
Ici on utilise le produit scalaire de la tangente et du vecteur $
\overrightarrow{P_0Q},$ passant du point  $P_0=(x_0,y_0,z_0) $ au point $Q=(x,y,z)$ du plan. Le plan est normal quand le produit scalaire
$\overrightarrow{\gamma'}(t_0) \cdot \overrightarrow{P_0Q}$ vaut $0.$
\begin{example}
Cherchons les \'equations de la tangente et du plan normal  \`a la courbe
donn\'ee par les relations param\'etrique~:
\[
x = t, \ y = t^2,  \ z = t^3
\]
au point $(x_0,y_0,z_0) = (1,1,1), \ t = 1.$
On a
$x' = 1, \ y' = 2t,  \ z' = 3t^2,$ donc au point $(1,1,1),$ le vecteur directeur de la tangente est \'egal \`a $(1,2,3).$
L'\'equation de la tangente est
\[
\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{2} = \frac{z-z_0}{3}
\]
et celle du plan normal
\[
1\cdot({x-x_0}) + 2\cdot({y-y_0}) + 3\cdot({z-z_0}) =0.
\]
\end{example}
Derni\`ere remarque ici \`a propos de la dimension. La droite est un objet de dimension $1,$ donc pour \'ecrire une \'equation d'une droite dans $\R^3$ il faut deux relations lin\'eaires ind\'ependantes, car $1 = 3-2$. Quand on utilise une variable suppl\'ementaire $k$ pour \'ecrire une \'equation d'une droite, on a $4$ variables et $3$ relation lin\'eaires~: $4-3 = 1.$

Un plan dans l'espace $\R^3$ est donn\'e par une seule \'equation lin\'eaire, du point de vue de la dimension car la dimension du plan est $2 = 3 -1.$

\subsection{Longueur d'une courbe. Abscisse curviligne}
 Un arc de courbe est orient\'e par le choix de l'un des deux sens de parcours possible, ce qui revient \`a distinguer les vecteurs tangents oppos\'es $\pm \overrightarrow{\gamma'}(t).$
Pour calculer la longueur d'un arc de la courbe $\Gamma$ on partage la courbe en $n$ morceaux et on cherche la somme des longueurs. Quand $n \to \infty$ les morceaux de la courbe deviennent petits et presque des segments donc
    \[
    \sum_{i=1}^n \|\overrightarrow{M_iM_{i+1}}\| =  \sum_{i=1}^n\|\overrightarrow{\gamma}(t_{i+1}) - \overrightarrow{\gamma}(t_{i})\| \approx \sum_{i=1}^n \parallel\overrightarrow{\gamma}'(t_{i})\parallel (t_{i+1} - t_{i}).
   \]
 on peut substituer \`a la longueur d'un morceau $M_iM_{i+1}~$ la longueur du vecteur tangent $\|\overrightarrow{\gamma}'(t_i)\|$ au point $M_i= \gamma(t_i).$ En consid\'erant des subdivision de plus en plus fines et en passant \`a la limite en $n \infty$  on obtient la sommation continue qui d\'efinit la longueur: l'arc de courbe  $\Gamma$ donn\'e par la parametrisation $\gamma: [a,b] \to \R^3, \ \gamma(t) = (x(t),y(t),z(t))$ a pour longueur
\[
L(\Gamma) = \int_a^b \|\overrightarrow{\gamma'}(t)\| dt.
\]
\begin{theorem}
La longueur d'un arc d'une courbe est bien d\'efinie - elle ne d\'epend pas de la param\'etrisation.
\end{theorem}
Soit $p: [u_d,u_f] \to [a,b], \ p(u) = t$ une fonction d\'erivable $p'(u)\not=0,$ pour $u \in [u_d,u_f],$ et  $a = p(u_d), b = p(u_f).
$ On a le m\^eme arc de courbe $\Gamma$ avec une nouvelle repr\'esentation param\'etrique $\mu(u) = \gamma(p(u)).$ Montrons que $L(\Gamma) = \int_{u_d}^{u_f} |\mu'(u)| du.$ En eff\`et,
\[\frac{{\mathrm d}\mu}{\du} = \frac{{\mathrm d} \gamma}{\dt}\frac{\dt}{\du}\]
\[
L(\Gamma) = \int_{u_d}^{u_f} \|\mu'(u)\| du = \int_{u_d}^{u_f} \left\|\frac{{\mathrm d} \gamma}{\dt}\frac{\dt}{\du}\right\| du =\int_{u_d}^{u_f} \left\|\frac{{\mathrm d} \gamma}{\dt}\right\| \left( \left\|\frac{\dt}{\du}\right\| du \right) = \int_a^b \left\|\frac{{\mathrm d} \gamma}{\dt}\right\|\dt.
\]
On pose $\ds = \left|\overrightarrow{\gamma}'{t}\right|\dt = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} \dt.$ On l'appelle \underline{l'abscisse curviligne} car cette forme diff\'erentielle joue le m\^eme r\^ole dans les int\'egrales sur les courbes que $\dx$ sur les int\'egrales simples sur un intervalle.
\begin{remark}
Dans $\R^2$ une courbe param\'etr\'ee est donn\'ee par
\[ \gamma(t) = \left\{
\begin{array}{rl}
  x = & x(t) \\
  y =  & y(t)
\end{array}\right., \quad \gamma'(t) = \left\{
\begin{array}{rl}
  x'= & x'(t) \\
  y'=  & y'(t)
\end{array}\right., \quad  \left\|\overrightarrow{\gamma}'(t)\right\| = \sqrt{x'^2 + y'^2}
\]
Si la courbe est donn\'ee par l'\'equation $y = f(x),$ alors $$\gamma(t) = \left(
\begin{array}{c}
  t \\
  f(t)
\end{array}\right), \quad  \left\|\overrightarrow{\gamma}'(t)\right\| = \sqrt{1 + f'(t)^2}.$$
\end{remark}

\subsection{ Int\'egrale curviligne d'une fonction}
\begin{dfn} Soit $f$ une fonction continue sur un domaine $D \subset \R^3$ contenant une courbe $\Gamma, \ t \in [a,b]$. L'\underline{int\'egrale curviligne} de $f$ sur $\Gamma$ est d\'efinie par
\[
\int_\Gamma f(x,y,z) \ds = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t))  \left\|\overrightarrow{\gamma}'(t)\right\|\dt
\]
\end{dfn}
\begin{example} Soit $\Gamma$ le cercle dans le plan $z = 1$ de centre $(0,0,1)$ et de rayon $R >0.$
On choisit une repr\'esentation param\'etrique, pour $t \in [0, 2\pi[$
\[ \gamma(t) = \left\{
\begin{array}{rl}
  x(t)= & R \cos t\\
  y(t)= & R \sin t\\
  z(t) = & 1
\end{array}\right. \quad \overrightarrow{\gamma}'(t) = \left\{\begin{array}{rl}
  x'(t)= & - R \sin t\\
  y'(t) = & R \cos t\\
  z'(t) = & 0
\end{array}\right.\]
On a  $\quad \left|\overrightarrow{\gamma}'(t)\right| = \sqrt{R^2 \sin^2t + R^2 \cos^2 t} = R.$
La longueur du cercle
\[
L(\Gamma)=  \int_\Gamma \ds = \int_0^{2\pi} \left|\overrightarrow{\gamma}'(t)\right| \dt =\int_0^{2\pi} R \dt = 2\pi R
\]
Soit $f(x,y,z) = x^2 = y^2 + z^2.$ Sa restriction sur le cercle est
\[
f(x,y,z) \|_\Gamma = f(R\sin t, R\cos t, 1) = R^2 \cos^2 t+ R^2 \sin^2 t + 1 = R^2 + 1
\]
et finalement l'int\'egrale curviligne vaut
\[
I = \int_0^{2\pi} (1 + R^2) R \dt = 2\pi (1+R^2)R
\]
\end{example}

\subsection{Int\'egrale curviligne d'un champ de vecteurs = int\'egrale curviligne d'une 1-forme diff\'erentielle}\

Soit $ \overrightarrow{V}: D \to \R^2$ un champ de vecteurs continu sur une partie $D
\subset \R^2$ contenant une courbe $\Gamma$ de param\'etrisation $\gamma(t): [a,b] \to \Gamma.$
\begin{dfn}
L'int\'egrale
\begin{equation}\label{eq:intcurvV}
I = \int_a^b \overrightarrow{V}(\gamma(t))\cdot \overrightarrow{\gamma}'(t) \dt
\end{equation}
du produit scalaire de $\overrightarrow{V}(\gamma(t))$ et du vecteur tangent \`a la courbe $\Gamma$ au point $\gamma(t):$
$\overrightarrow{\gamma}'(t)$ est appel\'e  \underline{l'int\'egrale curviligne d'un champ de vecteurs} $\overrightarrow{V}.$
\end{dfn}
L'int\'egrale \eqref{eq:intcurvV} est ind\'ependante  de toute param\'etrisation compatible avec l'orientation de $\Gamma^+$. Cette int\'egrale est souvent not\'ee
\[
I = \int_{\Gamma^+} \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{\ds}
\]
o\`u  $ \overrightarrow{\ds} =  \overrightarrow{\tau}\ds$ est le "vecteur de l'abscisse curviligne" -  le vecteur unitaire $\overrightarrow{\tau}$ \'etant le vecteur-directeur de la tangente au point donn\'e de la courbe. Le vecteur $\overrightarrow{\tau}$ est orient\'e dans le sens de parcours de la courbe.
En particulier, si $\V = P(x,y )\I + Q(x,y) \J$
\begin{equation}\label{eq:intcurv-alpha}
 I = \int_{\Gamma^+} P\dx + Q \dy
\end{equation}
- c'est une int\'egrale curviligne d'une 1-forme diff\'erentielle $\alpha$ formellement correspondante au champ de vecteur coordonn\'ee par coordonn\'ee~:
\[
\V = P(x,y )\I + Q(x,y) \J \leftrightsquigarrow \alpha =  P \dx + Q \dy
\]
\begin{example} \label{ex:parab}
Soit $\gamma$ - l'arc de la parabole $y = x^2$ sur un segment $[-2, 2]$ et $\V = -y \I + x \J.$ On peut calculer de deux fa\c con diff\'erentes l'int\'egrale $
I = \int_{\Gamma^+} \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{\ds}
$.
\underline{Premi\`ere fa\c con - via $\dx \et \dy$}

A la place de champ de vecteur $-y \I + x \J$ on \'ecrit une $1$-forme diff\'erentielle
$-y \dx + x \dy.$ Donc l'int\'egrale curviligne devient
\[
I = \int_{\Gamma^+} -y \dx + x \dy
\]
On choisi une repr\'esentation $\gamma: [-2,2] \to \Gamma$ par
\[
\gamma(t) = \left(\begin{array}{c}
             t \\
              t^2
              \end{array}\right), \ \quad \gamma'(t)  = \left(\begin{array}{c}
             1 \\
             2 t
            \end{array}\right), \ \quad  \left\{\begin{array}{rl}
             \dx = & 1\cdot \dt \\
              \dy = & 2t \dt
            \end{array}\right.
\]
Donc
\[
I = \int_{\Gamma^+} -y \dx + x \dy
 = \int_{-2}^2 (-t^2) \dt +  t \cdot 2t \dt = \int_{-2}^2 (t^2) \dt = 16/3
\]
\underline{Deuxi\`eme fa\c con - directe via $\dt$}

On peut directement calculer l'int\'egrale  par la formule \eqref{eq:intcurvV}
 en r\'e\'ecrivant $V(t) = -t^2 \I + t \J$ et $\overrightarrow{\gamma}' (t) = 1 \I + 2t \J~:$
\[
I = \int_{-2}^2 \overrightarrow{V}(t) \cdot \overrightarrow{\gamma}'(t) \dt =
\int_{-2}^2 (-t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t) \dt = 16/3.
\]
\end{example}
\begin{property}\textbf{Propri\'et\'es de l'int\'egrale curviligne}\label{prop:poinc}
\begin{itemize}
  \item Si $\Gamma^{-}$  est un chemin avec une orientation oppos\'ee \`a $\Gamma^+$ \[
      \int_{\Gamma^-} \overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{\ds} = - \int_{\Gamma^+} \overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{\ds}
      \]
  \item Soit $\Gamma_1 \bigcup \Gamma_2$ la r\'eunion de deux arcs de classe $C^1.$ Le choix d'orientations pour $\Gamma_1 \et  \Gamma_2$ fournit l'orientation pour leur r\'eunion. On d\'efinit alors
      \[ \int_{\Gamma_1^+ \bigcup \Gamma_2^+} \overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{\ds} = \int_{\Gamma_1^+} \overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{\ds}+  \int_{\Gamma_2^+} \overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{\ds}\]
\end{itemize}
\end{property}
\begin{remark} Sens physique d'une int\'egrale curviligne~: si $\overrightarrow{V}(M)$ repr\'esente une force variable appliqu\'ee au point $M$ du chemin $\Gamma^+$, l'int\'egrale $I$ est le travail de la force $V$ n\'ecessaire pour d\'eplacer une particule unitaire le long du chemin $\Gamma^+.$ L'int\'egrale curviligne du champ $V$ sur $\Gamma^+$ est aussi appel\'e la \underline{circulation} du champ $V$ sur $\Gamma^+.$
\end{remark}
\subsection{Th\'eor\`eme de Poincar\'e et int\'egrale curviligne}

Le th\'eor\`eme de Poincar\'e parle des conditions n\'ecessaires et suffisantes pour qu'un champ de vecteurs soit un champ de gradient (Th\'eor\`eme \ref{thm:Poinc2}) ou  pour qu'une forme ferm\'ee soit exacte  (Th\'eor\`eme \ref{thm:Poinc3}).
L'int\'egrale curviligne d'un champ de gradient a des propri\'et\'es particuli\`eres, \`a savoir:
\begin{proposition}
L'int\'egrale curviligne de champ de gradient $\V = \grad f$ le long d'un arc de courbe d'extremit\'es $A \et B$ est \'egale \`a $f(B) - f(A).$
\end{proposition}
\begin{proof}
Montrons la proposition dans $\R^2.$ Le champ
\[
\V(x,y) = \grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \I +  \frac{\partial f}{\partial y} \J
\]
d\'efinit l'int\'egrale curviligne
\[
\int_{\Gamma^+} \grad f \cdot \overrightarrow{\ds} = \int_{\Gamma^+} \frac{\partial f}{\partial x} \dx +  \frac{\partial f}{\partial y} \dy
\]
Soit $\gamma: t \mapsto (x(t), y(t)), t \in [a,b]$ une param\'etrisation compatible de $\Gamma^+$. En particulier $\gamma(a) = A \et \gamma (b) = B.$ La restriction de la forme $\frac{\partial f}{\partial x} \dx +  \frac{\partial f}{\partial y} \dy$ sur $\Gamma^+$ nous donne :
\[\begin{array}{rl}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} \dx +  \frac{\partial f}{\partial y} \dy} & \displaystyle{= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\dx}{\dt} \dt +  \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\dy}{\dt} \dt = \left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\dx}{\dt} +  \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\dy}{\dt} \right) \dt }\\
&\displaystyle{= \frac{{\mathrm d} f(x(t),y(t))}{\dt} \dt = \df}
\end{array}
\]
Donc,
\[
\int_{\Gamma^+} \grad f \cdot \overrightarrow{\ds} = \int_a^b  \df = \left[ f(x(t),y(t))\right]_a^b = f(B) - f(A).
\]
\end{proof}
L'int\'egrale ne d\'epend donc que des extremit\'es du chemin d'int\'egration $\Gamma^+$ pas du chemin lui-m\^eme.
\begin{proposition} \label{prop:circnul}
Les propri\'et\'es suivantes d'un champ $\V$ de vecteurs sont \'equivalentes~:
\begin{itemize}
\item Il existe une fonction $f$ telle que $\V = \grad f$
\item Il existe une fonction $f$ telle que $\V \cdot \ds = \df$
\item La circulation de $\V$ d'un point $A$ au point $B$ est ind\'epandente du chemin. Elle ne d\'epend que de $A$ et de $B.$
\item La circulation du champ $\V$ le long de tout chemin ferm\'e est nulle.
\end{itemize}
\end{proposition}
\begin{example}\label{ex:pasexacte}
Soit $\V$ le champ de vecteurs d\'efini sur l'ouvert $\Omega = \R^2 \setminus \{(0,0)\}$ par
\[
\V(x,y) = P(x,y) \I + Q(x,y) \J, \ \ \mbox{o\`u} \ \ P(x,y) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \et Q(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}
\]
On v\'erifie que $\V$ satisfait la condition n\'ecessaire pour \^etre un champ de gradient:
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
\]
On calcule la circulation de $\V$ sur le cercle unit\'e $C^+$ param\'etr\'e comme suit:
\[\gamma (t) = (\cos t, \sin t), \ t \in [0,2\pi], \ x(t) = \cos t, \ y(t) = \sin t.
\]
Dans cette param\'etrisation les diff\'erentielles  sont $\dx = -\sin t \dt, \ \dy = \cos t \dt$ et les coordonn\'ees du  champ $\V$
\[P(x(t),y(t) ) = \frac{-y}{x^2 + y^2} =\frac{ - \sin t}{1}, \ \ Q(x(t), y(t))=   \frac{x}{x^2 + y^2} =\frac{ \cos t}{1} \]
Finalement, l'int\'egrale curviligne $\int_{C^+} P \dx + Q \dy$ se calcule
\[
\int_0^{2\pi} - \sin t (-\sin t) \dt + \cos t \cos t \dt = \int_0^{2\pi} \dt = 2 \pi
\]
et s'av\`ere ne pas \^etre nulle. Par la Proposition \ref{prop:circnul}, cela
 implique que ce champ $\V$ n'est pas un champ de gradient car la circulation le long du chemin ferm\'e (le cercle $C^+$) n'est pas nulle!

 Par le th\'eor\`eme de Poincar\'e on aurait pu anticiper cela car $\Omega,$ le domaine de d\'efinition de champ $\V$ n'est pas simplement connexe (D\'efinition \ref{def:simpl-connexe}). En effet, le cercle $C^+$ est un chemin autour du point $(0,0).$ Ce point \'etant exclu du domaine $\Omega,$ on ne peut pas
 ramener $C^+$ \`a un point tout en restant dans $\Omega.$
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Chapitre X. Th\'eor\`emes de Stokes : Green-Riemann, Ostrogradski...}
\subsection{ Th\'eor\`eme de Green-Riemann}
Parfois on utilise la notation $\oint$ pour une int\'egrale sur une courbe ferm\'ee pour soulignier que le circuit est ferm\'e.
\begin{theorem}[Green-Riemann]
Soit $D$ un compact de $\R^2$ limit\'e par un bord $C = \partial(D)$ de classe $C^1$ par morceaux et $P,Q : D \to \R $ des fonctions de classe $C^1$.
On a
\begin{equation} \label{eq:GR}
\oint_{C^+} P\dx + Q \dy  = \iint_D \left(\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dx \dy
\end{equation}
o\`u $C^+$ designe le bord $C,$ orient\'e de sorte qu'un mobile parcourant $C$ a toujours $D$ \`a sa gauche.
\end{theorem}
\begin{proof}
D'abord on donne ici une d\'emonstration dans le cas le plus simple.
Soit $D$ un carr\'e $R$ de sommets $(0,0),(1,0),(1,1) \et (0,1)$ et supposons $Q = 0.$
On cherche \`a d\'emontrer
\[
\oint_{\partial R} P\dx = - \iint_R  \frac{\partial P}{\partial y} \dx \dy
\]

\textbf{C\^ot\'e gauche de l'\'egalit\'e} Pour calculer l'int\'egrale curviligne $\int_{\partial R} P\dx$
on oriente le bord du carr\'e ${\partial R}$ contre l'aiguille du montre. On note le cot\'e  de $R$ allant  du sommet $(0,0)$ vers $(1,0)   \Gamma_1$, de $(1,0)$ vers $(1,1) - \Gamma_2,$ etc. Le bord du carr\'e
${\partial R} = \Gamma_1 \bigcup \Gamma_2 \bigcup \Gamma_3 \bigcup \Gamma_4.$
On peut param\'etr\'e les cot\'es $\Gamma_i$ o de la fa\c con suivante:
\[\begin{array}{lll}
\gamma_1: [0,1] \to \Gamma_1, &  \ t \mapsto (t,0) & \dx = 1 \cdot \dt, \ \dy = 0\cdot \dt \\
\gamma_1: [0,1] \to \Gamma_2, &  \ t \mapsto (1,t) & \dx = 0 \cdot \dt, \ \dy = 1\cdot \dt \\
\gamma_1: [0,1] \to \Gamma_3, &  \ t \mapsto (1-t,1) & \dx = 1 \cdot  \dt, \ \dy = 0\cdot \dt \\
\gamma_1: [0,1] \to \Gamma_4, &  \ t \mapsto (0,1-t) & \dx = 0 \cdot \dt, \ \dy = 1 \cdot \dt
\end{array}
\]
\[
\oint_{\partial R} P \dx = \int_{\Gamma_1}P \dx  + \int_{\Gamma_2}P \dx + \int_{\Gamma_3}P \dx + \int_{\Gamma_4} P \dx
\]
On a
\[\begin{array}{ll}
\int_{\Gamma_1}P (x,y) \dx & = \int_0^1 P(t,0) \dt, \\
\int_{\Gamma_2}P (x,y) \dx &= \int_0^1 P(1,t) 0 \cdot \dt = 0,
\\
\int_{\Gamma_3}P (x,y) \dx & = \int_0^1 P(1-t,1) \dt = - \int_0^1 P(t,1) \dt , \\
 \int_{\Gamma_4}P (x,y) \dx &= \int_0^1 P(0,1-t) 0 \cdot \dt = 0
\end{array}\]
Finalement le c\^ot\'e gauche est \'egal \`a
\[
\int_0^1 P(t,0)\dt - \int_0^1 P(t,1) \dt
\]
\textbf{C\^ot\'e droit  de l'\'egalit\'e}

On calcule l'int\'egrale double par Fubini :
\[- \iint_R  \frac{\partial P}{\partial y} \dx \dy = - \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial P}{\partial y}\dy\right) \dx = - \int_0^1 (P(x,1) - P(x,0)) \dx
\]
ce qui est exactement le c\^ot\'e gauche obtenu pr\'ec\'edemment!

Il est clair qu'on d\'emontre  de la m\^eme fa\c con que
\[
\oint_{\partial R} Q(x,y) \dy = \iint_R \frac{\partial Q}{\partial x} \dx \dy.
\]
La d\'emonstration se g\'en\'eralise facilement sur n'importe quelle partie quarrable de $\R^2.$
\end{proof}
\begin{remark} L'int\'egrale curviligne du champ $\V (x,y) = P(x,y) \I + Q(x,y) \J$ est l'int\'egrale de la 1-forme diff\'erentielle correspondante $$\alpha = P(x,y) \dx + Q(x,y) \dy.$$  On remarque que  la 2-forme \[
\left(\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dx \dy
\]
est \'egale \`a ${\mathrm {d}} \alpha.$ La formule de Green-Riemman dans cette \'ecriture devient
\begin{equation}\label{eq:GR-Stokes}
\oint_{\partial(D)} \alpha = \iint_D  {\mathrm {d}} \alpha.
\end{equation}
\end{remark}
\begin{example}

Calculer l'int\'egrale curviligne $I$ le long de la boucle ferm\'ee
$C$ constitu\'ee par les deux arcs de parabole $y = x^2$ et $x=y^2$ d\'ecrite
dans le sens direct avec
$$I = \int_C (2xy -x^2)dx + (x+y^2)dy.$$
V\'erifier le r\'esultat en utilisant la formule de Riemann.
\end{example}

\noindent \textbf{Important! } La formule de Green-Riemann marche seulement dans des domaines ferm\'es et born\'es par une courbe ferm\'ee - on n'a pas de formule reliant les int\'egrales doubles aux int\'egrales curvilignes sur un chemin quelconque. La formule de Green-Riemann est vraie seulement pour des chemins ferm\'es.

\subsection{Applications (calcul d'aire, th\'eor\`eme de Poincar\'e)}
L'aire d'un domaine de $\R^2$ gr\^ace au th\'eor\`eme de Green-Riemann s'exprime par une int\'egrale curviligne
\[
Aire D = \int_D \dx \dy = \frac{1}{2}\oint_{\partial(D)} -y \dx + x \dy = - \oint_{\partial(D)} y \dx = \oint_{\partial(D)} x \dy
\]
\begin{example}
Soit $D$ le domaine d\'efini entre la parabole $ y = x^2$ et la droite $y = 4.$
On cherche l'aire de $D.$ On peut la trouver en calculant l'int\'egrale curviligne de
 champ de vecteurs
$\V = -y \I + x \J.$
Le bord est une r\'eunion de $\Gamma \et \Gamma_1$ o\`u $\Gamma$ est la parabole de param\'etrisation $ (t, t^2) , t \in [-2, 2]$ et $\Gamma_1$ la droite de param\'etrisation $ (2-t, 4).$
De l'exemple \ref{ex:parab} on a
\[
I = \oint_{\Gamma^+} -y \dx + x \dy
 = \int_{-2}^2 (-t^2) \dt +  t \cdot 2t \dt = \int_{-2}^2 (t^2) \dt = 16/3
\]
et sur la droite $\Gamma_1$ on a $ x = 2-t,\ y = 4,$ donc $ \dx = -\dt, \ dy = 0 \cdot \dt$ et
\[
I = \int_{\Gamma_1^+} -y \dx + x \dy
 = \int_{-2}^2 (- 4) (-\dt) +  (2-t) (0 \cdot \dt) = \int_{-2}^2 4 \dt = 16
\]
Le r\'esultat pour l'int\'egrale curviligne sur le chemin ferm\'e est
$$\int_{\Gamma \bigcap \Gamma_1} -y \dx + x \dy = \frac{16}{3} + 16 = \frac{64}{3}.$$

On v\'erifie que
\[
\oint_{\Gamma \bigcup \Gamma_1} -y \dx + x \dy = 2\iint_D \dx \dy.
\]
On a \[ \iint_D \dx \dy = \int_{-2}^2\int_{x^2}^4 \dy \dx = \int_{-2}^2 (4-x^2) \dx =
\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \frac{32}{3}
\]
ce qui est exactement la moit\'e de l'int\'egrale curviligne.
\end{example}
 Soit la forme diff\'erentielle
$\alpha = P \dx + Q \dy$ sur $D \subset \R^2$  ferm\'ee. C'est-\`a-dire
que $$\mathrm{d} \alpha = \left(\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dx \dy = 0.$$
Par la formule de Green-Riemann \eqref{eq:GR} on voit que cela implique que
\[
\oint_{C^+} P\dx + Q \dy  = \iint_D \left(\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dx \dy = 0
\]
et cela sur n'importe quel chemin ferm\'e $C^+.$ La seule condition sur $C^+$  est que le chemin $C^+$ doit \^etre le bord d'un domaine quelconque $D$!


La formule de Green-Riemann \'eclaire  un autre c\^ot\'e du th\'eor\`eme de Poincar\'e - une 1-forme ferm\'ee sur un domaine $D$  a  son int\'egrale sur toute courbe ferm\'ee contenue dans $D$ \'egale \`a zero. Par cons\'equent elle est exacte (cf. \ref{prop:poinc}). Par exemple, pour la forme
\[
\omega = \frac{x \dy - y \dx}{x^2 + y^2}
\]
 on arrive en changeant des variables en coordonn\'ees polaires $(x,y) \to (r,t):$
$$x = r \cos t, \ y = r \sin t$$
 \`a obtenir $$\dx = \dr \cos t - r \sin t \dt, \
\dy = \dr \sin t + r \cos t \dt \ \mbox{et par cons\'equent} \ \omega = \dt.$$ Il appara\^it que $\omega$ est exacte par cette formule! Or si on calcule son int\'egrale sur un circuit ferm\'e autour de l'origine comme on a fait dans l'exemple \ref{ex:pasexacte} on voit que l'int\'egrale n'est pas nulle et par cons\'equent la forme n'est pas exacte. Ce qui est correct c'est que $\omega$ est exacte localement, mais pas globalement, partout dans $\R^2 \setminus (0,0).$ Le plus grand ouvert sur lequel on peut obtenir le changement de variables continu $(x,y) \to (r,t)$ est le compl\'ementaire dans le plan $\R^2$ d'une demi-droite issue de l'origine, mais pas le plan entier ni le plan priv\'e de l'origine.


\subsection{Surfaces. Int\'egrale de surface de fonctions r\'eelles}
L'id\'ee de base est la m\^eme que pour les int\'egrales curvilignes, mais au lieu d'int\'egrer sur un arc de courbe on int\`egre sur une surface. C'est par une int\'egrale de  surface qu'on calcule
\begin{itemize}
\item l'aire d'une surface (l'aire d'une sph\`ere, par exemple)
 \item le flux d'un champ de vecteurs \`a travers une surface
\end{itemize}
 Une surface $S$ de $\R^3$ peut \^etre d\'efinie de diff\'erentes fa\c cons:

\begin{itemize}
  \item{a)} \underline{Forme explicite} par une \'equation de la forme $ z= f(x,y)$ o\`u $f: D \to \R, \ D \subset \R^2,$
  \[
  S= \{ (x,y,z) | \ (x,y) \in D \subset \R^2, z = f(x,y) \}.
  \]
  Une parabolo\"{\i}de de r\'evolution $z = x^2 + y^2$ en est un exemple.
  \item{b)} \underline{Forme implicite}  par une \'equation de la forme $F(x,y,z) = 0$   o\`u $F: E \to \R, \ E \subset \R^3,$
  \[
  S= \{ (x,y,z) \in E \subset \R^3| \  F(x,y,z) = 0 \}.
  \]
  La sph\`ere de $\R^3$ de centre l'origine et de rayon $R$ en est un exemple:
  \[
  x^2 + y^2 + z^2 = R^2
  \]
  \item{c)} \underline{Forme param\'etrique} par une repr\'esentation param\'etrique
  \[
  \begin{array}{rcl}
  g~: D \subset \R^2 &\to& S \subset \R^3, \\
  (u,v) & \mapsto & g(u,v) = (x,y,z)
  \end{array}
  \]
  \end{itemize}
  \begin{example} \label{ex:sphere}
  $S$ - une sph\`ere de centre l'origine et de rayon $R$
  \begin{equation} \label{eq:sphere}
  \begin{array}{rcl}
 g~: [0,\pi] \times [0,2 \pi] &\to & S \subset \R^3\\
  (\theta, \phi) & \mapsto & g(\theta, \phi) = (R\sin \theta \cos \phi, R \sin \theta \sin \phi, R \cos  \theta)
  \end{array}
  \end{equation}
  Soit $m$ le point de $S$ de param\`etres $\theta \et \phi.$
  \begin{itemize}
  \item{(a)} Lorsque $\phi$ est fix\'e et que $\theta$ varie dans $[0,\pi]$ $m$ d\'ecrit un demi-cercle. Un vecteur-tangent \`a ce demi-cercle au point $m$ est
      \[\overrightarrow{\frac{\partial g}{\partial \theta}} = (R \cos \theta \cos \phi, R \cos \theta \sin \phi, -R \sin  \theta)
      \]
  \item{(b)}
  Lorsque $\theta$ est fix\'e et que $\phi$ varie dans $[0,2\pi], \ m$ d\'ecrit un cercle. Un vecteur-tangent \`a ce cercle au point $m$ est
      \[\overrightarrow{\frac{\partial g}{\partial \phi}} = (- R \sin \theta \sin \phi, R \sin \theta \cos \phi,0)\]
  \end{itemize}
  On note $$\overrightarrow{N}(\theta,\phi) =\overrightarrow{ \frac{\partial g}{\partial \theta}}\wedge \overrightarrow{\frac{\partial g}{\partial \phi},}$$
ce vecteur s'il est non nul est normal \`a la sph\`ere au point $m.$ Le point $m \in S$ est appel\'e un \underline{point r\'egulier} de la surface  si ce vecteur est non nul en $m$.
  \end{example}
On a une situation analogue pour une surface quelconque param\'etr\'ee par
\[
  \begin{array}{rcl}
  g~: D \subset \R^2 &\to& S,\ \mbox{de classe} \ C^1\\
  (u,v) & \mapsto & g(u,v) = (x,y,z)
  \end{array}
  \]
On consid\`ere $D$ une partie quarrable de $\R^2$ et $g$ de classe $C^1$ sur un ouvert de $\R^2$ contenant $D.$
  On note $$\overrightarrow{N}(u,v) =\overrightarrow{ \frac{\partial g}{\partial u}}\wedge \overrightarrow{\frac{\partial g}{\partial v},}$$
ce vecteur s'il est non nul est normal \`a la surface $S$ au point $(u,v).$

 La notion d'aire de la surface param\'etr\'ee par $\overrightarrow{g}(u,v)$ avec $(u,v) \in D$ vient de la consid\'eration suivante. La surface peut \^etre fractionn\'ee en un nombre fini de parties associ\'ees \`a des rectangles $R_{ij}= [u_i, u_i+ \Delta_i u] \times [v_j, v_j+ \Delta_j v] $ du plan de param\`etres $(u,v).$ L'aire de la portion de surface correspondant \`a $R_{ij}$ sera
 approch\'ee par l'aire d'un rectangle de cot\'es
 \[
 \overrightarrow{g}(u_i, v_j + \Delta_j v) - \overrightarrow{g}(u_i, v_j) \approx
 \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial v} \Delta_j v\  \et \overrightarrow{g}(u_i + \Delta_i u, v_j ) - \overrightarrow{g}(u_i, v_j) \approx
 \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial u} \Delta_i u.
 \]
 Il en r\'esulte:
 \[
 \mathcal{A} = \sum_{i,j} \|  \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial v} \| \Delta_i u
  \Delta_j v.
 \]
 Ce qui, apr\`es des fractionnements de  plus en plus fins, aboutit \`a la d\'efinition pr\'ecise de l'aire avec une int\'egrale double.
 On note
 \[
 \mathrm{d} A = \|\frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial u}  \wedge \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial v} \| \du \dv
 \]
 et on l'appelle \underline{l'\'el\'ement d'aire}.

 Voici un cas particulier: quand la surface est le graphe d'une fonction d'\'equation
 $z = h(x,y),$ on a:
 \[
 \mathrm{d} A = \sqrt{1 +   \left(\frac{\partial \overrightarrow{h}}{\partial x}\right)^2  +  \left( \frac{\partial \overrightarrow{h}}{\partial y}\right)^2} \dx \dy
 \]
 Soit $f: U \to \R, \ U \subset \R^3 \et S \subset U.$
On a  \[
  \begin{array}{rcl}
  f \circ g~: D \subset \R^2 &\to S \subset U \subset \R^3 \to &\R,\\
  (u,v) & \longmapsto &f(g(u,v)).
  \end{array}
  \]
 On peut consid\'erer l'int\'egrale double
 \[
 I = \iint_D f(g(u,v)) \|\overrightarrow{N}(u,v) \| \du \dv
 \]
 et d\'emontrer que $I$ est ind\'ependante du choix de la repr\'esentation param\'etrique $g.$
 Pour calculer l'int\'egrale d'une fonction sur une surface  on note
 \[
 I = \iint_S f \mathrm{d}A
 \]
 et on l'appelle \underline{int\'egrale de $f$ sur la surface $S.$}

En particulier, lorsqu'on prend pour $f$ la fonction constante \'egale \`a $1$ on obtient par d\'efinition \underline{l'aire de $S$} not\'ee
\[
\mathcal{A} (S) = \iint_S \mathrm{d} A
\]
Apr\`es le choix d'une repr\'esentation param\'etrique de $S$ on calcule $\mathcal{A} (S)$ par \[
\mathcal{A} (S) = \iint_D \|\overrightarrow{N}(u,v) \| \du \dv
\]
\begin{example}
Sur la sph\`ere de rayon $R,$ la calotte sph\'erique $S$ est l'ensemble des points de coordonn\'ees sph\'eriques $(R, \theta, \phi)$ tels que $0 \leq \theta \leq \alpha.$
$S$ a la repr\'esentation param\'etrique donn\'ee par l'\'equation \eqref{eq:sphere}
de l'exemple \ref{ex:sphere}. Le vecteur normal est
\begin{equation}\label{eq:spherenorm}
\overrightarrow{N}(\theta,\phi) =\overrightarrow{ \frac{\partial g}{\partial \theta}}\wedge \overrightarrow{\frac{\partial g}{\partial \phi}} = (R^2 \sin^2\theta \cos \phi, R^2 \sin^2 \theta \sin \phi, R \sin \theta \cos \theta),\end{equation}
et
\[
\|\overrightarrow{N}(\theta,\phi)\| = R^2 \sin \theta.
\]
L'aire  de la calotte vaut donc
\[
\mathcal{A}(S) = \iint_{0 \leq \theta \leq \alpha, \ 0 \leq \phi \leq 2\pi} R^2 \sin \theta\  \mathrm{d} \theta\  \mathrm{d} \phi = R^2 \int_0^\alpha \sin \theta \ \mathrm{d}\theta \int_0^{2\pi} \ \mathrm{d}\phi = 2 \pi R^2 (1 - \cos \alpha)
\]
En particulier, pour $\alpha = \pi, \ S $ est la sph\`ere et son aire est $4 \pi R^2.$
\end{example}
\begin{remark} On remarque que
si on change des variables par exemple, $\{x,y\}$ en $\{u,v\}$ c'est exactement comme dans la section \ref{sec:changm}, la 2-forme:
$$\dx \wedge \dy = \displaystyle{\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|}\du\wedge \dv = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right) \du\wedge \dv $$
et on a le m\^eme type de formule pour $\dy \wedge \dz \et \dz \wedge \dx.$
Le produit vectoriel:
\[\frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial u}  \wedge \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial v}=  \left(\displaystyle{
                                                 \frac{ \partial x }{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}} -\displaystyle{
\frac{\partial y}{\partial u } \frac{\partial x}{\partial v}},\ \displaystyle{
                                                 \frac{ \partial y }{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v}} -\displaystyle{
\frac{\partial z}{\partial u } \frac{\partial y}{\partial v}},\  \displaystyle{
                                                 \frac{ \partial z }{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v}}  -\displaystyle{
\frac{\partial x}{\partial u } \frac{\partial z}{\partial v}}
                                                \right)
\]
Finalement,
\begin{equation} \label{eq:surf}
\mathrm{d} A = \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial u}  \wedge \frac{\partial \overrightarrow{g}}{\partial v}  \du \dv = \dx \wedge \dy + \dy \wedge \dz + \dz \wedge \dx
\end{equation}
\end{remark}

\subsection{Int\'egrale de surface d'un champ de vecteurs}

Soit $S$ une surface comportant deux faces distinctes. Elle est dite \underline{orientable.}

En chaque point  r\'egulier, il  existe deux vecteurs
unitaires normaux oppos\'es. Le choix d'un de ces vecteurs $\overrightarrow{n}^+$ \underline{oriente la surface $S$}.

Soit $\V$ un champ de vecteurs continu sur $S.$
Le flux d'un champ $\V$ \`a travers $S$ est l'int\'egrale de surface
\[
\iint_S \V \cdot \overrightarrow{n}^+ \dA
\]
On peut noter $\overrightarrow{n}^+ \dA = {\overrightarrow{\dA}}.$
De \eqref{eq:surf} on a
$$\overrightarrow{\dA} =   \K \dx \wedge \dy + \I \dy \wedge \dz + \J \dz \wedge \dx$$
Pour un champ de vecteurs $\V = P \I + Q \J + R \K$ et une surface $S$ d\'efinie par
$g(u,v) = (x,y,z), \ (u,v) \in D \subset \R^3.$
\begin{equation}\label{eq:intsurf}
\iint_S \V \cdot \overrightarrow{\dA} = \iint_S P \dy \dz + Q \dz \dx + R \dx \dy
\end{equation}



\underline{Formule de la divergence} - relie le flux de champ \`a travers une surface ferm\'ee \`a l'int\'egrale triple de divergence de ce champ sur le domaine de $\R^3$ limit\'e par cette surface.
Soit $E$ un domaine de $\R^3$ et $S = \partial(E)$ la surface qui est le bord de $E.$
Alors, la formule de la divergence (aussi appel\'ee Ostrogradski et dans le contexte \'el\'ectromagn\'etique - Gauss) est la suivante
\begin{equation} \label{eq:div}
\iint_{\partial E} \V \cdot \overrightarrow{\dA} = \iiint _E \mathrm{div} \V \dx \dy \dz
\end{equation}


\begin{example}
V\'erifions la formule d'Ostrogradski avec $E$ - boule de $\R^3$ de centre $O = (0,0,0)$ et de rayon $R$ et $\V = P \I + Q \J + R \K$ champ de vecteurs de composantes
$ P = x,\  Q = y, \ R = 2z$.
La fronti\`ere de $E$ est la sph\`ere $S$ de centre $O$ et de rayon $R.$
On peut prendre la param\'etrisation param\'etrique de sph\`ere \eqref{eq:sphere} avec le vecteur normal $\overrightarrow{N}(\theta, \phi)$ \eqref{eq:spherenorm}. Ce vecteur est dirig\'e vers l'ext\'erieur, donc on note $S^+$ la sph\`ere orient\'ee ainsi.
\[
I = \iint_{S^+} \V \cdot \overrightarrow{N}(\theta, \phi)\ \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi
\]
On a  $$\V(g(\theta, \phi)) = (R \sin \theta \cos \phi, R \sin \theta \sin \phi, 2 R \cos \theta),$$
 son produit scalaire avec $$\overrightarrow{N}(\theta, \phi) =(R^2 \sin^2\theta \cos \phi, R^2 \sin^2 \theta \sin \phi, R \sin \theta \cos \theta) $$
 est \'egal \`a $R^3(\sin \theta + \cos^2\theta \sin \theta).$
Finalement, l'int\'egrale recherch\'ee est:
\[
I = R^3\int_0^{2\pi} \mathrm{d} \phi \int_0^{\pi} (\sin \theta + \cos^2\theta \sin \theta)\mathrm{d} \theta = \frac{16 \pi R^3}{3}
\]
D'autre part $\displaystyle{\mathrm{div} \V = \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y}+  \frac{\partial R}{\partial z} = 4.}$ L'int\'egrale triple
\[
\iiint_E \mathrm{div} \V \dx \dy \dz = 4\iiint_E  \dx \dy \dz = 4 \ \mbox{Volume}(E) = 4 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{16 \pi R^3}{3}.
\]
\end{example}


\underline{Formule du rotationnel} relie l'int\'egrale curviligne du champ de vecteur sur un circuit ferm\'e avec le flux de rotationel du m\^eme champ \`a travers une surface dont le circuit est le bord. La formule du rotationnel  (aussi appel\'ee formule de Stokes)  est la suivante
\begin{equation} \label{eq:rot}
\oint_{\partial S = C^+} \V \cdot  \overrightarrow{\ds} = \iint _{S^+} \rot \V \cdot \overrightarrow{\dA}
\end{equation}

Autrement dit, la circulation du champ $\V$ le long de la courbe ferm\'e $C^+$ est \'egale au flux de  rotationnel de $\V$ \`a travers une surface limit\'ee par $C^+$ (avec l'orientation compatible). Cette formule est une reformulation de la formule de Green-Riemann pour une courbe ferm\'ee dans $\R^3.$
\begin{example}
Ca serait bien de faire encore un exemple de calcul par la formule du rotationnel.
\end{example}

\subsection{Formule de Stokes g\'en\'erale~: $\int_{\partial(D)} \omega = \int_D d
\omega$}\

L'int\'egration est une op\'eration qui \`a un domaine de dimension $k$  et \`a une $k$-forme diff\'erentielle associe un nombre. Des exemples sont
 \begin{itemize}
 \item l'int\'egrale simple
                                  \[
                                  \int_I f(x) \dx
                                  \]- associe un nombre \`a une 1-forme diff\'erentielle
                               $f(x) \dx$    sur un segment $I = [a,b]$ de dimension $1.$
\item l'int\'egrale double
  \[
                                  \iint_D g(x,y) \dx \dy
                                  \]
  - associe un nombre \`a une 2-forme diff\'erentielle $ g(x,y) \dx \dy$
   sur un domaine $D \subset \R^2$
 \item  l'int\'egrale triple
 \[
                                  \iiint_E h(x,y,z) \dx \dy \dz
                                  \]
                                 associe un nombre \`a une 3-forme diff\'erentielle
                                   $h(x,y,z) \dx \dy \dz$ sur un domaine $E \subset \R^3$
 \item l'int\'egrale curviligne
 \[
 \int_\Gamma p(x,y) \dx + q(x,y) \dy
 \]
associe un nombre \`a une 1-forme diff\'erentielle $p(x,y) \dx + q(x,y) \dy$ sur une courbe $\Gamma \subset \R^2$ ou bien
 \[
 \int_C P(x,y,z) \dx + Q(x,y,z) \dy + R(x,y,z)\dz
 \]
associe un nombre \`a une 1-forme diff\'erentielle $P(x,y,z) \dx + Q(x,y,z) \dy + R(x,y,z)\dz$
 sur une courbe $C \subset \R^3.$ Une courbe \'etant un objet de dimension $1$ cela est possible.
 \item l'int\'egrale de surface
 \[
 \iint_S P(x,y,z)\dy \dz + Q(x,y,z) \dz \dx + R(z,y,z)\dx \dy
 \]
 associe un nombre \`a une 2-forme $P(x,y,z)\dy \dz + Q(x,y,z) \dz \dx + R(z,y,z)\dx \dy$ dans $\R^3$ sur une surface $S \in \R^3,$ objet de dimension $2.$
                                \end{itemize}





Soit $D$ un domaine ferm\'e et born\'e de dimension $q$ dans $\R^p,$ on note $\partial(D)$ son bord (qui est de dimension $q-1.$)
Soit $\omega$ une $(q-1)$-forme dans $\R^p$ (D\'efinition \ref{def:forme}).
Alors, la \underline{formule de Stokes g\'en\'erale} est satisfaite:
\begin{equation}\label{eq:stokes}
\int_{\partial(D)} \omega = \int_D d \omega
\end{equation}
Les cas sp\'eciaux de cette formule sont~:
\begin{itemize}
  \item $q=1,\ p=1$ - c'est le th\'eor\`eme fondamental de l'analyse~:
  \[\int_a^b \df = f(b) - f(a)
  \]
  \item $q=2,\ p=2 $ - th\'eor\`eme de Green-Riemann
  \item $q=2,\ q=3 $ - th\'eor\`eme de Stokes (du rotationnel)
  \item $q=3,\ q=3$ - th\'eor\`eme d'Ostrogradski (de la divergence)
\end{itemize}
La formule \eqref{eq:stokes} donne une formulation \'el\'egante de plusieurs th\'eor\`emes.

Elle pr\'esente une connection entre l'op\'eration g\'eom\'etrique $\partial$ qui \`a un domaine $D$ associe son bord $\partial(D)$ et l'op\'eration alg\'ebrique - $\mathrm d $ qui \`a une forme diff\'erentielle $\omega $ associe une forme diff\'erentielle ${\mathrm d} \omega$.
Selon la  formule \eqref{eq:stokes} ces deux op\'erations sont en dualit\'e!

Il faut remarquer que $\partial,$ l'op\'eration de prendre le bord, est diff\'erente de la notion topologique de prendre la fronti\`ere. La notion de l'int\'erieur change avec la dimension, \`a savoir, si on regarde un segment $[a,b]$ dans $\R$ son int\'erieur est un segment ouvert $]a,b[$ et sa fronti\`ere est deux points $\{a, b\}.$ Le m\^eme segment dans $\R^2$ n'a pas de points d'int\'erieur! Tous les points de $[a,b]$ sont des points fronti\`ere.

Ici, soit $D$ un \underline{domaine de dimension $k$} de $\R^p.$  Si  $D$ est donn\'e par sa forme param\'etrique avec $m$ \'equations param\'etriques avec $n$ variables, sa dimension est $k = p + n -  m.$

Par exemple,
pour une courbe de $\R^3, \gamma(t) = (x(t),y(t),z(t))$ il y a  $m= 3$ \'equations
\[
       x = x(t), \
y = y(t), \
      z  = z(t)
\]
sur $p = 3$ variables de $\R^3, (x,y,z)$ qui d\'ependent d'une variable $t,$ en tout $p+n =4$ variables, dont une, $t,$ qu'on appelle libre. Donc dans $\R^3$ la dimension d'une courbe est $p+n - m =  1.$

Un autre exemple, une surface param\'etr\'ee dans $\R^3$ est donn\'ee par 3 \'equations
sur 5 variables $(u,v,x,y,z),$ dont $u,v$ sont des variables libres et $x,y,z$ s'expriment \`a partir de $u,v.$ Cela donne que la dimension d'une surface dans $\R^3$ est \'egale \`a $2 = 5-3$.

Souvent un domaine de dimension $p-1$ dans $\R^p$ est appel\'e une \underline{hypersurface.} Pour d\'efinir une hypersurface dans $\R^p$ il faut une \'equation reliant $p$ variables. Ou bien on peut introduire $p-1$ variables libres
et avec $p$ \'equations d\'efinir une hypersurface. Une surface de $\R^3$ en  est un exemple.

On peut resumer comme suit : la dimension d'un domaine est le nombre minimal de variables ind\'ependantes qui le d\'efinissent.


Ce qui suit ces consid\`erations de dimension, c'est qu'un voisinage $\Omega$ d'un point $X$ de $D$ de dimension $k$ dans $\R^p$ peut \^etre de deux types:
\[
(1) \ \Omega \simeq U \subset \R^k \ \mbox{ou} \ (2) \ \Omega \simeq V \subset \R^{k-1} \times \R.
\]
Les points de $D$ avec le voisinge de type $(1)$ sont des points int\'erieurs.
Les points de $D$ avec le voisinge de type $(2)$ sont des points du bord.
(L'op\'eration de prendre le bord peut aussi  \^etre d\'efinie \`a l'aide des simplexes et des cha\^ines (cf. Chapitre 9 de \cite{R}), ce qui d\'epasse le programme de ce cours.)


On remarque que $\partial(\partial(D))= \emptyset$ pour tout domaine $D.$ Cette propri\'et\'e est en correspondance avec la relation
$d(d \omega)=0$ pour toute forme diff\'erentielle $\omega$ (Lemme \ref{lemma}).
 Le th\'eor\`eme de Stokes g\'en\'eral  dit qu'on peut "\'echanger"\ une op\'eration avec l'autre.

C'est un r\'esultat tr\`es profond qui relie l'analyse des objets g\'eom\'etriques par des m\'ethodes alg\'ebriques. C'est une pierre angulaire de l'analyse moderne.

\begin{thebibliography}{1}%
\bibitem{MSS} Niglio, Louis et Fredon,
Daniel, {\it Fonctions de plusieurs variables : rappels de cours,
questions de r\'eflexion, exercices d'entra\^inement}, Dunod, c1998.
BU provisoire sciences 515.07 NIG
%
%E
\bibitem{Rouv} Rouvi\`ere, Fran\c cois
{\it Petit guide de calcul diff\'erentiel : \`a l'usage de la
licence et de l'agr\'egation} Cassini, 1999 ou 2003. BU
provisoire sciences 510.79 ROU
%
\bibitem{R} Rudin, Walter
{\it Principes d'analyse math\'ematique [Texte imprim\'e] : cours et exercices }Dunod, 2006.
BU Sciences	4\`eme \'etage	515.07 RUD	
%
\bibitem{Zorich} Zorich, Vladimir {\it Mathematical Analysis
I} et {\it Mathematical Analysis II} Springer 2002, 2007 ou
2008. BUFR Maths	Niveau - 1	26 ZORICH
\end{thebibliography}


\end{document}
%\noindent En pratique, on peut \'ecrire les convergences composante par composante:
%\vspace{0.5cm}

%\noindent \underline{\bf Exemple:}
%\vspace{0.1cm}

%\noindent Soit
%$\displaystyle f:\ \left\{\begin{array}{c}\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\\
%(x,y)\mapsto (x+y,xy).\end{array}\right.$
%\vspace{0.2cm}

%\noindent Alors $\forall (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$, $f$ est continue en $(x_0,y_0)$.
%En effet
%$\forall\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$
%suites de $\mathbb{R}$
%telles que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=x_0$ et
%$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n=y_0$,
%on a bien\\ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n+y_n=x_0+y_0$ et
%$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_ny_n=x_0y_0$.
%\vspace{1cm}
