Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan  

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de recherche CNRS
Rapporteurs	:	S. Olla	Professeur, Université de Cergy-Pontoise
		E. Presutti	Professeur, Université de Rome (Italie)
Directeur de Thèse	:	E. Saada	Chargée de recherche CNRS
Examinateurs	:	C. Landim	Chargé de recherche CNRS
		F. Ledrappier	Directeur de recherche CNRS
		C. Maes	Professeur, K.U. Leuven (Belgique)

Résumé

Cette thèse a pour sujet les systèmes de particules. Dans la première partie, on étudie un processus de réaction-diffusion à deux espèces, appelé modèle des faucons et des colombes. Il modélise des interactions entre deux populations animales vivant dans le même milieu. En chaque site du réseau Z^d, des faucons et des colombes évoluent dans le temps : des déplacements, des naissances et des morts ont lieu de manière aléatoire. Les premiers résultats concernent le contrôle des moments et les mesures invariantes. Puis on obtient la limite hydrodynamique du processus (passage entre l'échelle microscopique discrète et le continu), qui permet de déduire de l'observation des individus des équations aux dérivées partielles non linéaires régissant les densités de populations. Deux techniques sont ici utilisées : l'une exploite les fonctions de corrélation du processus, l'autre est la méthode de l'entropie relative (d'abord en volume fini, puis étendue au volume infini par un couplage).

Dans la deuxième partie de cette thèse, on étudie le processus d'exclusion simple généralisée non gradient, via la norme H_-1 et on obtient une version forte des limites hydrodynamiques en volume infini.

Mots clés : systèmes de particules, processus de réaction-diffusion, limites hydrodynamiques
 
 

Abstract

The subject of this thesis is related to infinite particle systems. First we study a reaction-diffusion process with two species, called hawks and doves. It is a modelisation of the evolution of two animal species living in interaction on the same domain. On the lattice Z^d, some hawks and doves evolve in time : they move on the lattice and births and deaths occur at random rates. The first results concern the control of the moments and the invariant measures. Afterwards, we obtain the hydrodynamic limits of the process (passage between the microscopic discrete scale and the continuous one), to deduce partial differential equations for the evolution of population densities. Two techniques are used : One is based on the correlation functions of the process, the second is the relative entropy method (first in finite volume, then extended to infinite volume by coupling).

In the second part, we study the non gradient generalized exclusion process, via the H_-1 norm and we obtain a strong version of the hydrodynamic limits in infinite volume.

Keywords: reaction-diffusion processes, hydrodynamic limits, interacting particle systems