RÉMY - Lyon 1, Maths

ENSEIGNEMENTS DE L'ANNÉE ACADÉMIQUE 2010-2011

SOMMAIRE :

    Cours de Master 2 recherche : « Formes modulaires, cours de base »
    Cours de préparation à l'épreuve écrite de mathématiques générales à l'agrégation

1) Cours de Master 2 recherche : « Formes modulaires, cours de base » (avant celui de Sandra Rozensztajn, plus avancé sur le même sujet, au semestre suivant).

Le déroulement est le suivant : il y a 12 cours ; la première moitié suit très fidèlement [Ser, chapitre VII] ; ensuite, un peu de [Kob] et de [Sar] pour définir les cas de poids demi-entier et de niveau quelconque ; et enfin un petit peu de [Sar] pour une application non arithmétique des formes modulaires (moyennes invariantes sur les sphères).

Bref, pas de géométrie algébrique ce semestre mais ce cours fait partie d'un ensemble thématique de cinq cours de M2 en arithmétique, décrit sur la page du master 2 recherche en mathématiques de Lyon-St Étienne.

Plan du cours

1. Introduction aux formes modulaires

    1A. Le groupe modulaire
        1A1. Action de SL(2,R) par homographies sur le demi-plan de Poincaré
        1A2. Groupe modulaire
        1A3. Domaine fondamental
        1A4. Stabilisateurs
        1A5. Système générateur de SL(2,R)

    1B. Fonctions et formes modulaires
        1B1. Fonctions modulaires
        1B2. Formes modulaires
        1B3. Réseaux de C
        1B4. Fonctions de réseaux
        1B5. Séries d'Eisenstein
        1B6. Une certaine forme modulaire parabolique

    1C. Espaces de formes modulaires
        1C1. Formule des résidus
        1C2. Algèbre des formes modulaires
        1C3. Invariant modulaire

    1D. Développement à l'infini des formes modulaires
        1D1. Nombres de Bernoulli
        1D2. Cas des séries d'Eisenstein
        1D3. La série d'Eisenstein normalisée E_1
        1D4. Une première estimation des coefficients de Fourier
        1D5. Fonction êta de Dedekind, formule de Jacobi et fonction tau de Ramanujan

    1E. Théorie des opérateurs de Hecke
        1E1. Opérateurs et algèbre de Hecke
        1E2. Actions sur les formes modulaires
        1E3. Fonctions propres simultanées
        1E4. Exemples explicites

    1F. Fonctions thêta : introduction
        1F1. Formule sommatoire de Poisson
        1F2. Formes quadratiques
        1F3. Préparatifs algébriques
        1F4. Fonctions thêta
        1F5. Retour aux coefficients de Fourier

2. Formes modulaires pour les groupes de congruence

    2A. Fonctions et formes modulaires de niveau quelconque
        2A1. Groupes de congruence
        2A2. Fonctions et formes modulaires
        2A3. Formes de poids 0
        2A4. Séries d'Eisenstein
        2A5. Séries de Poincaré

    2B. Produit scalaire de Petersson et applications
        2B1. Mesure invariante sur le demi-plan de Poincaré
        2B2. Covolume des groupes de congruence
        2B3. Produit de Petersson
        2B4. Lien avec les formes modulaires
        2B5. Opérateurs de Hecke
        2B6. Retour aux séries de Poincaré

    2C. Poids demi-entier
        2C1. Formes modulaires de poids demi-entier
        2C2. Séries thêta généalisées
        2C3. Conjecture de Ramanujan
        2C4. Séries d'Eisenstein
        2C5. Retour au calcul du facteur d'automorphie pour la fonction thêta

    2D. Valeurs propres des opérateurs de Hecke
        2D1. Questions d'intégralité
        2D2. Problème de Banach-Ruziewicz
        2D3. Une réduction aux bons ensembles de rotations
        2D4. Construction des bons ensembles par récurrence
        2D5. Cas de SO(3) : trou spectral et construction de la forme modulaire adaptée

Quelques feuilles d'exercices et autres

Feuille d'exercices numéro 1 : c'est ici.

Feuille d'exercices numéro 2 : c'est ici. L'exercice sur les sommes de Gauss a eu droit à sa correction tapée.

Partiel : c'est ici.

Examen : c'est ici.