Bertrand RÉMY

[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]


Institut Camille Jordan
UFR de mathématiques - UMR 5208 CNRS / Lyon 1
Bâtiment Jean Braconnier
21 rue Claude Bernard
Université Claude Bernard Lyon 1
69622 Villeurbanne cedex - FRANCE

E-mail: remy at math.univ-lyon1 point fr
Concernant l'enseignement :

Essayer de mettre en place un cours de formation doctorale (resp. au niveau second cycle), qui  profiterait aussi bien aux thésards (resp. aux magistériens) qu'aux collègues permanents -> À ce jour, c'est fait par l'École Doctorale Math-Info.

Exemples envisageables : cours d'arithmétique de J.-P. Serre, livre de P. de la Harpe et d'A. Valette sur la propriété (T), graphes de Ramanujan etc.



Une liste de projets de groupes de travail :

[Toute manifestation de bonne volonté est la bienvenue]

Il va de soi que je ne garantis rien en matière de "productivité" de ces groupes de travail.

Groupes de Kähler : groupes fondamentaux des variétés kählériennes compactes. Il existe des groupes fondamentaux de variétés projectives complexes qui sont non résiduellement fins, donc non linéaires. C'est une classe difficile à isoler parmi les groupes de présentation finie, mais des résultats profonds de topologie des variétés algébriques permettent de mettre en évidence des propriétés algébriques remarquables de ces groupes. Ce serait l'occasion de faire un peu de géométrie algébrique sous un point de vue original.

Groupes à très petite simplification : théorie combinatoire des groupes. La théorie des groupes à petite simplification est liée à celle des groupes hyperboliques. La théorie des groupes à très petite simplification permet de donner une réponse géométrique (et moins technique qu'avec les preuves précédentes) au problème de Burnside : un groupe de type fini et de torsion est-il fini ?

Groupes simples de présentation finie et sans torsion : le point de départ est l'analogie entre le groupe d'automorphismes d'un arbre bi-homogène et un groupe algébrique simple de rang 1 sur un corps local. L'analogie est particulièrement intéressante au niveau des réseaux, i.e. des sous-groupes discrets de covolume fini (par exemple, à quotient compact). On regarde des réseaux irréductibles de produits d'arbres et on peut montrer de cette façon la propriété du sous-groupe normal, qui dit ici que tout sous-groupe normal d'un tel réseau est d'indice fini. Autrement dit, les réseaux en question sont juste infinis. Si on arrive à montrer qu'un groupe juste infini est non résiduellement fini (i.e. la flèche dans sa complétion profinie est non injective), alors on sait fabriquer à indice fini près un groupe abstraitement simple.

Groupes algébriques en caractéristique positive : groupes k-réductifs (à ne pas confondre avec les k-groupes réductifs) : structure, par analogie avec la théorie classique des k-groupes réductifs. Mais aussi problèmes liés aux sous-groupes unipotents dans les points rationnels : il faut faire des hypothèses sur le corps de base pour pouvoir montrer que ces groupes sont dans le radical unipotent d'un k-sous-groupe parabolique. Certaines preuves utilisent de la cohomologie galoisienne et des immeubles de Bruhat-Tits.

Problème des sous-groupes de congruence : les réseaux des groupes de Lie simples de rang supérieur sont arithmétiques, i.e. (en gros) fabriqués à partir de formes sur des corps de nombres de ces groupes de Lie (en fait, à partir des points sur les entiers du corps de nombres de ces groupes algébriques). Les sous-groupes normaux de ces réseaux sont finis centraux ou d'indice fini. Le problème des sous-groupes de congruence consiste à se demander si les sous-groupes d'indice fini de ces réseaux contiennent toujours un sous-groupe obtenu comme le noyau d'une flèche de réduction des coefficients matriciels modulo un idéal des entiers du corps de nombres. Les preuves utilisent elles aussi des techniques cohomologiques évoluées.

Comptage des réseaux en fonction du covolume : le nombre de réseaux de covolume borné par un nombre positif donné est fini. En fait, on peut montrer que cette finitude ne dépend pas du groupe algébrique, ni du corps global de base. Certaines preuves utilisent de la cohomologie galoisienne et des immeubles de Bruhat-Tits. Via la rigidité forte, on peut aussi faire des comptages de variétés localement symétriques de revêtement universel fixé, en utilisant des techniques topologiques.



Les livres que j'aimerais acheter
(et qui ne sont plus en vente, apparemment) :


A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport, and Y. Tai : Smooth compactification of locally symmetric varieties, Math. Sci. Press, Brookline, Mass., 1975, Lie Groups: History, Frontiers and Applications, Vol. IV.

Carl Ludwig Siegel : Topics in Complex Function Theory, Volume I—Elliptic Functions and Uniformization Theory. Wiley Interscience, 1988 (c'est celui-ci, à la différence des suivants, qui est apparemment épuisé).

Carl Ludwig Siegel : Topics in Complex Function Theory, Volume II—Automorphic Forms and Abelian Integrals. Wiley Interscience, 1988.

Carl Ludwig Siegel : Topics in Complex Function Theory, Volume III—Abelian Functions and Modular Functions of Several Variables. Wiley Interscience, 1989.