Institut Camille Jordan, UMR 5208

Séminaire de Physique Mathématique

Vendredi à 14h00

en salle Fokko du Cloux, bâtiment Braconnier, la DOUA (Plan d'accès)

Contact: Valentin Ovsienko (ovsienko@math.univ-lyon1.fr) et Serge Richard (richard@math.univ-lyon1.fr)

• 21 septembre 2012 Jonathan Ohayon : Quantification des sous-algèbres coisotropes
  L’objet de cette exposé est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes d’une bigèbre de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posée par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini.
  Dans cette exposé, nous chercherons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrerons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouverons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établirons un lien entre ces quantifications et une classification des sous-algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouverons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrerons que cette obstruction disparaît dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld.

• 28 septembre 2012 Camilo A. Abad : Holonomies for the Severa-Willwacher connections
  I will describe Gugenheim's A-infinity version of de-Rham's theorem and explain how it can be used to define a higher dimensional version of parallel transport. Then I will show how this construction, applied to the Severa-Willwacher connections on compactified configuration spaces, produces a proof of the formality of the little balls operad. This proof improves the original one, due to Kontsevich, in that it is compatible with the coalgebra structure. This talk is based on joint work with F. Schaetz.

• 5 octobre 2012 Samuel Monnier : The global gravitational anomaly of the self-dual field theory
  Chiral anomalies of quantum field theories have close relations with the index theory of Dirac operators and have numerous physical applications. We will present here a formula for the global gravitational anomaly of the self-dual field theory. The derivation features an interesting interaction between index theory, the modular geometry of the intermediate Jacobian and certain topological invariant generalizing the Rohlin invariant of spin manifolds of dimension 3.

• 12 octobre 2012 Olivier Marchal : Intégrales de matrices aléatoires et Structures intégrables
  Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux liens entre les intégrales de matrices aléatoires et la théorie de l'intégrabilité. Ainsi je rappelerai les résultats standards sur la statistique des valeurs propres du modèle à une matrice et leur connexion avec les polynomes orthogonaux, les problèmes de Riemann-Hilbert et la récurrence topologique d'Eynard et Orantin. J'étudierai ensuite les cas particulier de double limite qui donne lieux à l'apparation des systèmes intégrables et à des équations de Painlevé. Enfin, je dirai quelques mots sur le cas non-hermitien et des possibles ramifications avec la théorie intégrable quantique.

• 19 octobre 2012 Olivier Brahic : Fibrations hamiltoniennes et analogues d'ordre supérieur
  La présence d'une forme fermée, définie sur l'espace total d'une fibration, peut être interprétée en termes de 'connection d'ordre supérieur'. Dans le cas d'une 2-forme par exemple, la forme locale d'une telle connection est à valeurs dans un modules croisé plutôt qu'une algèbre de Lie. Par ailleurs, le transport parallèle doit s'envisager le long de chemins mais aussi de surfaces. On retrouve ainsi un formalisme qui intervient dans certaines théories topologiques des champs.

• 26 octobre 2012 Daniel Parra : Bounded families of operators and compacity on Hilbert spaces
  We consider families of operators indexed by a topological space; this family allows us to characterize compact subsets of a Hilbert space. Our main result is both a generalization of Riesz-Kolmogorov theorem and also an extension of compacity results based on representation coefficients. We will also show some corollaries and an application.
  Harold Bustos : Landstad's Theorem for twisted crossed product
  We show a characterization of the C*-algebras which are twisted crossed products. We obtain a generalization of the main result in Landstad's characterization of the reduced crossed products to a twisted version and we extend the definition of G-products.

• 9 novembre 2012 Nguyen Viet Dang + Christian Brouder : Algèbre de Hopf géométrique pour la théorie quantique des champs
  En s'appuyant sur un article récent de Richard Borcherds "Renormalization and quantum field theory", nous présentons une approche rigoureuse de la théorie quantique des champs en espace-temps courbe incluant la renormalisation. Cette approche est basée sur une fibration de l'espace temps par des algèbres de Hopf. Elle permet d'éclairer la similitude frappante entre les concepts fondamentaux de la théorie quantique des champs et des concepts classiques d'algèbre de Hopf.

• 16 novembre 2012 Adrien Brochier : Invariants de types finis pour les noeuds dans un tore solide
  Les invariants de noeuds de type finis sont ceux qui s'annulent sur la n-ième partie d'une certaine filtration sur l'espace des noeuds introduite par Vassiliev, et qui a un lien étroit avec la théorie des groupes quantiques. Le résultat fondamental de cette théorie est une description essentiellement complète de ces invariants, qui repose sur la construction d'un invariant "universel" à valeur dans un certain espace gradué de diagrammes de Feynman. Ceci a d'abord été prouvé par Kontsevich en utilisant une formule intégrale, puis une construction combinatoire a été donnée par plusieurs auteurs, en utilisant des associateurs de Drinfeld. Je commencerai par rappeler les grandes lignes de cette construction, et expliquerai pourquoi la généralisation "naïve" de la théorie de Vassiliev pour les noeuds dans une surface épaissie fonctionne mal. Je proposerai une approche qui permet de contourner cette obstruction, et donnerai une construction combinatoire d'un invariant universel dans ce cadre pour le cas du tore solide. J'expliquerai comment des spécialisations de cet invariant peuvent être explicitées grâce aux groupes quantiques. Les invariants ainsi obtenus sont polynomiaux.

• 23 novembre 2012 Rafael Tiedra de Aldecoa : Time delay and Calabi invariant in classical scattering theory
  We define, prove the existence and obtain explicit expressions for classical time delay defined in terms of sojourn times for abstract scattering pairs (H_0,H) on a symplectic manifold. As a by-product, we establish a classical version of the Eisenbud-Wigner formula of quantum mechanics. Using recent results of V. Buslaev and A. Pushnitski on the scattering matrix in Hamiltonian mechanics, we also obtain an explicit expression for the derivative of the Calabi invariant of the Poincaré scattering map. Our results are applied to dispersive Hamiltonians and to Hamiltonians on the Poincaré ball.
  Jean-Philippe Michel : Opérateurs de Dirac et leurs symboles
  L'opérateur de Dirac s'est imposé comme un objet fondamental en physique comme en géométrie et en topologie. Cependant le calcul symbolique pour les opérateurs différentiels spinoriels est resté à l'état d'ébauche depuis le travail de Getzler, portant sur le théorème de l'indice. Dans cet exposé nous verrons que la donnée d'une filtration bien choisie permet d'obtenir une structure de Poisson naturelle sur la superalgèbre de leurs symboles. Cette dernière n'est rien d'autre que l'algèbre des fonctions sur une variété graduée symplectique de degré 2 que nous exhiberons. Nous présenterons alors une quantification conformément équivariante dans ce cadre, qui permet de classifier toutes les symétries de l'opérateur de Dirac sur une variété conformément plate. D'autre part, nous présenterons une extension de la quantification de Weyl qui nous permet de relier la description hamiltonienne des algébroïdes de Courant (dûe à Roytenberg) et une description par opérateurs de Dirac nilpotents (dûe à A. Alekseev et P. Xu).

• 30 novembre 2012 Damien Gayet : Soutenance de HDR

• 7 décembre 2012 Katharina Rejzner : Cohomology and functional analysis at work in renormalization of gauge theories
  In the present talk I will report on recent progress in understanding mathematical structures appearing in renormalization of gauge theories. I have shown how the Epstein-Glaser approach combined with the Batalin-Vilkovisky (BV) formalism can lead to better mathematical understanding of local symmetries in perturbative quantum field theory. This framework allows to formulate the renormalization problem in a mathematical language without manipulating ill defined expressions in the intermediate steps. The results I present can be applied to Yang-Mills theories and effective quantum gravity.

• 14 décembre 2012 Jian Qiu : Knot weight systems from curved NQ manifolds
  This talk will be about a cross-breed of two problems, one is the weight system for chord diagrams, which arise from the construction of finite type knot invariants. Another problem is the construction of characteristic classes on a Q-manifold (manifold with a nilpotent deg 1 vector field) that is curved. The main result is that we can construct weight systems for knot invariants arising from certain Q-manifolds, even when they are curved. The weight system is valued in the Q-cohomology group and the construction is independent of any non-canonical choices, such as trivializations or connections. By using the Grothendieck connection, the construction can be made very explicit.

• 21 décembre 2012 Axel de Goursac : Weyl quantization of the Heisenberg supergroup and application to QFT
  By using Kirillov's orbits method and Weyl-type quantization on the Heisenberg supergroup, we construct a non-formal deformation quantization of superspaces. We are led by the theory to introduce new notions such as Hilbert superspaces and C*-superalgebras. Then, a noncommutative superspace coming from this deformation yields an interpretation of the renormalizable quantum field theory with harmonic term on the Moyal space.

• 11 janvier 2013 Maxim Pavlov : New Class of Solutions for the WDVV equation
  we consider the class of quaslinear systems of the first order, which have: 1. local Hamiltonian structure; 2. linearly degenerate; 3. Egorov type. We describe a link to the WDVV associativity equations.

• 18 janvier 2013 : Examens de licence

• 25 janvier 2013 Michal Wrochna : Hadamard states: from the spectral theory of Klein-Gordon equations to renormalized quantum fields
  In Quantum Field Theory on curved space-time or in external electromagnetic potentials, there is in general no straightforward generalization of the Poincaré-invariant vacuum state. Instead, one considers classes of states with the same short-distance behaviour as the vacuum. Mathematically, this amounts to a condition on the wave front set of the two-point function of the state, which is by definition a bi-solution of the Klein-Gordon equation. In this talk, I will sketch these issues and report on recent constructions of Hadamard states using spectral quantities in the static case, and using pseudo-differential calculus in the asymptotically flat case (joint work with Christian Gérard).

• 1 février 2013 Elizaveta Vishnyakova : Lie supergroups and the splitting problem for complex homogeneous supermanifolds
  It is well known that the category of real Lie supergroups is equivalent to the category of the so called (real) Harish-Chandra pairs (Kostant). That means that a Lie supergroup depends only on the underlying Lie group and its Lie superalgebra with certain compatibility conditions. More precisely, the structure sheaf of a Lie supergroup and the supergroup morphisms can be explicitly described in terms of the corresponding Lie superalgebra and underlying Lie supergroup. We will give a simple proof of this result in the real and complex-analytic case. Similar idea may be used in the algebraic case.
  A supermanifold is called split if it is isomorphic to a vector bundle with a purely even base and purely odd fiber. In the smooth category, all supermanifolds are known to be split (although non-canonically). In contrast with that, complex-analytic supermanifolds are not necessarily split.
  It is well-known that any complex Lie supergroup is split. However, there are non-split complex homogeneous supermanifolds. For instance, almost all flag supermanifolds are non-split. The second question that we shall discuss is how to find out whether a given complex homogeneous supermanifold is split or non-split.

• 8 février 2013 Michael Polyak : Dimer model and permanent formulas for the Jones polynomial
  

• 15 février 2013 Pierre Martinetti : Aspect métrique du plan de Moyal en géométrie non-commutative
  On présentera des résultats récents sur la distance de Connes appliquée au plan de Moyal. Cette distance peut-être vue comme une généralisation non-commutative de la distance de Monge-Kantorovich en théorie du transport optimal. On verra que le plan de transport optimal entre un état quelconque de l'algèbre de Moyal (entendue comme une déformation non-commutative de l'algèbre des fonctions Schwartz sur le plan) et l'un quelconque de ses translatés est identique au plan de transport optimal sur le plan Euclidien R^2. Par conséquent, la distance de Connes entre un état de Moyal et son translaté n'est autre que l'amplitude de translation. En particulier, l'ensemble des états cohérents muni de la distance de Connes est isométrique au plan Euclidien. On présentera également des résultats sur la distance entre les états propres de l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique. Ce sera le point de départ pour comparer la distance en géométrie non-commutative à une autre manière d'extraire de l'information métrique d'un espace non-commutatif, à savoir via la définition d'un d'opérateur de longueur, comme dans les modèles d'espaces-temps quantiques de Doplicher-Fredenhagen-Roberts. On verra que l'équivalence entre la "longueur quantique" et la distance de Connes revient à "déquantifier" la longueur quantique, ou bien à "quantifier" la distance Connes. De manière remarquable, ces deux processus de (dé)-quantification sont équivalent, grâce à un théorème de Pythagore dans le produit du triplet spectral du plan de Moyal par le triplet spectral canonique sur C^2. Enfin, on établira en toute généralité des inégalités de Pythagore pour le produit de deux triplets spectraux unitaux quelconque.

• 22 février 2013 Pavel Kalugin : Clifford modules and symmetries of topological insulators
  We complete the classification of symmetry constraints on gapped quadratic fermion hamiltonians proposed by Kitaev. The symmetry group is supposed compact and can include arbitrary unitary or antiunitary operators in the Fock space that conserve the algebra of quadratic observables. We analyze the multiplicity spaces of real irreducible representations of unitary symmetries in the Nambu space. The joint action of intertwining operators and antiunitary symmetries provides these spaces with the structure of Clifford module: we prove a one-to-one correspondence between the ten Altland–Zirnbauer symmetry classes of fermion systems and the ten Morita equivalence classes of real and complex Clifford algebras. The antiunitary operators, which occur in seven classes, are projectively represented in the Nambu space by unitary "chiral symmetries". The space of gapped symmetric hamiltonians is homotopically equivalent to the product of classifying spaces indexed by the dual object of the group of unitary symmetries.

• 1 mars 2013 :

• 8 mars 2013 Valentin Bonzom : Two examples of field theory approaches to quantum gravity
  Quantum gravity has been very challenging for quantum field theory. In this talk, I will present two different field theory approaches, inspired by non-critical strings and loop quantum gravity. First, I will give an example of topological field theories on the lattice. It is an exactly solvable model which includes 3-dimensional quantum gravity. Then, I will move to my second example: the generalization of random matrix models, which were very successful to define 2-dimensional quantum gravity, to random tensor models. Their perturbative, Feynman expansion produces a sum over triangulations of pseudo-manifolds in dimension 3 or higher. Recent developments in the past two years show that for the first time, tensor models allow to control analytically random geometries with more than two dimensions.

• 15 mars 2013 Andrea Mantile : Conditions d'interface et modèles de transport quantiques
  En collaboration avec F.Nier et A.Faraj, nous avons montré que une simple modification du Laplacien 1D avec conditions d'interface artificielles permet une nouvelle approche à l'évolution adiabatique des résonances quantiques. Dans ce contexte 'modifié', on peut développer efficacement l'étude des modèles réduites pour la dynamique non-linéaire de Schrödinger-Poisson dans le régime des puits quantiques dans un île sémiclassique.
  Un point essentielle est le contrôle des déformations du spectre et du système dynamique introduites par les conditions d'interface. En particulière, nous sommes intéressés par des estimations uniformes-en-temps de la perturbation du semigroupe. La difficulté est liée au caractère non-autoadjoint de notre classe d'opérateurs, qui entraîne une perte d'accretivité pour le générateur de la dynamique quantique. Dans ce cas, une analyse 'perturbative' du problème permet un contrôle de l'erreur seulement pour des temps finis.
  En suivant une stratégie alternative, il est possible de définir par similitude la dynamique déformée à partir d'une dynamique quantique unitaire générée par une Hamiltonienne 'physique'. Pour des petits valeurs du paramètre de déformation ?, cela permet de développer une comparaison 'dynamique' entre les deux modèles. On montre ainsi que la distance entre les semigroupes correspondantes est dominée par |?| uniformément en temps dans la norme opérateur sur L².

• 22 mars 2013 Olivier Gabriel : Appariements de Chern-Connes et leurs applications physiques
  Dans cet exposé, nous partirons de l'effet de Hall quantique envisagé à travers la formule de Kubo. Les nombres obtenus grâce à cette formule ont la particularité d'être stables (sous des perturbations du système) et entiers. Ils correspondent physiquement à la "conductance de Hall". En nous appuyant sur le travail de J. Bellissard, nous voulons ici présenter une "traduction mathématique" de la propriété de stabilité.
  Ceci nous amènera naturellement à la notion d'appariements de Chern-Connes, que nous développerons sur le cas des variétés de Heisenberg quantiques - qui correspondent à des fibrés principaux (non-commutatifs) en cercles.
  Dans la dernière partie de l'exposé, nous présenterons les relations que ces appariements entretiennent avec la K-homologie et la KK-théorie ainsi que comment ces relations peuvent être exploités en relation avec la mécanique quantique.

• 29 mars 2013 Giuseppe De Nittis : The non-commutative topology of dirty superconductors: the "case study" of the Spin Hall effect
  The BCS theory of superconductors leads to simple lattice models, known as BdG Hamiltonians. The properties of these second-quantize Hamiltonians can be investigate just looking at their first-quantized counterparts which turn out to be matrix-valued lattice models. The physics of these operators is made more interesting by the presence of a discrete symmetries known as particle-hole (PH). According to the parity of the PH-symmetry and to the presence of additional symmetries (spin-rotation, time-reversal, etc.), the (first-quantized) BdG Hamiltonians are classified in classes which are parametrized by topological invariants.
  Albeit the physics of these models is well understood in the pure periodic case, a systematic study in the presence of disorder seems to be still missing. One of the main features of the physics of the BdG Hamiltonians is the presence of topological protected states which allow quantized bulk-currents (spin, thermal, etc) et related edge-currents. Such topological quantities have to persist also in the presence of (at least weak) disorder. The aim of this talk is to present first results in this directions.
  As explained by Bellissard et co-workers during the 80's-90's, the natural setting to combine differential topology and randomness is the non-commutative geometry. In this talk I will present the non-commutative (differential) topology associated to dirty BdG Hamiltonians. The PH-symmetry adds to the usual algebraic structure and provides a natural notion of "Reality" (à la Atiyah) which enters in the definitions of the relevant geometric objects. These general results will be tested on the case study of the C-type BdG Hamiltonians in order to provide a non-commutative explanation of the spin quantum Hall effect both in the bulk and on the edge.

• 5 avril 2013 Nikolay Nikolov : Callan-Symanzik Equation and Residues for Feynman Amplitudes
  I will consider a generalization of the Callan-Symanzik equation as a Maurer-Cartan equation for the renormalization group. The approach is based on renormalization of Feynman amplitudes in configuration space. The solution of this equation gives a general notion of a residue of Feynman amplitudes.
  Tiago Dinis da Fonseca : L'état fondamental de la chaîne de spins XXZ et l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov
  Les solutions exactes sont assez rares en Physique Statistique, mais elles nous permettent de mieux comprendre notre monde même si parfois on est obligé à sur-simplifier les modèles afin d'être capables de les résoudre.
  Un des modèles les plus intéressants et étudiés est la chaîne de spins de Heisenberg XXZ. Elle est à l'origine de plusieurs avancés mathématiques et physiques du dernier siècle. Dans cet exposé, je m'intéresse à la version multivariables de ce modèle et surtout au calcul de son état fondamental en utilisant l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov. L'exposé comprend deux parties : d'abord je présente le cas plus simple, spin 1/2, dont la solution était déjà connue ; et en suite, je généralise pour spin quelconque.

• 12 avril 2013 Sara Azzali : Invariants eta et rho d'opérateurs de Dirac, et courbure scalaire strictement positive
  Le théorème de l'indice de Atiyah--Patodi--Singer et les invariants eta pour opérateurs de Dirac peuvent être employés pour distinguer un nombre infini de "différents" métriques à courbure scalaire strictement positive sur une variété spin.
  On va d'abord rappeler la définition de l'invariant eta d’un opérateur différentiel elliptique autoadjoint, sa valeur d'asymétrie spectrale de l’opérateur, et son rôle dans le théorème de l'indice pour variétés à bord.
  Ensuite on montrera comment les invariants eta (et rho) sont employés pour étudier l'espace des métriques à courbure scalaire strictement positive sur une variété spin (résultats classiques dus a Gromov--Lawson, Botvinnik--Gilkey, Leichtnam--Piazza et Piazza--Schick).
  On donnera un nouveau résultat pour certains groupes fondamentaux de type produit, en utilisant un théorème de l'indice que nous démontrons pour opérateurs sur le revêtement qui sont invariants par une action projective du groupe fondamental. (Travail en commun avec Charlotte Wahl).

• 19 avril 2013 Frank Thuillier : From celestial orbits to abelian link invariants
  La relation qui existe entre la théorie de Chern-Simons et les invariants de nœuds ou de liens est maintenant notoire. Elle s’expose habituellement dans le cadre de la Théorie Quantique des Champs dans R3. Nous allons présenter une approche différente de la théorie de Chern-Simons à groupe de jauge U(1), basée sur la cohomologie de Deligne-Beilinson.
  Nous commencerons par rappeler, d’une manière quasi épistémologique, ce que sont le nombre d’enlacement de Gauss, la fibration de Hopf, l’hélicité de Whitehead et la forme de Chern-Simons, en insistant sur leurs liens. Ceci nous amènera à la cohomologie de Deligne-Beilinson dont nous exposerons les points essentiels. Enfin nous montrerons comment cette cohomologie permet, de manière simple et élégante, de retrouver un grand nombre de résultats mathématiques liés aux invariants de nœuds et de liens sur une variété fermée de dimension 3. Nous évoquerons pour conclure les possibles extensions de cette approche.

• 26 avril 2013 Aristide Baratin : Combinatorial methods for quantum gravity
  Spin foam models aim at a combinatorial construction of a functional integral for quantum gravity. A central question in this framework is how to incorporate, or to recover in a suitable regime, the diffeomorphism symmetry of the classical theory.
  In this talk, I will present some recent results in two complementary approaches to this problem:
  (i) the state sum approach, which provides a technical tool to construct diffeomorphism-invariant quantum field theories on 4- manifolds using techniques of higher category theory;
  (ii) the group field theory approach, where diffeomorphism invariance is recovered as a result of summing over all triangulations by means of auxiliary quantum field theories generalizing matrix models to higher dimensions.

• 17 mai 2013 Cédric Fournel : Yang-Mills-Higgs theories on transitive Lie algebroids
  In the formalism of the differential geometry, the gauge bosons of the field theory are associated to a connection on a principal bundle and the field strength tensors F_{\mu\nu} are associated to the curvature of this connection. However, the elements required by the so-called Higgs mechanism (scalar field embedded into a potential), which give mass to the gauge bosons, do not come from the geometry of connections on fiber bundle.
  The transitive Lie algebroids extend the ordinary differential geometry. They allow to define the space of the generalized connections which contain ordinary connections as a subset.
  In this seminar, I will show you how the generalized connections defined on transitive Lie algebroids allow to built a gauge invariant action functional of Yang-Mills-Higgs type.

• 24 mai 2013 Jeremy Faupin : Estimations de la vitesse de propagation des photons en QED non relativiste
  On étudie la vitesse de propagation des photons émis par un atome dans le modèle standard de l'électrodynamique quantique non relativiste. Dans un premier temps, nous expliquerons la méthode des observables de propagation pour un modèle jouet décrivant un photon placé dans un potentiel extérieur (opérateur de Schrödinger relativiste). Notre objectif sera ensuite de justifier qu'en QED non relativiste, les photons se propagent asymptotiquement à la vitesse de la lumière. Nous montrerons enfin comment les estimations de propagation permettent de prouver la complétude asymptotique pour le modèle spin-bosons.
  Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec J.-F. Bony et I.M. Sigal.

• 31 mai 2013 :

• 7 juin 2013 Hans-Christian Herbig : The Hilbert series of the algebra of regular functions on a linear symplectic quotient
  

• 14 juin 2013 Vladimir Sokolov : Integrable differential equations with matrix variables
  We consider first the Korteweg-de Vries equations both for scalar and matrix-valued functions. We stress the role of bi-Hamiltonian structures for an integrability of these models. We describe also some bi-Hamiltonian systems related to matrix or more generally to unital associative algebras. The importance of trace Poisson brackets on representation spaces of the algebras is discussed.

• 21 juin 2013 :

• 28 juin 2013 :