Algèbre V : Groupes et actions de groupes
Cours
1er cours. Relation d'équivalence. Exemple : l'anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) de congruence modulo \(n\). Définitions d'un semigroupe, un monoide et un groupe. Exemples : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\ast\), \(GL(n,\mathbb{R})\), \(SL(n,\mathbb{R})\), le groupe symétrique \(S_X\) d'un ensemble X, etc. Proposition : Un semigroupe G est un groupe ssi les équations \(ax = b\) et \(xa = b\) sont résolubles pour tous \(a, b \in G\).
2ème cours. Sous-groupes, classes à gauche et classes à droite. Théorème de Lagrange. Définition d'un sous-groupe distingué. Définition du sous-groupe engendré par un sous ensemble de \(G\), de l'ordre d'un élément, des groupes cycliques et groupes monogènes. Propriétés de l'ordre d'un élément.
3ème cours. Sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Homomorphismes de groupes. Théorème de Cayley : tout groupe d'ordre \(n\) est un sous-groupe de \(S_n\). Groupes quotients. Théorème de factorisation des homomorphismes.
4ème cours. Description des groupes cycliques et monogènes et de leurs sous-groupes. Théorèmes d'isomorphisme : \((G/K)/(H/K) \simeq G/H\) et \(KH/H \simeq K/(K \cap H)\). Produits directs. Définition de l'action de groupe.
5ème cours. Stabilisateur et orbite d'un point sous une action de groupe ; premières propriétés et exemples. Produit semi-direct : 1) action d'un groupe sur le groupe des automorphismes d'un autre groupe ; 2) sous-groupes \(M\) et \(N\) d'un groupe \(G\) tels que \(G = MN\), \(M \cap N = \{e\}\) et \(N \triangleleft G\). Formule des classes.
6ème cours. Formule des classes. Centre d'un \(p\)-groupe. Formule de Burnside sur le nombre d'orbites. Généralités sur le groupe symétrique \(S_n\).
7ème cours. Simplicité de \(A_n\) pour \(n \geq 5\). Premier théorème de Sylow : tout groupe fini admet un \(p\)-groupe de Sylow pour tout premier \(p\).
8ème cours. Théorèmes de Sylow : tout \(p\)-groupe est contenu dans un \(p\)-Sylow ; les \(p\)-Sylow sont conjugués ; les nombres \(n_p\) de \(p\)-Sylow vérifient \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\) et \(n_p \mid m\) où \(|G| = p^k m\) avec \(k \geq 0\) et \(p \nmid m\). Relations entre les \(p\)-Sylow d'un groupe, de ses sous-groupes et de ses groupes quotients.
9ème cours. Définition du groupe orthogonal réel \(O(n)\) : groupe des matrices \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telles que \(A {}^t A = I_n\) ou groupe des transformations linéaires de \(\mathbb{R}^n\) qui sont des isométries. Théorème : \(g\) isométrie de \(\mathbb{R}^n\) alors \(g = t \circ f\) avec \(t\) translation et \(f \in O(n)\). Théorème : Les éléments de \(SO(2)\) sont les rotations autour de l'origine et les éléments de \(O(2) \setminus SO(2)\) sont les réflexions d'axe passant par l'origine.
TD
1ère fiche. Premiers exemples de groupes ; propriétés de base des groupes.
2ème fiche. Actions de groupe.
3ème fiche. Formule de Burnside. Produits semi-direct.
4ème fiche (part 1). Théorèmes de Sylow et groupes simples.
4ème fiche (part 2). Théorèmes de Sylow et groupes simples.

X.-F. Roblot Dernière modification : 27 February 2017, 10:03