Analyse et Convergence 2, L2, Math-Info et Math-Physique, Orsay

Un cours d'analyse en L2 qui porte surtout sur la convergence simple et uniforme de fonctions, les série des fonctions, jusqu'au séries de Fourier.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 12 séances de CM, le mercredi matin de 8h30 à 10h15 en salle B221, bât 470. Attention aux interruptions (vacances, partiels, absences...)
TD: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Pascal Gamblin et Bernard Heron pour les L2 MI (lundi à 8h30) et Jean-Maxime Orlac'h pour les L2 MP (mercredi à 10h30). Les séances de TD sont 12 aussi.
Modalités d'évaluation: examen + partiel + contrôle continu. Le contrôle continu se base sur des tests fait en classe, ainsi que sur la participation. La régularité dans les devoirs maisons est prise en compte dans la participation,alors que leur note est seulement indicative.
Secrétariat: Mme Oliva Carter (MI), Mme Caroline Bois (MP).

Annonces
Il y a eu une consultation des copies du partiel du 11 mars le vendredi 27/3, à 12h30, salle 133 bâtiment 336.

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 12 séances, organisées plus ou moins comme ça :
  • 1) (21/1) Rappels de convergence, notion de suite de fonctions, convergence simple et uniforme
  • 2) (28/1) Exemples de convergence simple vs uniforme, propriétés qui passent à la limite: continuité, valeur de l'intégrale, dérivabilité (dans le cas d'une limite de fonctions C1).
  • 3) (4/2) À nouveau sur la dérivabilité d'une limite de fonctions. Critère de Cauchy pour la convergence uniforme. Introduction aux ééries de fonctions (rappels de convergence de séries, convergence normale).
  • 4) (11/2) Propriétés des séries uniformement convergentes ; exemple de la fonction exponetielle approchée comme série ; séries entières, rayon de convergence (avec formule par limite ou limsup).
  • 5) (18/2, cours donné par B. Héron) Dérivées et primitives des séries entières, exemples.
    • Attention : pas de cours le 25/2 (vacances), ni le 4/3 (absence), ni le 11/3 (partiel)
  • 6) (18/3) Rappels sur la continuité uniforme ; intégrales dépendant d'un paramètre : continuité et dérivabilité. Cas des intégrales généralisées.
  • 7) (25/3) Convergence normale d'intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. Exemple. Introduction aux séries de Fourier.
  • 8) (1/4) Séries et coefficients de Fourier. Expressions trigonométrique et exponentielle. Les coefficients cn tendent vers 0 et sont suffisants pour identifier une fonction.
  • 9) (8/4) Conclusion de la preuve de cn(f)=cn(g)=>f=g. Décroissance des coefficients cn(f) pour f régulière. Convergence unforme des sommes partielles pour f C2. Théorème de Dirichlet: convergence simple vers (f(x+)+f(x-))/2 si f est C1 par morceaux.
  • 10) (15/4) Méthodes hilbertiennes pour les séries de Fourier: produti scalaire et norme L2, projection orthogonale, inégalité de Bessel et identité de Parseval.
    • Attention : pas de cours le 22/4 (semaine de revision), ni le 29/4 (vacances).
  • 11) (6/5) Exercices sur les séries de Fourier.
    • Attention : le dernier cours aura lieu le 6/5 après-midi pour le groupe PM et le 13/5 pour le groupe MI.
  • 12) (6/5 ou 13/5) Exercices et revision.

    • Poly et feuilles d'exercices

    Pour le cours, je suivrai plus ou moins les notes relatives aux cours des ans derniers. Le poly sera mis en ligne et distribué prochainement, au fur et à mesure de l'avancement du cours.

    Chapîtres 1 et 2 du poly : convergence simple et uniforme.

    Chapîtres 3 et 4 du poly : séries de fonctions et intégrales dépendant d'un paramètre..

    Chapîtres 5 et 6 du poly : séries de Fourier..

    Feuilles de TD
    Feuille 1
    Feuille 2
    Feuille 3
    Feuille 4
    Feuille 5

    Annales

    Attention : le prof chargé de ce cours n'était pas le même en 2013/14 ; regarder les sujets des années précédentes est très utile, mais on ne garantit pas que les sujets de cette année suivront le même format.

    Partiel de 2011 avec Corrigé
    Partiel de 2012 avec Corrigé
    Partiel de 2014 avec Corrigé
    Partiel du 11/3/2015 avec Corrigé

    Examen de 2012
    Examen de 2013
    Examen de 2014
    Examen de 2014 (rattrapage)