Calcul Différentiel et Analyse Complexe, L3 Maths, Lyon

Un cours d'analyse en L3 sur les fonctions de plusieurs variables réelles, à valeur dans l'espace euclidien, avec une attention particulière au cas complexe dans la deuxième partie du cours.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 12 séances de CM, en général le maredi matin de 9h45 à 13h (la première semaine on a aussi le mercredi matin). Attention aux interruptions (vacances, absences...)
TD: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Rouchdi Bahloul, Alessandra Frabetti et Dragos Iftime. En règle générale il y a deux séances de TD par semaine, de 9h45 à 13h et de 14h à 15h30 les mercredis. Les TD commencent le 29/1. Attention, les TD du 15 et du 22 avril ne dureront que 3h (9h45-13h avec pause) et on fera une dernière séance le 5 mai (9h45-13h aussi).
Modalités d'évaluation deux contrôles de 45' (15% chacun de la note) dont un par QCM en ligne, un partiel de 1h30 (30% de la note, en ligne), épreuve terminale (3h en première session, 2h en deuxième, 40% de la note, en ligne). Dates des épreuves après les changements dus à l'enseignement à distance: 19/2 à 8h30, 22/4, 6/5, examen final à fixer.
Sénces supplémentaires: le plan de soutien en L3 (plan réussite licence) nous permet d'avoir des séances supplémentaires de durée variable, qu'on utilisera de manière mixte : soutien et épreuves. Le 19/2 à 8h30 : premier contrôle ; le 26/2 à 16h: soutien sur le cours ; les autres séances sont annulées (on fera p-e un examen blanc avec correction, à confirmer).

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 12 séances, organisées plus ou moins comme cela (les détails sur les dernières séances seront mis à jour au four et à mesure) :
  • 1) (21/1) Différentiabilité
    Rappels de limites et continuité, définition de différentiabilité, relation avec dérivées directionnelles et partielles. Notion de fonctions Ck.
  • 2) (22/1) Propriété de la différentielle et de la Hessienne
    Preuve de la différentiabilité quand les dérivées partielles sont continues. Différentiabilité de la fonction inverse. Théorème et inégalité des accroissements finis. Dérivées d'ordre supérieur : théorème de Schwarz.
  • 3) (28/1) Inversibilité et difféomorphismes
    On a commencé par la fin des DL2, et puis par un résumé des adaptation à la dimension infinie, avec des exemples. Ensuite: théorème des contractions. Difféomorphismes et inversibilité locale ; théorème des fonctions implicites.
    • Attention : pas de cours le 4/2 (absence).
  • 4) (11/2) Courbes dans le plan et dans l'espace.
    • Notions de courbe régulière et birégulière, tangente, longueur, courbure, torsion.
  • 5) (18/2) Séries entières.
    • D'abord encore un peu de courbes: courbes définies par des graphes ou des équations, géodésiques. Puis rayon de convergence et opération avec les séries entières.
  • 6) (25/2) Analyse complexe - Fonctions holomorphes.
    • Attention : pas de cours le 3/3 (vacances).
  • 7) (10/3) Analyse complexe - Intégration.
    • Intégration sur les chemins, indice, théorème de Goursat, primitives.

    Attention : à partir du cours du 17/3 on continue à distance

  • 8) (17/3) Analyse complexe - Analyticité.
    • Formule de Cauchy, analyticité des fonctions holomorphes, théorèmes de Liouville, D'Alembert et Morera
  • 9) (24/3) Analyse complexe .
    • Zéros isolés, prolongement analytique. Principe du Maximum. Séries de Laurent/
  • 10) (31/3) Analyse complexe - Résidus et pôles.
    • Singularités isolées. Définition et théorème des résidus. Applications aux intégrales.
  • 11) (7/4) Analyse complexe - Zéros, injectivité, surjéctivité, difféomorphsimes.
    • Comptage des zéros par la formule des résidus de f'/f ; théorème de Rouché ; théorème de l'application ouverte ; applications et difféomorphismes de la boule unité vers elle-même.
  • 12) (14/4) Analyse complexe - Théorème de l'application conforme de Riemann.

    • Poly, feuilles d'exercices, annales et sujet blanc

    Pour le cours, je suivrai plus ou moins les notes de cours de 2017/18, de Dragos Iftimie, que l'on trouve ici. Ces notes seront complétées par des références et d'éventuels documents supplémentaires.

    Feuilles de TD
    Feuille 1
    Feuille 2
    Feuille 3
    Feuille 4
    Feuille 5
    Feuille 6
    Feuille 7
    Feuille 8
    Feuille 9
    Feuille 10
    Feuille 11
    Feuille 12

    Annales et sujets d'examen

    Sujet du partiel de mars 2019: Sujet et corrigé.
    Sujet d'examen blanc de 2019: Sujet.
    Sujet et corrigé de l'examen du 22 mai 2019 : ici.
    Sujet de l'examen de 2e session 2019 : ici, puis avec corrigé.
    Sujet et corrigé du QCM du 22 avril 2020 : ici.
    Sujet du partiel du 6 mai 2020 : ici, et ici avec corrigé.
    Examen blanc 2020 : à regarder avant dimanche 17 mai. Voici le corrigé.
    Sujet de l'examen du 20 mai 2020 : ici, puis avec corrigé.
    Sujet de l'examen de deuxième chance du 24 juin 2020 : ici et avec corrigé.

    Références cours par cours

    On peut trouver beaucoup de preuves de calcul différentiel dans ce poly de Julien Melleray, chapitre 5.

    1er cours : nous avons essentiellement fait jusqu'à la page 5 du poly de DI, et la proposition 1.12. Attention: on s'st directement mis en dimension finie. Réf pour les preuves: poly de JM, Section 5.3 (les sections 5.1 et 5.2 sont des rappels qu'on a rapidement vus aussi).

    2e cours : on est maintenant arrivés jusqu'à la page 7 du poly de DI, mais en plus on a parlé de dérivées secondes. Réf pour les preuves: pour le théorème qui dit que si les dérivées partielles sont continues alors la fonction est différentiable, voir le Théorème 5.34 du poly de JM ; pour les théorème de Schwarz (symétrie de la Hessienne), Théorème 5.38 du même poly. Pour l'inégalité des accroissements finis et les DL2, voir ce document (mais on n'a pas encore traité en détails les DL2).

    3e cours : on est maintenant arrivés au théorème 1.27 du poly de DI. Pour les preuves (pas identiques à celles faites en cours mais presque) on peut regarder les sections 5.6 à 5.9 du poly de JM.

    4e cours : on est maintenant arrivés à la section 2.3 du poly de DI. Pour les preuves regarder ce document.


    On peut trouver beaucoup de preuves d'analyse complexe dans ce poly de Guillaume Carlier.

    5e cours: on est maintenant arrivés à la fin de la section 3 du poly de DI. Pour des détails concernant les courbes définies par des équations ou des graphes et pour les géodésiques sur la sphère voir ce document. Pour les séries entières, voir les sections 2.1, 2.2 et 2.3 du poly de GC.

    6e cours: on est maintenant arrivés environ à la page 15 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir les sections 2.3, 2.5, 4.1 et 4.3 du poly de GC.

    7e cours: on est maintenant arrivés au théorème 4.25 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir la section 4.4 du poly de GC.

    8e cours: on est maintenant arrivésà la proposition 4.38 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir la section 4.5 du poly de GC. Pour être plus précis, regardez ici une version commentée du poly de DI avec les détails sur les preuves ou les références.

    9e cours: on est maintenant au Théorème 4.47 du poly de DI. Pour des références sur les preuves (Chaptires 3 et 5 du poly de GC), voir ici une version commentée et mise à jour du poly de DI. Pour le principe du maximum, voir ce document

    10e cours: on est maintenant à la section 4.12.1 du poly de DI. Pour les preuves, voir les section 5.2 à 5.4 du poly de GC, mais également voir ici une version commentée et mise à jour du poly de DI. Pour la classification des singularités isolées, voir ce document

    11e cours: on a maintenant fini la section 4.12 du poly de DI (et vue des points de la section 4.13: les théorèmes/lemmes 4.60, 4.61 et 4.62). Pour les preuves, voir ce poly de Karim Bekka ainsi que ce poly de Joel Merker (ou François de Marçay). Voir aussi ici pour les détails précis (où trouver chaque preuve).

    12e cours: c'est fini ! le poly de DI a été compété Pour les preuves, voir ce poly de Joel Merker (ou François de Marçay). Voir aussi ici pour les détails précis (où trouver chaque preuve).

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