Calcul Différentiel et Analyse Complexe, L3 Maths, Lyon

Un cours d'analyse en L3 sur les fonctions de plusieurs variables réelles, à valeur dans l'espace euclidien, avec une attention particulière au cas complexe dans la deuxième partie du cours.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 12 séances de CM, en général le maredi matin de 9h45 à 13h (la première semaine on a aussi le jeudi matin). Attention aux interruptions (vacances, jours banalisés, absences...)
TD: trois groupes de TD. Les chargés de TD sontRouchdi Bahloul, Nguyen-Viet Dang et Alessandra Frabetti. En règle générale il y a deux séances de TD par semaine, une de 14h à 15h30 le mercredi et une de 9h45 à 13h le jeudi matin. Les TD commencent le 30/1.
Modalités d'évaluation:50% contrôle terminal + 50% contrôle continu. Le contrôle continu se compose d'un partiel et d'épreuves en TD.
Sénces supplémentaires: le plan de soutien en L3 nous permet d'avoir 3 séances supplémentaires de 2h chacune, qui auront lieu les mercredis 27/2, 20/3 et 24/4, de 16h15 à 18h15. Celle de février sera un soutien sur la théorie (réponse aux questions sur le cours) ; dans celle de mars on fera le partiel ; celle d'avril sera un soutien sur les exercices (correction d'un examen blanc qui sera diffusé une dizaine de jours avant).

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 12 séances, organisées plus ou moins comme cela (les détails sur les dernières séances seront mis à jour au four et à mesure) :
  • 1) (22/1) Différentiabilité
    Rappels de limites et continuité, définition de différentiabilité, relation avec dérivées directionnelles et partielles. Notion de fonctions Ck.
  • 2) (24/1) Propriété de la différentielle et de la Hessienne
    Théorème et inégalité des accroissements finis ; preuve de la différentiabilité quand les dérivées partielles sont continues. Dérivées d'ordre supérieur : théorème de Schwarz et DL2.
  • 3) (28/1) Inversibilité et difféomorphismes
    Théorème des contractions. Difféomorphismes et inversibilité locale ; théorème des fonctions implicites.
  • 4) (5/2) Courbes dans le plan et dans l'espace.
  • Rappels sur les fonctions implicites. Notions de courbe régulière et birégulière, tangente, longueur, courbure, torsion.
  • 5) (12/2) Séries entières.
  • D'abord encore un peu de courbes: courbes définies par des graphes ou des équations, géodésiques. Puis rayon de convergence et opération avec les séries entières. Attention : pas de cours le 19/2 (vacances).
  • 6) (26/2) Analyse complexe - Fonctions holomorphes.
  • Définitions de dérivabilité complexe et fonctions holomorphes. Comportement holomorphe des séries entières. Exponentiel et logarithme.
  • 7) (5/3) Analyse complexe - Intégration.
  • Intégration sur les chemins, indice, théorème de Goursat, primitives. Attention : pas de cours le 12/3 (jurnée banalisée).
  • 8) (19/3) Analyse complexe - Analyticité.
  • Formule de Cauchy, analyticité des fonctions holomorphes, théorèmes de Liouville, D'Alembert et Morera. Attention : pas de cours le 26/3 (absence).
  • 9) (2/4) Analyse complexe .
  • Zéros isolés, prolongement analytique. Principe du Maximum. Séries de Laurent.
  • 10) (9/4) Analyse complexe - Résidus et pôles.
  • Singularités isolées. Définition et théorème des résidus. Applications aux intégrales.
    Attention : pas de cours le 16/4 (vacances).
  • 11) (23/4) Analyse complexe - Zéros, injectivité, surjéctivité, difféomorphsimes.
  • Comptage des zéros par la formule des résidus de f'/f ; théorème de Rouché ; théorème de l'application ouverte ; applications et difféomorphismes de la boule unité vers elle-même.
  • 12) (30/4) Analyse complexe - Théorème de l'application conforme de Riemann.
  • Notion de domaine simplement connexe. Méthode variationnelle pour "remplir" la boule unité. Convergence uniforme de fonctions holomorphes, Théorèem de Montel, injectivité.

    Poly, feuilles d'exercices, sujet blanc

    Pour le cours, je suivrai plus ou moins les notes de cours de 2017/18, de Dragos Iftimie, que l'on trouve ici. Ces notes seront complétées par des références et d'éventuels documents supplémentaires.

    Feuilles de TD
    (disponibles après les TD correspondants)
    Feuille 1
    Feuille 2
    Feuille 3
    Feuille 4
    Feuille 5
    Feuille 6
    Feuille 7
    Feuille 8
    Feuille 9
    Feuille 10
    Feuille 11

    Sujet d'examen blanc: à faire à la maison (DM) avant le 24/4. Ce n'est pas obligatoire, mais conseillé. Il a été corrigé le 24/4 dans la séance de soutien. Sujet.

    Références cours par cours

    On peut trouver beaucoup de preuves de calcul différentiel dans ce poly de Julien Melleray, chapitre 5.

    1er cours : nous avons essentiellement fait jusqu'à la page 5 du poly de DI, et la proposition 1.12. Attention: on s'st directement mis en dimension finie. Réf pour les preuves: poly de JM, Section 5.3 (les sections 5.1 et 5.2 sont des rappels qu'on a rapidement vus aussi).

    2e cours : on est maintenant arrivés jusqu'à la page 7 du poly de DI, mais en plus on a parlé de dérivées secondes. Réf pour les preuves: pour le théorème qui dit que si les dérivées partielles sont continues alors la fonction est différentiable, voir le Théorème 5.34 du poly de JM ; pour les théorème de Schwarz (symétrie de la Hessienne), Théorème 5.38 du même poly. Pour l'inégalité des accroissements finis et les DL2, voir ce document.

    3e cours : on est maintenant arrivés au théorème 1.27 du poly de DI. Pour les preuves (pas identiques à celles faites en cours mais presque) on peut regarder les sections 5.6 à 5.9 du poly de JM.

    4e cours : on est maintenant arrivés à la section 2.3 du poly de DI. Pour les preuves regarder ce document.


    On peut trouver beaucoup de preuves d'analyse complexe dans ce poly de Guillaume Carlier.

    5e cours: on est maintenant arrivés à la fin de la section 3 du poly de DI. Pour des détails concernant les courbes définies par des équations ou des graphes et pour les géodésiques sur la sphère voir ce document. Pour les séries entières, voir les sections 2.1, 2.2 et 2.3 du poly de GC.

    6e cours: on est maintenant arrivés environ à la page 15 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir les sections 2.3, 2.5, 4.1 et 4.3 du poly de GC.

    7e cours: on est maintenant arrivés au théorème 4.25 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir la section 4.4 du poly de GC.

    8e cours: on est maintenant arrivésà la proposition 4.38 du poly de DI. Pour les preuves et plus de détails, voir la section 4.5 du poly de GC.

    9e cours: on est maintenant au Théorème 4.47 du poly de DI. Pour les preuves de la partie sur les séries de Laurent, voir la section 5.1 du poly de GC. Pour le principe du maximum, voir ce document

    10e cours: on est maintenant à la section 4.12.1 du poly de DI. Pour les preuves, voir les section 5. à 5.4 du poly de GC.

    11e cours: on a maintenant fini la section 4.12 du poly de DI (et vue des points de la section 4.13). Pour les preuves, voir ce poly de Karim Bekka.

    12e cours: c'est fini ! le poly de DI a été compété Pour les preuves, voir ce poly de Joel Merker (ou François de Marçay).