Calcul Différentiel, Courbes et Surfaces, L3 Maths, Lyon

Un cours d'analyse en L3 sur l'utilisation d'outils différentiels dans l'étude de fonctions de plusieurs variables réelles, d'objets géométriqus comme les courbes et les surfaces, et de problèmes d'optimisation.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 8 séances de CM, en général le vendredi matin de 9h45 à 13h (la première semaine on a aussi le lundi 15 après-midi). Attention aux interruptions (vacances, absences...)
TD: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Aymeric Baradat, Louis Dupaigne et Dragos Iftime. En règle générale il y a une séance de TD par semaine, le lundi de 14h à 17h15. Les TD commencent le 22/1.
Modalités d'évaluation un partiel (CP, 2h) le 8 mars + un examen terminal (CT2h). Note finale: max(CT,(CT+CP)/2).

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 8 séances, organisées plus ou moins comme cela :
  • 1) (15/1) Différentiabilité
    Définition de différentiabilité, relation avec dérivées directionnelles et partielles. Différentiabilité quand les dérivées partielles sont continues. Notion de fonctions C1 et Ck.
  • 2) (19/1) Inégalité des accroissements finis et différentiabilité d'ordre supérieur.
    Théorème et inégalité des accroissements finis. Dérivées d'ordre supérieur. théorème de Schwarz. DL d'ordre 2 des fonctions de plusieurs variables et classification des points critiques. DL d'ordre supérieur.
  • 3) (26/1) Inversibilité, difféomorphismes, théorème d'inversion locale et globale. Théorème des fonctions implicites
    Différentiabilité de l'inverse. L'ensemble des homéomorphismes est un ouvert dans l'espace des applications linéaires continues et la reciproque est continue. Rappel sur le théorème des contractions. Difféomorphismes et inversibilité locale. Injectivité et inversion globale. Théorème des fonctions implicites.
  • 4) (2/2) Courbes et surfaces parametrées et implicites.
    Préliminaires sur les courbes et les surfaces en passant d'une description explicite à une description parametrée. Définitions, vecteurs et espaces tangents. Notions de courbes et surfaces régulières. Exemples. Longueur d'une courbe parametrée.

    Pas de CM les 9 et 16 février.

  • 5) (23/2) Notions sur les courbes parametrées.
    Paramétrisation par longueur d'arc, courbure, torsion. Géodésiques sur la sphère.


    • Pas de CM le 8 mars : partiel

  • 6) (15/3) Optimisation sous contraintes : extrema liés .
    Introduction à l'existence des minima ; multiplicateurs de Lageange et conditions d'ordre 2. Application à la diagonlisation des matrices symétriques.
  • 7) (22/3) Algorithmes itératifs pour l'optimisation.
    Convexité. Gradient à pas fixe et algorithme de Newton.


    • Pas de CM le 29 mars (remplacé par des TD pour rattraper le lundi de Pâques).

  • 8) (5/4) Notions sur les surfaces dans l'espace R3.
    Rappels sur espace tangent et vecteur normal. Gédoésiques dans des surfaces données sous forme implicite. Formes fondamentales.

    • Documents de cours

    Voiri ci pour le poly (sans preuves), mis à jour après la fin des cours.

    Feuilles de TD
    Voici les premières feuilles de TD
    TD1
    TD2
    TD3
    TD4
    TD5
    TD6
    TD7
    TD8
    TD9
    TD10
    TD11
    TD12


    Partiel
    Sujet du partiel de 2024 avec corrigé
    Sujet de l'examen final de 2024 avec corrigé
    Sujet de l'examen final de 2e session de 2024 avec corrigé


    Annales
    Sujet du partiel de 2023 avec corrigé
    Sujet de l'examen de 2023 avec corrigé
    Sujet de l'examen de 2e session de 2023 avec corrigé

    Références supplémentaires

    On peut, par exemple, trouver beaucoup de preuves de calcul différentiel dans ce poly de Julien Melleray, chapitre 5.