Calcul Différentiel, Courbes et Surfaces, L3 Maths, Lyon

Un cours d'analyse en L3 sur l'utilisation d'outils différentiels dans l'étude de fonctions de plusieurs variables réelles, d'objets géométriqus comme les courbes et les surfaces, et de problèmes d'optimisation.

Structure du cours et informations pratiques

CM: il y aura 8 séances de CM, en général le vendredi matin de 9h45 à 13h (la première semaine on a aussi le lundi 16 matin). Attention aux interruptions (vacances, absences...)
TD: trois groupes de TD. Les chargés de TD sont Aymeric Baradat, Alexandre Lanar et Dragos Iftime. En règle générale il y a une séance de TD par semaine, le lundi de 14h à 17h15. Les TD commencent le 23/1.
Modalités d'évaluation un partiel (CP, 2h) le 24 mars + un examen terminal (CT2h). Note finale: max(CT,(CT+CP)/2).

Programme des cours et calendrier

Le cours consiste en 8 séances, organisées plus ou moins comme cela :
  • 1) (16/1) Différentiabilité
    Définition de différentiabilité, relation avec dérivées directionnelles et partielles. Différentiabilité quand les dérivées partielles sont continues. Notion de fonctions C1 et Ck.
  • 2) (20/1) Inégalité des accroissements finis et différentiabilité d'ordre supérieur.
    Théorème et inégalité des accroissements finis. Dérivées d'ordre supérieur. théorème de Schwarz. DL d'ordre 2 des fonctions de plusieurs variables et classification des points critiques. DL d'ordre supérieur.
  • 3) (27/1) Inversibilité, difféomorphismes, théorème d'inversion locale et globale.
    Différentiabilité de l'inverse. L'ensemble des homéomorphismes est un ouvert dans l'espace des applications linéaires continues et la reciproque est continue. Rappel sur le théorème des contractions. Difféomorphismes et inversibilité locale. Injectivité et inversion globale.
  • 4) (3/2) Courbes et surfaces parametrées et implicites.
    Théorème des fonctions implicites. Préliminaires sur les courbes et les surfaces en passant d'une description explicite à une description parametrée. Vecteurs et espaces tangents.
  • 5) (10/2) Notions sur les courbes parametrées.
    Longueur, tangente, courbure, torsion. Géodésiques sur la sphère.
    • Attention : pas de CM le 17/2 (vacances) ni le 24/2.
  • 6) (3/3) Notions sur les surfaces dans l'espace R3.
    Espace tangent, vecteur normal, formes fondamentales, géodésiques.
    • Attention : pas de CM le 10/3 ni le 17/3. Le 24/3 aura lieu le CP.
  • 7) (31/3) Optimisation sous contraintes : extrema liés .
    Introduction à l'existence des minima ; multiplicateurs de Lageange et conditions d'ordre 2.
  • 8) (7/4) Algorithmes itératifs pour l'optimisation.
    Convexité. Gradient à pas fixe et algorithme de Newton.

    • Documents de cours

    Voiri ci pour le poly (sans preuves), mis à jour après la fin du cours.

    Feuilles de TD
    Voici les premières feuilles de TD
    TD1
    TD2
    TD3
    TD4
    TD5
    TD6
    TD7
    TD8
    TD9
    TD10
    TD11
    TD12


    Sujet du partiel du 24 mars avec corrigé
    Sujet de l'examen du 22 mai avec corrigé
    Sujet de l'examen de 2e session du 4 juillet avec corrigé

    Références supplémentaires

    On peut, par exemple, trouver beaucoup de preuves de calcul différentiel dans ce poly de Julien Melleray, chapitre 5.