Calcolo delle Variazioni

Corso della Laurea Magistrale in Matematica, Université di Pavia

Informazioni Pratiche

Durata: 48h (6 ECTS)
Orario: 14h-16h, il giovedì e il venerdì a partire dal 7/3.
Dove: aula E9.
Esami:orali.
Lingua: il corso si tiene in italiano
Prerequisiti: un po' di analisi funzionale.

Programma

Il corso consiste in 24 lezioni da 2h ciascuna, circa organizzate come segue:

  • 1) (7/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Esempi: geodetiche, brachistocrona, crescita economica. Equazione di Euler-Lagrange.
  • 2) (8/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Condizioni di transversalità nell'equazione di Eulero-Lagrange. Qualche informazione sugli spazi di Sobolev 1D. Esistenza dei minimi.
  • 3) (14/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Esempi e esercizi di esistenza o non-esistenza.
  • 4) (15/3) Semicontinuità, esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta..
    Semicontinuità di funzionali integrali rispetto alla convergenza forte e debole.
  • 5) (21/3) Spazi di Sobolev.
    Definizione; Proprieta' funzionali; Risultati di immersione e di compattezza, Teoremi di traccia.
  • 6) (22/3) Semicontinuità, esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta.
    Metodo diretto. Unicità con stretta convessità.
  • 7) (28/3) Semicontinuità esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta.
    Equazioni di Eulero-Lagrange sotto opportune ipotesi di crescita. Soluzioni deboli di problemi ellittici. Esempio: problema di Dirichlet.
  • 8) (29/3) Esempi.
    Mappe armoniche in sfere: esistenza, Eulero Lagrange, ostruzioni topologiche.
  • 9) (4/4) Esempi.
    Ostacolo per l'energia di Dirichlet. Disequazioni variazionali. Regolarita'. Esempio di calcolo esplicito.
  • 10) (5/4) Esempi
    p-Laplaciano. Funzionali conessi dipendenti solo dal gradiente.
  • 11) (11/4) Analisi convessa e dualità
    Funzioni convesse coniugate e sottodifferenziale. Dualità per problemi con vincoli di divergenza.
  • 12) (12/4) Analisi convessa e dualità
    Regolarità tramite la dualità.
  • 13) (2/5) Regolarità
  • 14) (3/5) Regolarità
  • 15) (9/5) Regolarità
  • 16) (10/5) Regolarità
  • 17) (16/5) Spazio BV, problema isoperimetrico e argomenti collegati
  • 18) (17/5) Spazio BV, problema isoperimetrico e argomenti collegati
  • 19) (23/5) Spazio BV, problema isoperimetrico e argomenti collegati
  • 20) (24/5) Γ-convergenza
  • 21) (30/5) Γ-convergenza
  • 22) (31/5) Γ-convergenza
  • 23) (6/6) Γ-convergenza
  • 24) (7/6) Γ-convergenza

    Approfondimenti e riferimenti bibliografici

    (la lista sarà aggiornata man mano che avanziamo nel corso)
    G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt One-dimensional variational problems.
    Bernard Dacorgna Direct Methods in the Calculus of Variations.
    Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations (per la semicontinuità, si veda il capitolo 4).

    Note sulla dualità e la regolarità per dualità : note (qualche errore o differenza rispetto a quanto fatto a lezione), trasformate poi in un articolo (sicuramente meno student-friendly): eccolo.

    Esercizi

    Una lista di esercizi (aggiornata di tanto in tanto)