Calcolo delle Variazioni

Corso della Laurea Magistrale in Matematica, Université di Pavia

Informazioni Pratiche

Durata: 48h (6 ECTS)
Orario: 14h-16h, il giovedì e il venerdì a partire dal 7/3.
Dove: aula E9.
Esami:orali.
Lingua: il corso si tiene in italiano
Prerequisiti: un po' di analisi funzionale.

Programma

Il corso consiste in 24 lezioni da 2h ciascuna, circa organizzate come segue:

  • 1) (7/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Esempi: geodetiche, brachistocrona, crescita economica. Equazione di Euler-Lagrange.
  • 2) (8/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Condizioni di transversalità nell'equazione di Eulero-Lagrange. Qualche informazione sugli spazi di Sobolev 1D. Esistenza dei minimi.
  • 3) (14/3) Calcolo delle variazioni in 1D.
    Esempi e esercizi di esistenza o non-esistenza.
  • 4) (15/3) Semicontinuità, esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta..
    Semicontinuità di funzionali integrali rispetto alla convergenza forte e debole.
  • 5) (21/3) Spazi di Sobolev.
    Definizione; Proprieta' funzionali; Risultati di immersione e di compattezza, Teoremi di traccia.
  • 6) (22/3) Semicontinuità, esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta.
    Metodo diretto. Unicità con stretta convessità.
  • 7) (28/3) Semicontinuità esistenza, Eulero-Lagrange in dimensione più alta.
    Equazioni di Eulero-Lagrange sotto opportune ipotesi di crescita. Soluzioni deboli di problemi ellittici. Esempio: problema di Dirichlet.
  • 8) (29/3) Esempi.
    Mappe armoniche in sfere: esistenza, Eulero Lagrange, ostruzioni topologiche.
  • 9) (4/4) Esempi.
    Ostacolo per l'energia di Dirichlet. Disequazioni variazionali. Regolarita'. Esempio di calcolo esplicito.
  • 10) (5/4) Esempi
    p-Laplaciano. Funzionali conessi dipendenti solo dal gradiente.
  • 11) (11/4) Analisi convessa e dualità
    Funzioni convesse coniugate e sottodifferenziale. Dualità per problemi con vincoli di divergenza.
  • 12) (12/4) Analisi convessa e dualità
    Regolarità tramite la dualità.
  • 13) (2/5) Regolarità
    Introduzione al 19o problema di Hilbert. Spazi di Morrey-Campanato.
  • 14) (3/5) Regolarità
    Regolarità holderiana con coefficienti regolari.
  • 15) (9/5) Regolarità
    Teorema di De Giorgi: regolarità holder con coefficienti solo limitati.
  • 16) (10/5) Regolarità
    Esempi, esercizi, generalizzazioni.
  • 17) (16/5) Spazio BV, problema isoperimetrico e argomenti collegati
    Definizioni e proprietà dello spazio BV
  • 18) (17/5) Spazio BV, problema isoperimetrico e argomenti collegati
    Problema isoperimetrico, soluzione nel piano
  • 19) (23/5) Γ-convergenza
    Modica-Mortola
  • 20) (24/5) Γ-convergenza
    Modica-Mortola
  • 21) (30/5) Γ-convergenza
    Convergenza di funzionali quadratici in 1D ed altri esempi.
  • 22) (31/5) Γ-convergenza
    Il problema di posizionamento ottimale.
  • 23) (6/6) Γ-convergenza
    Modica-Mortola con vincoli di volume
  • 24) (7/6) Γ-convergenza
    Altri scaling in Modica-Mortola

    Approfondimenti e riferimenti bibliografici

    (la lista sarà aggiornata man mano che avanziamo nel corso)
    G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt One-dimensional variational problems.
    Bernard Dacorgna Direct Methods in the Calculus of Variations.
    Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations (per la semicontinuità, si veda il capitolo 4).

    Note sulla dualità e la regolarità per dualità : note (qualche errore o differenza rispetto a quanto fatto a lezione), trasformate poi in un articolo (sicuramente meno student-friendly): eccolo.

    Per le lezioni 13-16, guardate il libro di M. Giaquinta e L. Martinazzi, An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graph (capitoli 4, 5 e 8). Per il teorema di De Giorgi (dimostrazione di Moser) si può anche vedere direttamente il lavoro di Moser del 1960: A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math., Vol. 13, no. 3, pp. 457--468. Lezioni 17-18. Sullo spazio BV: il libro di L. C. Evans e F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, capitolo 5;per la dimostrazione con Fourier della disuguaglianza isoperimetrica, si veda questo articolo di B. Fuglede. Lezioni18-24. Sulla Γ-convergenza: il libro diA. Braides Gamma-Convergence for Beginners e quello di G. Dal Maso An Introduction to Γ-Convergence (accessibile online). Per il problema di posizionamento ottimale, si veda l'articolo di Bouchitte-Jimenez-Rajesh Asymptotic of an optimal location problem. Per Modica-Mortola, un altro libro di A. Braides Approximation of Free-Discontinuity Problems, nonché queste note (incomplete) di G. Leoni.

    Esercizi

    Una lista di esercizi (la lista è stata aggiornata, ci sono ora 40 esercizi: attenzione, i nuovi esercizi sono stati messi in ordine tematico, non sono quindi tutti alla fine).
    Per preparare l'esame è necessario saper fare gli esercizi 1, 11, 25, 28, 30, 35 (attenzione, abbiamo messo l'11 al posto del 12). L'esame (orale) comincerà chiedendo uno di questi esercizi, e continuerà poi con domande varie.