Transport en Économie, Reconstruction d'images, Analyse, Géométrie, et autre - TÉRAnGa

Cours de niveau master-doctorat à l'UCAD

Informations pratiques

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Ce cours aura lieu à l'UCAD (Dakar). Salles et horaires à préciser.
5 séances de 2h30 environ chaque matin, du 6 au 10 novembre 2017.
Prérequis : un peu d'analyse fonctionnelle et quelques connaissances d'EDP de base ; les notions principales seront rappelées.

Programme

Il y aura 5 séances de 2h30 chacune, plus ou moins organisées comme suit.

  • Séance 1 : Le problème de Monge-Kantorovich
    introduction au problème de Monge-Kantorovitch, interprétation probabiliste, dualité (sans doute la preuve sera reportée à la séance d'après), existence des transports optimaux pour les coûts strictement convexes ou avec une twist condition ; relaxation de Monge à Kantorovich.
  • Séance 2 : Dualité et économie
    preuve de la dualité et applications de la dualité en économie (prix de marchés, mariages stables) et finance (modèles de transport martingale pour le prix des options) ; utilisation de la dualité dans le cas de Monge p=1.
  • Séance 3 : Transports monotones et applications
    c-cyclique monotonie of the optimal plans ; cas unidimensionnel et transport monotone croissant ; le transport de knothe ; applications du transport de Brenier et de Knothe à l'inégalité isopérimétrique ; applications des transports monotones au transfert de couleurs.
  • Séance 4 : Espaces de Wasserstein
    définitions et propriétés des distances de Wasserstein, courbes dans l'espace de Wasserstein et lien avec l'équation de continuité, géodésiques et idée de la méthode de Benamou-Brenier ; barycentres dans Wasserstein et applications en images.
  • Séance 5 : Flots de Gradient et EDP d'évolution
    présentation des flots gradients dans l'espace euclidien et les espaces métriques; schéma JKO dans l'espace de Wasserstein et exemples d'EDP qui peuvent être traitées (plusieurs exemples en dynamique de populations); idée de la preuve de convergence pour l'équation de Fokker-Planck .

    • Références:

    Tout le contenu du cours est accessible à partir du livre Optimal Transport for Applied Mathematicians (voir ici ou ici pour une version non-officielle).
    Plus précisément:
    Séance 1 : sections 1.1 à 1.5, puis 1.7.1, 1.7.2, 1.7.6
    Séance 2 : sections 1.6, 1.7.3, 1.7.4, 1.7.5, 3.1.1
    Séance 3 : sections 2.1, 2.2, 2.3, 2.5.1, 2.5.3
    Séance 4 : sections 5.1 à 5.4, et 5.5.5
    Séance 5 : chapitre 8 (ou survey sur les flots gradients voir ici).

    Bien sûr, il y a des références plus classiques au sujet du transport optimal: le premier livre de Cédric Villani Topics in Optimal Transportation (Am. Math. Soc., GSM, 2003) et Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probabiliy Measures, par Luigi Ambrosio, Nicola Gigli et Giuseppe Savaré (Birkhäuser, 2005).

    Exercices

    Des exercices sont disponibles à la fin du livre OTAM.