Transport Optimal

Cours de M2-Ecole Doctorale à l'Université Paris-Sud

Détails pratiques

Durée : 20h (6 ECTS)
Où : sur le campus d'Orsay, bâtiment 425, salle(s) 117-119.
Quand : le mercredi après-midi, de 15h à 18h.
Quelles dates précisement : 2/2, 16/2, 2/3, 9/3, 16/3, 23/3, 30/3.
Le cours est terminé. Une deuxième édition sera proposée en 2012.

Programme du cours

Le cours se déroulera sur 7 séances et les sujets traités seront en gros (sans rien garantir quant au découpage en 7 cours)

  • 1) Les problèmes de Monge et de Kantorovitch, dualité, existence d'un plan de transport optimal, dualité (formelle + démonstration avec l'analyse convexe), existence des potentiels, existance d'un transport T pour des coûts strictement convexes, théorème de Brenier, existence d'au moins un transport pour les mesures non-atomique et densité des transports (relaxation).
  • 2) Sous-différentiel et transformé de Legendre en analyse convexe, et notions sur les fonctions c-concaves. Ensembles c-cycliquement monotones. Concentration des plans optimaux sur un ensemble c-CM (cas c continu ou s.c.i.). Relation avec la dualité. Le cas 1D avec un coût convexe.
  • 3) Le cas c(x,y)= dist(x,y) (la preuve de Sudakov, le problème quadratique secondaire, l'étude des rayons de transport...) ; le cas supremal où on minimise le déplacement maximal (preuve par problème secondaire, c-monotonie et densité).
  • 4) Le problème de Beckmann et ses variantes, formulation Lagrangienne vs Eulerienne, densité de transport : le lien avec le système de Monge-Kantorovitch, régularité L1 et Lp, très peu d'unicité, sommabilité.
  • 5) Les distances de Wasserstein : définitions, inégalité triangulaire, équivalence avec la convergence faible ; courbes Lipschitziennes dans l'espace de Wasserstein, dérivée métrique, relation avec l'équation de continuité ;
  • 6) Géodésiques dans les espaces métriques, géodésiques à vitesse constante, caractérisation des géodésiques dans l'espace de Wasserstein ; problème de Benamou-Brenier et sa résolution algorithmique
  • 7) Introduction aux flots gradients en R^n et dans des espaces métriques; unicité et convexité; fonctionnelles géodésiquement convexes et applications inégalité de Brunn-Minkowski); introduction aux EDP de flot-gradient dans Wasserstein et cas particulier de l'équation de Fokker-Planck.

    • Bibliographie

    Une bonne partie de ce que je traiterai en cours est résumée dans les notes pour une école d'été à Grenoble que j'avais écrites en 2009, mais pratiquement sans démonstration.

    La référence principale est évidemment le livre de Cédric Villani Topics in Optimal Transportation (Am. Math. Soc., GSM, 2003). En revanche, pour ce que je vais traiter il ne devrait pas être nécessaire d'aller regarder le deuxième livre de presque 1000 pages (Optimal Transport: Old and New, Springer-Verlag, 2008).

    Les notes de Luigi Ambrosio sont très utiles aussi, surtout en ce qui concerne le cas c(x,y)= dist(x,y), et pour la monotonie cyclique.

    Une autre bible du transport optimal est Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probabiliy Measures, par Luigi Ambrosio, Nicola Gigli et Giuseppe Savaré (Birkhäuser, 2005). Bien que notre cours ne soit pas focalisé sur les flots-gradients, il pourra être utile pour la partie finale (courbes, géodésiques...).

    Matériel supplémentaire et détails séance par séance

    1) Les notes de Grenoble (Sections 1.1, 1.2 et 1.4) contiennent presque tous les sujets traités lors du premier cours, mais avec peu de démonstration. Vous trouvez ici des notes sur la relaxation que j'ai écrites pour ce cours. Pour la démonstration finale par analyse convexe, voir le Chapitre 1 du livre de H. Brezis Analyse Fonctionnelle.
    2) Je crois que pour ces sujets la référence la meilleure sont les notes d'Ambrosio (pages 10-14). Voir aussi ces notes sur la c-cyclique monotonie (écrites après le cours, contenant une preuve que le support est cCM plus claire, le cas semicontinue, et le cas 1D). Pour les notions d'analyse convexe (convexes conjuguées...) on peut voir le livre Convex Analysis de R. T. Rockafellar. Je rajoute aussi une courte remarque sur l'unicité du transport monotone envoyant une mesure non-atomique sur une autre en 1D.
    3) Voir Ambrosio, pages 30-32 et 38-44 pour le problème L^1. Le problème supremal est trait pour la première fois dans un papier de Champion, DePascale et Juutinen, mais la preuve qu'on a présentée n'est pas exactement la même. Tous les arguments pour les deux problèmes se trouvent dans ces notes du 3e cours. Attention : cela fait référence à des résultats sur les fonctions BV contenus dans le livre de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems.
    4) Pour la dualité formelle entre Beckmann et le problème sur Lip1, voir les notes de Grenoble Section 1.3. Pour les variantes de Beckmann : ces autres notes de Grenoble, plus appliquées, pages 2-4. Pour une introduction sur la densité de transport et les estimations qu'on a vues, voir ce papier, sections 1 et 2. Voir également Ambrosio, Section 7.
    5) La plupart des résultats sont contenus dans le livre d'Ambrosio-Gigli-Savaré (AGS) mais je mets néanmoins ces notes sur Wp puisque certaines démonstrations sont différentes (pour m'amuser, j'ai également écrit une preuve de l'inégalité triangulaire sans désintégration). Pour la partie sur les dérivées metriques voir AGS, théorème 1.1.2. Pour la partie sur les courbes Lipschitz dans Wp et l'équation de continuité, voir AGS chapitre 8 (en particulier 8.1.6, 8.1.7, 8.1.9 et 8.3.1).
    6) L'introduction faite en classe aux courbes, longueurs et géodésiques devrait être standard, mais on la trouve pas sur l'Ambrosio-Gigli-Savaré. Voir plutôt le livre Selected topics on Analysis in Metric Spaces de L. Ambrosio et P. Tilli. Pour la charactérisation des géodésiques dans Wp voir ces notes ou l'Ambrosio-Gigli-Savaré. Pour la partie relative à l'algorithme de Benamou-Brenier, voir directement leur papier.
    7) Pour les fonctionnelles géodésiquement convexes, voir surtout l'Ambrosio-Gigli-Savaré, ou directement l'article de R. McCann. Pour Brunn-Minkowski, voir Villani, Chap 6.1. Pour la preuve complète d'un flot gradient, voir ces notes.