Introduction aux schémas en géométrie algébrique
Cours de l'école doctorale, en collaboration avec Stéphane Lamy

Les cours ont lieu le mercredi matin de 9h à 11h en salle 108 du bâtiment Forel. Pour ce qui me concerne, les séances auront lieu les 13 et 27 février, 12 et 26 mars, 30 avril et 7 mai 2008.

L'objectif de ce cours est de présenter la notion de schéma en l'illustrant de différentes manières : introduction d'éléments nilpotents permettant de rendre compte d'une situation géométrique classique, passage de la caractéristique nulle à la caractéristique p > 0 (et vice versa), point de vue fonctoriel, etc.

Stéphane a choisi de se concentrer sur le premier thème (apparition naturelle d'éléments nilpotents) à travers l'étude des familles de courbes algébriques dans un espace projectif (schémas de Hilbert). Je compte de mon côté m'attarder sur la définition d'un schéma en mettant l'accent sur le point de vue fonctoriel, présenter la construction des Grassmanniennes (les schémas de Hilbert sont les analogues non-linéaires) et conclure en effleurant la théorie du groupe fondamental en géométrie algébrique.

Cela donne le programme prévisionnel suivant.

Première séance : Les schémas comme espaces localement annelés I.

Deuxième séance : Les schémas comme espaces localement annel\'es II.

Troisième séance : Les schémas comme foncteurs représentables I.

Quatrième séance : Les schémas comme foncteurs représentables II.

Cinquième séance : Platitude et descente fidèlement plate.

Sixième séance : Topologie étale (rudiments).

[1] A. Grothendieck, J.A. Dieudonné, Éléments de Géométrie Algébrique I, Die Grundleheren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 166, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1971

[2] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques. Tome I, Masson & Cie, Paris ; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1970

[3] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics No.52, Springer-Verlag New York-Heidelberg, 1977

[4] M.F. Atiyah, I.G.Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969

Les deux principales références pour les quatre premières séances sont [1] (Introduction ; Chapitre 0, sections 1 et 4 ; Chapitre I sections 1 à 6 et section 9) et [2] (Chapitre I). On pourra consulter [3] pour une présentation plus concise et des exercices, ainsi que [4] pour les notions de base d'algèbre commutative (localisation et produit tensoriel essentiellement).

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Dernière mise à jour : Mardi 26 février 2008