Rattrapage de la séance du mardi 11 novembre : le mardi 18 novembre de 10h15 à 12h15, salle 119, bâtiment Lippman.
Il est souvent nécessaire de remplacer le corps k par une extension pour résoudre des équations polynomiales : par exemple, le centre du groupe SL(3,k) est constitué des matrices diagonales aI telles que a soit une racine cubique de 1 dans k ; il n'y a donc que la matrice identité si k = Q tandis que le centre de SL(3,C) est d'ordre trois.
En fait, tous les groupes mentionnés ci-dessus gardent un sens lorsqu'on remplace le corps k par une k-algèbre quelconque A, par exemple A = k[T]. Le point de vue adopté dans ce cours découle de cette observation : on introduit les groupes algébriques linéaires sur k comme les foncteurs de la catégories des k-algèbres dans la catégories des groupes satisfaisant à la condition d'être «définis par des équations polynomiales » (ce qui signifie précisément représentés par une k-algèbre de type fini). On essairera alors de dire le plus de choses possible sur la structure de ces objets.
Le cours commencera par une formulation précise de la discussion précédente. On abordera ensuite tout ou partie des thèmes suivants :
Je rédigerai des notes détaillées correspondant à la matière traitée oralement et fournissant également quelques compléments. Au delà, la première référence à consulter est le texte de J.S. Milne [5], auquel le cours collera assez étroitement. Le livre [8] de Waterhouse couvre également une bonne partie du cours tout en allant plus loin sur certains aspects ; sa lecture, qui ne devrait pas poser de problème, est chaudement recommandée. Les livres [3] et [5] sont deux monuments dont nous utiliserons des bribes ; ils sont à réserver aux passionnés!
Le livre de T. Springer [7] est une référence classique bien que le point de vue adopté, qui n'est pas celui du cours, ne soit pas optimal. Toutefois, c'est probablement l'ouvrage le plus complet sur le sujet et il est conseillé de le consulter. Se situant lui aussi dans un cadre de travail un peu désuet, le livre [4] est une excellente référence dont la lecture est particulièment agréable ; il s'agit d'une édition récente du séminaire historique de Claude Chevalley des années 1956/58.
Finalement, l'ouvrage [2] de Borel est une source d'information sur le développement historique de la notion de groupe algébrique.
Il n'y a pas de théorie des groupes algébrique sans algèbre commutative ni, plus généralement, sans géométrie algébrique. Je tâcherai de réduire cette composante au minimum et l'on trouvera par exemple dans [1] tout ce dont on aura besoin ; j'y référerai ponctuellement.
Séance du 23 septembre : Anneau de coordonnées d'un groupe algébrique. Exemples de groupes algébriques. Catégorie des k-bigèbres et équivalence avec la catégorie des groupes algébriques. Exemple : le groupe linéaire.
Séance du 30 septembre : Exemples de bigèbres. Homomorphismes entre le groupe additif et le groupe multiplicatif. Constructions élémentaires : sous-groupes, produits, produits fibrés, noyau.
Séance du 7 octobre : Problème posé par les images/quotients à partir d'un exemple. Changement du corps de base : définition et deux exemples.
Séance du 14 octobre : Repréprésentations linéaires : généralités (définition, stabilisateurs, exemples), reformulation en termes de comodules sur la bigèbre du groupe.
Séance du 21 octobre : Représentation régulière : définition et interprétation. Le théorème de Chevalley.
Séance du 4 novembre : Partiel
Séances du 18 novembre (2 séances) : Décomposition de Jordan. Éléments unipotents et semi-simples ; caractérisation. Groupes diagonalisables.
Séance du 25 novembre : Lien avec les groupes de matrices. Variété algébrique d'un groupe algébrique.
Séance du 2 décembre : Connexité en géométrie algébrique ; application à la définition de la composante neutre d'un groupe algébrique. Exemples et étude de SLn via la décomposition de Bruhat.
Séance du 9 décembre : Groupes algébriques résolubles (cas des groupes de matrices) et théorème de Lie-Kolchin. Groupes algébriques unipotents et théorème de trigonalisation.
Séance du 16 décembre : [...]
Dernière mise à jour : Mercredi 10 décembre 2008