Algèbre (M1)
automne 2025–2026
Équipe pédagogique
- Responsable du cours : Todor Tsankov
- Travaux dirigés : Nicolas Ressayre
Avancement du cours
- 04/09 : Rappels sur les anneaux. Exemples : \(\mathbf{Z}\),
\(\mathbf{Z} / n \mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}[\sqrt{D}]\), polynômes en
une et plusieurs variables, matrices, anneaux de groupes. Corps.
Exemples : \(\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C},
\mathbf{Q}(\sqrt{D}), \mathbf{F}_p\). Anneaux intègres. Idéaux,
quotients. Idéaux maximaux et premiers, caractérisation par le
quotient. Tout idéal est contenu dans un idéal maximal. Corps de
fractions. Anneaux euclidiens. Exemples : \(\mathbf{Z},
\mathbf{Z}[i], K[x]\). Tout idéal dans un anneau euclidien est
principal. Divisibilité. PGCD et algorithme d'Euclide. Anneaux
principaux. Dans un anneau principal tout idéal premier est
maximal. Éléments premiers et irréductibles.
- 11/09 : Anneaux factoriels. Tout anneau principal est factoriel.
Dans un anneau factoriel, tout élément irréductible est premier.
PGCD dans les anneaux factoriels. Éléments irréductibles dans
\(\mathbf{Z}[i]\).
- 18/09 : Anneaux de polynômes. Lemme de Gauss. Si \(R\) est un anneau
factoriel, \(R[x]\) en est un aussi. Corollaire : si \(K\) est un
corps, \(K[x_1, \dots, x_n]\) est factoriel. Anneaux noethériens.
Théorème de la base de Hilbert, énoncé et début de preuve.
- 23/09 : Théorème de la base de Hilbert, fin de preuve. Polynômes
symétriques. Théorème fondamental des polynômes symétriques.
- 25/09 : Corps. Caractéristique, sous-corps premier. Extensions de
corps. Pour tout polynôme \(p \in F[x]\), \(F\) admet une extension où
\(p\) a une racine. Extensions algébriques et transcendentes.
Polynôme minimal. Degré d'une extension et d'un élément
algébrique. Extensions quadratiques.
- 30/09 : Les éléments algébriques forment un corps. Corps de
décomposition d'un polynôme, existence et unicité. Clôture
algébrique, corps algébriquement clos. Existence de la clôture
algébrique.
- 02/10 : Lemme de Zorn. Unicité de la clôture algébrique. Polynômes
séparables, critère avec la dérivée, exemples. Endomorphisme de
Frobenius. Corps parfaits : dans un corps parfait tout polynôme
irréductible est séparable. Les corps de caractéristique \(0\) et
les corps finis sont parfaits.
Programme
Anneaux
- Rappels sur les anneaux.
- Anneaux principaux et anneaux factoriels.
- Anneaux de polynômes en une et en plusieurs variables. Lemme de Gauss.
- Polynômes symétriques.
Corps
- Extensions de corps.
- Polynôme minimal, corps de décomposition.
- Corps algébriquement clos, clôture algébrique.
- Extensions séparables.
- Corps finis. Morphisme de Frobenius.
- Polynômes cyclotomiques.
Représentations
- Représentations linéaires d'un groupe fini. Représentations irréductibles.
- Décomposition en irréductibles, théorème de Maschke.
- Lemme de Schur, représentations de groupes abéliens.
- Relations d'orthogonalité, caractères.
- Représentation régulière et sa décomposition en représentations irreducibles.
- Caractères des groupes abéliens, groupe dual. Analyse de Fourier sur les groupes abéliens finis.
Bibliographie
- David Dummit et Richard Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons.
- Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses.
- Benjamin Steinberg, Representation theory of finite groups: An introductory approach, Springer.