PROPRIÉTÉS RÉSIDUELLES DANS LES GROUPES SUPERSIMPLES

FRANK WAGNER

Résumé. Si C est une pseudo-variété, alors un groupe supersimple résiduellement C est nilpotent-par-poly-C. Abstract. If C is a pseudo-variety, then a supersimple residually C group is nilpotent-by-poly-C.

Dans un article récent [1], Abderezak Ould Houcine montre qu’un groupe superstable résiduellement C pour une pseudo-variété C permet une série normale G = G_{0} \underline{▷}G_{1} \underline{▷}⋯\underline{▷}G_{n} telle que G_{i}/G_{i+1} ∈ C pour i < n, et G_{n} est résoluble ; si G est ω-stable, on peut choisir G_{n} nilpotent. Nous étendons son résultat aux groupes supersimples, et montrons en même temps qu’on peut toujours prendre G_{n} nilpotent.

Rappelons qu’une classe de groupes est une pseudo-variété si elle est close par sous-groupes, quotients et produits finis ; un groupe est résiduellement C si pour tout 1 ≠ g ∈ G il y a un sous-groupe normal g ∉ N \underline{◁} G avec G/N ∈ C.

Theorem 1. Soit G un groupe supersimple. Alors pour toute formule φ(x, y) il y a une formule ϑ(y) telle que pour tout a le sous-groupe engendré par φ(x, a) intersecte G dans un sous-groupe H_{a} d’indice fini si et seulement si ⊧ ϑ(a) ; dans ce cas, H_{a} est relativement définissable uniformément en a, et d’indice borné dans G.

Proof: Soit X_{a}^{m} = (φ(G, a)^{±1})^{m}, et H_{a} = ⋃_{m<ω} X_{a}^{m} le sous-groupe engengré par φ(G, a). S’il y a m < ω tel que X_{a}^{m} soit générique dans G, alors [2, Proposition 4.5.6] implique que X_{a}^{m} · (X_{a}^{m})^{−1} = X_{a}^{2m} contient tous les type génériques principaux de G sur a, et X_{a}^{4m} contient la composante connexe G_{a}^{0} sur a. Mais comme X_{a}^{4m} est définissable, un nombre fini de translatés de X_{a}^{4m} recouvrent G. En particulier H_{a} est d’indice fini dans G.

Réciproquement, si aucun X_{a}^{m} est générique dans G, alors une suite d’éléments génériques indépendantes sur a témoigne du fait que l’indice de H_{a} dans G est infini. En particulier un nombre fini de translates d’un X_{a}^{m} ne peut recouvrir G. La condition [G : H_{a}] < ω est donc ouverte en a.

Date: 18 avril 2008.

Key words and phrases. simple theory, pseudo-variety, nilpotent, residual.

Pour tout m < ω, un produit X_{a}^{m} est générique dans H si et seulement s’il a les même rangs locaux stratifiés, ce qui est une condition fermée. Il nous faut donc borner le m, et c’est ici qu’on va utiliser que H est supersimple. Nous allons raffiner le théorème des indécomposables [2, Theorem 5.4.5 et Remark 5.4.7].

Proposition 2. Soit G un groupe hyperdéfinissable dans une théorie simple, de rang

SU(G) = ω^{α_{1}}n_{1} + ⋯ + ω^{α_{k}}n_{k}

avec α_{1} > ⋯ > α_{k} et n_{1}, …, n_{k} ∈ ω. Soit X = X^{−1} ⊆ G hyperdéfinissable. Si le sous-groupe engendré par X est d’indice borné dans G, alors X^{5^{n_{1}+···+n_{k}}} est générique dans G.

Le réciproque est évident. Proof: Supposons que le sous-groupe engengré par X soit d’indice borné dans G. Soit m_{i} = 5^{n_{1}+···+n_{i}}. On montrera par récurrence sur i que SU(X^{m_{i}}) ≥ ω^{α_{1}}n_{1} + ⋯ + ω^{α_{i}}n_{i}.

C’est vrai pour n = 0 ; supposons donc que SU(X^{m_{i}}) ≥ ω^{α_{1}}n_{1} + ⋯ + ω^{α_{i}}n_{i}. Puisque le rang ne peut pas augmenter de ω^{α_{i+1}} plus que n_{i+1} fois, il y a m ∈ {m_{i}, m_{i} + 1, … m_{i+1}} minimal tel que SU(X^{5m}) < SU(X^{m}) + ω^{α_{i+1}}.

Soit p(x) un type (eventuellement sur des paramètres A additionnels) qui implique x ∈ X^{m} avec SU(p) = ω^{α_{1}}n_{1} + ⋯ + ω^{α_{i}}n_{i} + ω^{α_{i+1}}n, avec n maximal possible. Alors pour tout a, b ⊧ p avec a | ⌣_{A} b on a

SU(ab^{−1}/A) ≤ SU(X^{2m}) ≤ SU(X^{5m}) < SU(p) + ω^{α_{i+1}}.

Par [2, Lemma 5.4.2] on a ab^{−1} | ⌣_{A} b et tp(a/A, b) est un translaté à droite d’un générique du stabilisateur stab(p). Donc SU(stab(p)) = SU(p).

Soit stab(p)^{g} un conjugué de stab(p) par un élément g ∈ X avec g | ⌣_{A} a, b. Alors pour a′ ⊧ tp(a/A, b, g) avec a | ⌣_{A,b,g} a′ le type

tp((ab^{−1})(a′b^{−1})^{g}/A, b, g)

est générique pour stab(p)stab(p)^{g}. Mais par le choix de m son rang est borné par

SU(X^{4m+2}) ≤ SU(X^{5m}) < SU(p) + ω^{α_{i+1}}.

Encore par [2, Lemma 5.4.2] on a

SU((ab^{−1})(a′b^{−1})^{g}/A, b, g) = SU(p) = SU(stab(p).

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Donc

SU(stab(p) = SU(stab(p)stab(p)^{g}) ≥ SU(stab(p)^{g})+SU(stab(p)stab(p)^{g}/stab(p)^{g}) = SU(stab(p))+SU(stab(p)/(stab(p)∩stab(p)^{g})).

Ceci implique que le dernier quotient est de rang zéro, et stab(p) est commensurable avec tous ses X-conjugués. Soit N la composante localement connexe de stab(p) (voir [2, Definition 4.5.14 et Corollary 4.5.16]). Alors N est normalisé par X, et donc par le groupe engendré par X. Mais alors SU(X/N) < ω^{α_{i+1}} implique SU(X^{ℓ}/N) < ω^{α_{i+1}} pour tout ℓ < ω; puisque X^{ℓ} est générique dans G pour ℓ suffisamment grand, on a n = n_{i+1}. □

Par compacité, que X_{a} engendre un groupe d’indice fini est définissable par une formule ϑ(x) ∈ tp(a). Pour a ⊧ ϑ il en découle que le sousgroupe engendré par φ(G, a) est relativement définissable uniformément en a, et son indice dans N est borné. □

Nous pouvons maintenant suive le raisonnement d’Ould Houcine pour démontrer notre théorème.

Theorem 3. Soit C une pseudo-variété et G un groupe supersimple résiduellement C. Alors il y a une série normale définissable G = G_{0} \underline{▷} G_{1} \underline{▷} ⋯ \underline{▷} G_{n} telle que G_{i}/G_{i+1} ∈ C pour i < n, avec G_{n} nilpotent.

Proof: Soit N un sous-groupe type-définissable sur G de rang SU(N) ≥ ω^{α} minimal. Alors SU(N) = ω^{α} · k avec 0 < k < ω, par [2, Proposition 5.4.3 et Remark 5.4.4]. Puisque N est une intersection de groupes définissables par [2, Theorem 5.5.4], la supersimplicité nous donne un sur-groupe définissable N_{1} de même rang ; par [2, Proposition 4.2.7] appliquée à la famille des conjugués (groupe- et modèle-théoriques) de N_{1} il existe un N_{2} \underline{◁}G commensurable avec N_{1} et définissable sur les mêmes paramètres que N. En bref, on peut supposer que N soit définissable.

Pour g ∈ G \ \{1\} soit N_{g} \underline{◁} G avec g ∉ N_{g} telle que G/N_{g} ∈ C, et pour ḡ ∈ G \ {1} fini soit Nḡ = ⋂_{g∈ḡ} N_{g}. Donc G/Nḡ ∈ C puisque C est une pseudo-variété. Nous considérons les sous-groupes normaux [N, Nḡ] ≤ N ∩Nḡ pour g ∈ G. Encore par [2, Theorem 5.4.5 et Remark 5.4.7] il existent pour tout ḡ ∈ G fini des éléménts n_{1}, …, n_{m} ∈ Nḡ telle que (n_{1}^{−1}n_{1}^{N})^{±1} ⋯ (n_{m}^{−1}n_{m}^{N})^{±1} contienne un sous-groupe normal Kḡ \underline{◁} G type-définissable sur G avec SU(n^{−1}n^{N}/Kḡ) < ω^{α} pour tout n ∈ Nḡ.

Si on trouve ḡ ∈ G \ {1} tel que SU(Kḡ) < ω^{α} · k, alors SU(Kḡ) < ω^{α} par minimalité de k. Donc SU(n^{−1}n^{N}) < ω^{α} pour tout n ∈ Nḡ, d’où SU(N/C_{N}(n)) < ω^{α}, et C_{N}(n) est d’indice fini dans N pour tout n ∈ Nḡ par l’inégalité de Lascar. Alors

Nḡ ≤ C̃_{G}(N) = {g ∈ G : [N : C_{N}(g)] < ω},

le centralisateur approximatif de N dans G, et G/C̃_{G}(N) ∈ C. Notons que C̃_{G}(N) est définissable, puisque l’indice de C_{N}(g) dans N est borné par [2, Lemma 4.2.6].

Sinon, il existe n ∈ Nḡ telle que SU(n^{−1}n^{N}) ≥ ω^{α}. Alors le sousgroupe normal H engendré par n^{−1}n^{N} contient un sous-groupe normal type-définissable sur G de rang au moins ω^{α} par [2, Theorem 5.4.5 et Remark 5.4.7] ; par minimalité de k ce rang doit être ω^{α} · k, et H est uniformément définissable en n et d’indice borné dans N par le Théorème 1. Comme H ≤ [N, Nḡ] ≤ N, le groupe [N, Nḡ] lui aussi est uniformément définissable et d’indice borné dans N. Mais si [N, Nḡ] ≠ 1, soit 1 ≠ g ∈ [N, Nḡ]. Alors [N, N_{gḡ}] est un sous-groupe propre de [N, Nḡ] ; comme l’indice reste borné, cette chaîne doit terminer, contradiction.

Donc G/C̃_{G}(N) ∈ C; si SU(C̃_{G}(N)) < SU(G) on termine par récurrence sur SU(G). Sinon on remplace G par C̃_{G}(N) et N par N ∩ C̃_{G}(N), des sous-groupes définissables d’indices finis. Soient n ∈ N et g ∈ G indépendants ; comme

[n, g] ∈ acl(n) ∩ acl(g) = acl(∅),

et puisque donné g ∈ G un élémént n ∈ N est toujours produit de deux éléments génériques sur g, et réciproquement, le groupe [N, G] ≤ acl(∅). Donc N_{1} := C_{N}([N, G]) est d’indice borné dans N et contenu dans Z_{2}(G). Or, puisque Z(G) = ⋂_{g∈G} C_{G}(g) est donné par un système d’équations (dans ce-modèle-ci !), on peut remplacer G par G/Z(G), et donc aussi par G/Z_{2}(G) par [1, Lemme 2.2(2)] et préserver la propriété d’être résiduellement C; notons que ces quotients sont définissables à l’aide de quanteurs et donc supersimples. Finalement, comme N_{1} ≤ Z_{2}(G) et SU(N_{1}) = SU(N) ≥ ω^{α}, alors SU(G/Z_{2}(G)) < SU(G) et on termine par récurrence. □

Remark 4. Notons que si N est normal dans G, alors par [2, Proposition 4.2.7] il existe un sous-groupe caractéristique N_{0} de G qui est une extension finie d’une intersection finie de conjugués de N par des automorphismes. Comme C est une pseudo-variété on peut donc successivement prendre tous les G_{i} normal pas seulement dans leur prédecesseur, mais dans G.

Références

[1] A. Ould Houcine. On superstable groups with residual properties. Math. Log. Quart. 53(1) :19–26, 2007.

[2] F. O. Wagner. Simple Theories. Kluwer Academic Publishers, 2000.

Frank O Wagner, Université de Lyon, Université Lyon 1, CNRS UMR 5208 Institut Camille Jordan, 43 blvd du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne-cedex, France

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