- \n
- La dimension\u00a0exp\u00e9rimentale en math\u00e9matiques<\/a><\/li>\n
- Les probl\u00e8mes de recherche<\/a><\/li>\n
- Les situations didactiques de recherche de probl\u00e8mes<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
La dimension exp\u00e9rimentale en math\u00e9matiques<\/h2>\n
Texte repris de Gardes (2018)<\/em><\/p>\n
Nulle part, le monde de la th\u00e9orie et le monde de l’exp\u00e9rience ne sont s\u00e9par\u00e9s d’avance<\/em>. (Gonseth, 1955)<\/p>\n
La citation de Gonseth invite \u00e0 discuter du caract\u00e8re exp\u00e9rimental des math\u00e9matiques. Cette question a d\u00e9j\u00e0 fait l’objet de plusieurs \u00e9tudes \u00e9pist\u00e9mologiques et didactiques, surtout ces derni\u00e8res ann\u00e9es (Bkouche (1982, 2008), Chevallard (1991), Dias (2008), Durand-Guerrier (2010), Gardes (2013), Giroud (2011) et Perrin (2007)). Nous explicitons ci-dessous plusieurs termes\u00a0: exp\u00e9rimentation, d\u00e9marche de type exp\u00e9rimental et dimension exp\u00e9rimentale.<\/p>\n
Bkouche (1982) reconna\u00eet un\u00a0caract\u00e8re exp\u00e9rimental aux math\u00e9matiques<\/strong>\u00a0dans la mesure o\u00f9 elles rel\u00e8vent des sciences exp\u00e9rimentales qu’il d\u00e9finit selon deux principes :<\/p>\n
- \n
- d’une part, l’origine empirique des objets<\/strong>\u00a0\u00e9tudi\u00e9s et des concepts ainsi mis en jeu ;<\/li>\n
- la\u00a0m\u00e9thode<\/strong>\u00a0(ou les m\u00e9thodes) d’autre part, qui participe \u00e0 la fois de l’observation empirique et du raisonnement rationnel. (Bkouche, 1982, p. 307)<\/li>\n<\/ol>\n
Il ajoute que \u00ab c’est l’articulation de l’empirique et du rationnel qui constitue la science exp\u00e9rimentale \u00bb (Ibid. p. 307). D’un point de vue didactique, c’est cette articulation qui nous semble centrale et que nous allons mettre en \u00e9vidence.<\/p>\n
Illustrons d’abord le premier principe en \u00e9tudiant la naissance d’un des premiers objets math\u00e9matiques : le nombre. La naissance du concept de nombre est li\u00e9e \u00e0 l’op\u00e9ration de compter. Selon Giusti, \u00ab dans un premier temps les objets \u00e0 d\u00e9nombrer ont \u00e9t\u00e9 repr\u00e9sent\u00e9s par des signes, puis \u00e0 ces signes des noms furent donn\u00e9s, sans plus besoin de l’interm\u00e9diaire des signes. Chaque nombre est g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par la r\u00e9p\u00e9tition d’un acte simple : tracer un signe \u00bb (Giusti, 2000, p. 46). Il pr\u00e9cise que les \u00c9l\u00e9ments d’Euclide conservent des traces de cette gen\u00e8se dans ses d\u00e9finitions de l’unit\u00e9 et de nombre (\u00c9l\u00e9ments, livre 7, d\u00e9f. 1 et 2) :<\/p>\n
L’unit\u00e9 est ce par quoi chacune des choses qui sont est dite une.<\/p>\n
Le nombre est une multitude compos\u00e9e d’unit\u00e9s.<\/p>\n
Pour Bkouche, \u00ab il y a un constat exp\u00e9rimental des propri\u00e9t\u00e9s de commutativit\u00e9 et d’associativit\u00e9 de l’addition et de la multiplication, constat qui pr\u00e9c\u00e8de les justifications th\u00e9oriques et celles-ci naissent de la n\u00e9cessit\u00e9 de validation g\u00e9n\u00e9rale de tels constats \u00bb (Bkouche, 1982, p. 317). Ainsi la classification des nombres et les op\u00e9rations qui forment l’arithm\u00e9tique \u00e9l\u00e9mentaire ont pour origine le donner empirique issu de la pratique du comptage. Ce qui fonde le caract\u00e8re exp\u00e9rimental des math\u00e9matiques, c’est la manipulation des objets conform\u00e9ment \u00e0 une th\u00e9orie, manipulation rendue possible par la repr\u00e9sentation sous forme symbolique des objets math\u00e9matiques. Ce premier principe est donc relatif \u00e0 un mode de constitution empirique de certains objets math\u00e9matiques. D’un point de vue didactique, Durand-Guerrier caract\u00e9rise cette activit\u00e9 math\u00e9matique sp\u00e9cifique par la mise en \u0153uvre d’une\u00a0dimension exp\u00e9rimentale<\/strong>\u00a0qu’elle d\u00e9finit par \u00ab un va-et-vient entre un travail avec les objets que l’on essaye de d\u00e9finir […] \u00a0et l’\u00e9laboration […] d’une th\u00e9orie, le plus souvent locale, visant \u00e0 rendre compte des propri\u00e9t\u00e9s de ces objets \u00bb (Durand-Guerrier, 2010, p.1). Il s’agit donc d’une articulation entre exp\u00e9rience et th\u00e9orie qui porte sur les objets math\u00e9matiques en jeu, c’est-\u00e0-dire des allers et retours entre des objets naturalis\u00e9s et des objets en cours de conceptualisation. C’est ce qui caract\u00e9rise la dimension exp\u00e9rimentale des math\u00e9matiques telle que nous l’utilisons.<\/p>\n
Examinons le second principe fondamental d’une science exp\u00e9rimentale, qui, selon Bkouche (1982), r\u00e9side dans sa (ou ses) m\u00e9thode(s) qui doit participer \u00e0 la fois de l’observation empirique et du raisonnement rationnel. Ce qui fonde le caract\u00e8re exp\u00e9rimental d’une m\u00e9thode est la d\u00e9finition et le r\u00f4le de l’exp\u00e9rimentation. C’est en effet elle qui est porteuse de l’articulation entre l’empirique et le th\u00e9orique. Selon Bkouche (2008) et Chevallard (1991),\u00a0l’exp\u00e9rimentation se distingue de l’exp\u00e9rience<\/strong>\u00a0dans le sens o\u00f9 elle fait r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 une th\u00e9orisation premi\u00e8re pour justifier les questions que l’on se pose et pour ensuite construire un dispositif exp\u00e9rimental. Ainsi l’observation empirique ne se r\u00e9duit pas \u00e0 une simple constatation empirique, elle est une lecture de l’observation \u00e0 travers une th\u00e9orie. L’exp\u00e9rimentation s’appuie donc sur un double raisonnement, en amont pour \u00e9laborer une exp\u00e9rience pertinente et en aval pour la lecture des r\u00e9sultats. Son r\u00f4le est de v\u00e9rifier l’ad\u00e9quation entre la th\u00e9orie et l’exp\u00e9rience dans le but de cr\u00e9er de nouveaux objets math\u00e9matiques. Perrin (2007) d\u00e9finit l’exp\u00e9rimentation en math\u00e9matiques comme \u00ab une m\u00e9thode d’investigation syst\u00e9matique \u00bb qu’il n’h\u00e9site pas \u00e0 \u00ab d\u00e9signer sous le nom de m\u00e9thode exp\u00e9rimentale \u00bb pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes math\u00e9matiques. Pour cet auteur, l’ad\u00e9quation entre th\u00e9orie et exp\u00e9rience se r\u00e9alise dans un processus it\u00e9ratif compos\u00e9 de plusieurs \u00e9tapes \u00e0 renouveler \u00e9ventuellement\u00a0:<\/p>\n
Exp\u00e9rience, observation de l’exp\u00e9rience, formulation de conjectures, tentative de preuve, contre-exp\u00e9rience, production \u00e9ventuelle de contre-exemples, formulation de nouvelles conjectures, nouvelles tentative de preuve, etc. (Perrin 2007, p.10).<\/p>\n
Dans cette description de \u00ab\u00a0la m\u00e9thode exp\u00e9rimentale\u00a0\u00bb, l’exp\u00e9rimentation (faire une exp\u00e9rience, observer l’exp\u00e9rience et en tirer des conclusions) s’articule avec des phases de formulation de conjectures et de tentative de preuves. Dias (2008) prolonge cette id\u00e9e en pensant l’exp\u00e9rimentation comme un processus dialectique empirique\/th\u00e9orique qui n’a de sens que par ses articulations avec la formulation et la validation. L’\u00e9chec d’une tentative de preuve peut amener \u00e0 mieux tester la solidit\u00e9 de la conjecture n\u00e9e d’une exp\u00e9rimentation. Il peut conduire \u00e0 modifier la conjecture, voire l’exp\u00e9rimentation elle-m\u00eame et ainsi inciter \u00e0 imaginer d’autres chemins de preuve. De m\u00eame, l’exp\u00e9rimentation mise en place pour cerner une question math\u00e9matique, peut d\u00e9boucher sur des r\u00e9sultats impr\u00e9vus, surprenants, qui conduisent \u00e0 des interrogations sur d’autres propri\u00e9t\u00e9s et sur de nouveaux domaines, sur de nouvelles conjectures et tentatives de preuves.<\/p>\n
Nous d\u00e9finissons alors\u00a0une\u00a0d\u00e9marche de type exp\u00e9rimentale de r\u00e9solution de probl\u00e8mes<\/em>\u00a0par des va-et-vient constants entre la th\u00e9orie et l’exp\u00e9rience se r\u00e9alisant par des r\u00e9troactions de trois processus : exp\u00e9rimentation, formulation et validation.<\/strong><\/p>\n
L’aspect exp\u00e9rimental des math\u00e9matiques se fonde donc sur deux principes intrins\u00e8quement li\u00e9s. Le premier est l’existence d’un mode empirique de constitution de certains objets math\u00e9matiques. Le recours \u00e0 cette dimension exp\u00e9rimentale entra\u00eene alors le second principe : la mise en \u0153uvre d’une d\u00e9marche de type exp\u00e9rimental. D’un point de vue didactique, Durand-Guerrier met en \u00e9vidence la richesse d’une activit\u00e9 math\u00e9matique reposant sur ces deux principes pour le processus de conceptualisation\u00a0:<\/p>\n
la multiplication des exp\u00e9riences, en appui sur des objets, des m\u00e9thodes et des connaissances naturalis\u00e9es pour le sujet, favorise l’\u00e9laboration de nouveaux objets conceptuels et de leurs propri\u00e9t\u00e9s, de r\u00e9sultats nouveaux et de leurs preuves, et contribue de mani\u00e8re essentielle au processus de conceptualisation (au sens de Vergnaud).<\/em>\u00a0(Durand-Guerrier, 2010, p.5)<\/p>\n
Dans l’\u00e9tude des allers et retours entre objets naturalis\u00e9s et objets en cours de conceptualisation, dans Gardes (2013), nous avons mis l’accent sur les actions du sujet en introduisant la notion de \u00ab\u00a0geste\u00a0de la recherche\u00bb.<\/p>\n
Les gestes mettent en \u00e9vidence le recours aux connaissances math\u00e9matiques disponibles et mobilisables, le r\u00f4le des objets math\u00e9matiques en jeu, les heuristiques d\u00e9velopp\u00e9es, la complexit\u00e9 des raisonnements mis en \u0153uvre et les origines et la nature des avanc\u00e9es de la recherche.<\/em>\u00a0(Gardes, 2013, p.188)<\/p>\n
Ces travaux soutiennent l’hypoth\u00e8se que la dimension exp\u00e9rimentale des math\u00e9matiques fournit un terrain propice pour travailler un autre aspect dialectique de l’activit\u00e9 math\u00e9matique, celui de l’articulation entre la mobilisation, l’acquisition de connaissances et le d\u00e9veloppement heuristiques.<\/p>\n
Les probl\u00e8mes de recherche<\/strong><\/h2>\n
Texte adapt\u00e9 de Front (2015)<\/em><\/p>\n
Rappelons tout d’abord la d\u00e9finition de Brun du probl\u00e8me :<\/p>\n
Dans une perspective psychologique, un probl\u00e8me est g\u00e9n\u00e9ralement d\u00e9fini comme une situation initiale avec un but \u00e0 atteindre, demandant \u00e0 un sujet d’\u00e9laborer une suite d’actions ou d’op\u00e9rations pour atteindre ce but. Il n’y a probl\u00e8me que dans un rapport sujet \/ situation, o\u00f9 la solution n’est pas disponible d’embl\u00e9e, mais possible \u00e0 construire. C’est dire aussi que le probl\u00e8me pour un sujet donn\u00e9 peut ne pas \u00eatre un probl\u00e8me pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de d\u00e9veloppement intellectuel par exemple. (Brun, 1990, p.2)<\/em><\/p>\n
Cette premi\u00e8re approche de la notion de probl\u00e8me est suffisamment g\u00e9n\u00e9rale pour qu’elle s’adapte \u00e0 une classe bien plus vaste que celle des probl\u00e8mes d’arithm\u00e9tique \u00e0 l’\u00e9cole primaire qui fait l’objet de l’article de Julo. Elle recoupe d’ailleurs les m\u00eames interrogations que celles de Hilbert lorsque celui-ci introduit les grands probl\u00e8mes du XXe si\u00e8cle :<\/p>\n
[…]\u00a0un probl\u00e8me math\u00e9matique doit \u00eatre difficile, mais non pas inabordable, sinon il se rit de nos effort ; il doit au contraire \u00eatre un v\u00e9ritable fil conducteur \u00e0 travers les d\u00e9dales du labyrinthe vers les v\u00e9rit\u00e9s cach\u00e9es, et nous r\u00e9compenser de nos efforts par la joie que nous procure la d\u00e9couverte de la solution.<\/em><\/p>\n
Que ce soient les probl\u00e8mes non r\u00e9solus qui se pr\u00e9sentent \u00e0 la communaut\u00e9 math\u00e9matique, ou les probl\u00e8mes pour l’enseignement, un probl\u00e8me math\u00e9matique se doit d’\u00eatre robuste et en m\u00eame temps doit se laisser aborder, questionner, explorer. C’est bien entendu une caract\u00e9ristiques que nous retiendrons et qui doit permettre \u00e0 l’\u00e9l\u00e8ve un engagement dans une interaction avec le milieu et la constatation de l’inefficacit\u00e9 des premi\u00e8res proc\u00e9dures envisag\u00e9es. Bien entendu, ces d\u00e9finitions du probl\u00e8me math\u00e9matique renvoient explicitement aux sujets. La robustesse du probl\u00e8me est donc alors \u00e0 consid\u00e9rer relativement aux connaissances des sujets et \u00e0 l’activit\u00e9 qu’ils sont amen\u00e9s \u00e0 d\u00e9velopper. Pour Perrin, c’est \u00e9galement dans l’activit\u00e9 engendr\u00e9e par un probl\u00e8me math\u00e9matique que l’on retrouve des similitudes entre sujets qu’ils soient math\u00e9maticiens ou \u00e9l\u00e8ves :<\/p>\n
Mon point de d\u00e9part est le document d’accompagnement des programmes de math\u00e9matiques de l’\u00e9cole primaire, et pr\u00e9cis\u00e9ment le paragraphe qui concerne les \u00ab probl\u00e8mes pour chercher \u00bb. Je cite le document en question : (Il s’agit) de v\u00e9ritables probl\u00e8mes de recherche, pour lesquels (les \u00e9l\u00e8ves) ne disposent pas de solution d\u00e9j\u00e0 \u00e9prouv\u00e9e et pour lesquels plusieurs d\u00e9marches de r\u00e9solution sont possibles. C’est alors l’activit\u00e9 m\u00eame de r\u00e9solution de probl\u00e8me qui est privil\u00e9gi\u00e9e, dans le but de d\u00e9velopper chez les \u00e9l\u00e8ves un comportement de recherche et des comp\u00e9tences d’ordre m\u00e9thodologique : \u00e9mettre des hypoth\u00e8ses et les tester, \u00e9laborer une solution originale et en \u00e9prouver la validit\u00e9, argumenter. Je souscris tout \u00e0 fait \u00e0 cette vision de l’activit\u00e9 de recherche, qui est voisine de ma propre pratique, non seulement dans ma fonction de\u00a0 chercheur, mais aussi, mais surtout, dans mon activit\u00e9 quotidienne d’enseignant. En particulier j’utilise syst\u00e9matiquement, pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes, une m\u00e9thode que je n’h\u00e9site pas \u00e0 qualifier d’exp\u00e9rimentale. J’appelle ici probl\u00e8me une question math\u00e9matique, en g\u00e9n\u00e9ral ouverte, soit que je me la sois pos\u00e9e tout seul, soit qu’elle me l’ait \u00e9t\u00e9 par un coll\u00e8gue ou un \u00e9tudiant.<\/em>\u00a0(Perrin, 2007, p.7)<\/p>\n
Pour Perrin c’est la dimension exp\u00e9rimentale de l’activit\u00e9 math\u00e9matique engendr\u00e9e qui va \u00e9galement caract\u00e9riser un probl\u00e8me math\u00e9matique. Mais il est \u00e0 noter que pour certains math\u00e9maticiens, l’activit\u00e9 li\u00e9e \u00e0 un probl\u00e8me math\u00e9matique peut \u00eatre autre. Des avanc\u00e9es math\u00e9matiques peuvent ainsi se concevoir dans un cadre formel et d\u00e9ductif.<\/p>\n
Mais, dans la mesure ou nous ne consid\u00e9rons pas ici les probl\u00e9matiques formelles, par exemple de structuration des th\u00e9ories math\u00e9matiques, nous pouvons associer au terme probl\u00e8me un autre point de vue, celui des \u00ab objets \u00e0 savoir \u00bb ou \u00ab objets d’\u00e9tude \u00bb de Duchet. Pour Duchet, En math\u00e9matiques, \u00ab faire de la science \u00bb suppose la rencontre par le sujet d’un \u00ab objet de science \u00bb, d’un domaine de r\u00e9alit\u00e9 probl\u00e9matique faisant question, devenant objet d’\u00e9tude, (Duchet et Mainguen\u00e9, 2003, p.5)\u00a0Duchet insiste sur la nature de cet objet de la recherche : il importe de noter que si l’objet de recherche est li\u00e9 au \u00ab Savoir \u00bb qui en permet sa pr\u00e9sentation et sa description, il ne peut se confondre avec lui : il n’est en effet objet de recherche qu’en tant qu’il est inconnu : l’objet de recherche est \u00ab objet \u00e0 savoir \u00bb, non \u00ab objet de savoir \u00bb. Cette expression d’ \u00ab objet \u00e0 savoir \u00bb pourrait para\u00eetre ambigu\u00eb. Il ne faut ainsi pas l’entendre au sens d’objet qu’il est indispensable de conna\u00eetre comme \u00ab une le\u00e7on \u00e0 savoir \u00bb mais bien comme un objet qui va faire l’objet d’une \u00e9tude qui permettra potentiellement de le conna\u00eetre.<\/p>\n
Avec les restrictions que nous avons propos\u00e9es, le probl\u00e8me tel que nous l’entendons se rapproche d\u00e9sormais de \u00a0\u00bb l’exploration d’un objet \u00e0 savoir \u00ab\u00a0. Du point de vue \u00e9pist\u00e9mologique, c’est l’hypoth\u00e8se que nous soutenons.<\/p>\n
Attention, le probl\u00e8me tel que nous l’entendons va d\u00e9finir le projet commun, donner le sens de l’action. Bien entendu, il ne permet pas, en soi, les apprentissages pour tous. C’est la mise en \u0153uvre\u00a0de la situation qui doit s’assurer de ce point. Nous revenons dans une section connexe sur la mise en \u0153uvre\u00a0effective d’une Situation Didactique de Recherche de Probl\u00e8me, qui se doit de poss\u00e9der des caract\u00e9ristiques qui permettent l’\u00e9volution et le suivi de la relation des sujets aux objets et aux savoirs en jeu.<\/p>\n
Les situations didactique de recherche de probl\u00e8mes<\/strong><\/h2>\n
Nous commen\u00e7ons par \u00e9voquer d’anciens dispositifs port\u00e9s sur la r\u00e9solution de probl\u00e8mes ; nous pr\u00e9sentons ensuite les SDRP puis nous expliquons comment les savoirs math\u00e9matiques \u00e9mergent et comment les institutionnaliser. Pour finir nous abordons le r\u00f4le de l’enseignant lors de telles situations.<\/p>\n
Texte adapt\u00e9 de Front (2015)<\/em><\/p>\n
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<\/a><\/p>\n1. Des dispositifs plus anciens port\u00e9s par la r\u00e9solution de probl\u00e8me en classe<\/h4>\n
(Polya, 1945, 1954), (Schoenfeld, 1985) placent la r\u00e9solution de probl\u00e8me au coeur de l’activit\u00e9 math\u00e9matique. Dans cette conception la r\u00e9solution de probl\u00e8mes est le moyen d’une appropriation par les \u00e9tudiants de certaines fa\u00e7ons de faire expertes. La pratique de r\u00e9f\u00e9rence est celle des math\u00e9maticiens, vus comme des individus \u00ab disposant d’un ensemble large et structur\u00e9 de ressources : savoirs math\u00e9matiques acad\u00e9miques (concepts et th\u00e9or\u00e8mes), savoirs pratiques allant des algorithmes, routine proc\u00e9dures jusqu’aux heuristiques ou problem-solving strategies \u00bb (Gardes, 2013, p.54).<\/p>\n
Dans ces propositions novatrices au XXe si\u00e8cle sur l’approche des math\u00e9matiques en classe, l’accent est mis sur les heuristiques. De nombreux travaux se sont d\u00e9velopp\u00e9s depuis sur cette approche. Le dispositif pens\u00e9 \u00e0 l’IREM de Lyon, (Arsac et al., 1991) et (Arsac et Mante, 2007) autour des probl\u00e8mes ouverts met l’accent sur la pratique de r\u00e9solution de probl\u00e8mes. Les ateliers MATh.en.JEANS, (Duchet et Audin, 2009) visent \u00e0 faire en sorte que les \u00e9l\u00e8ves deviennent eux-m\u00eames des chercheurs. Les situations de recherche pour la classe de Math-\u00e0-modeler, (Grenier et Payan, 2002), ont pour ambition \u00ab la r\u00e9solution (au moins partielle) d’une question dont on ne conna\u00eet pas la r\u00e9ponse, et non l’apprentissage ou le travail d’une notion math\u00e9matique d\u00e9sign\u00e9e \u00bb (Site internet de l’\u00e9quipe, http:\/\/mathsamodeler.ujf-grenoble.fr\/).<\/p>\nIl est \u00e0 noter que les travaux prenant comme objet le d\u00e9veloppement d’heuristiques lui-m\u00eame n’ont jamais fait leur preuve. Les travaux de Polya sur la logique du raisonnement plausible en math\u00e9matiques, ainsi que ceux de Lakatos sur \u00ab preuves et r\u00e9futations \u00bb ont mis au jour l’importance d’une approche s’\u00e9cartant des lois de la logique d\u00e9ductive classique pour l’\u00e9tude de la d\u00e9couverte en recherche de probl\u00e8mes. Ils ont r\u00e9v\u00e9l\u00e9 le r\u00f4le de diff\u00e9rentes formes de raisonnement, g\u00e9n\u00e9ralisations, particularisations et analogies et \u00e9galement le r\u00f4le des erreurs et des r\u00e9futations comme sources de d\u00e9couverte, les dialectiques, les notions de domaine de validit\u00e9, la question de l’objet de connaissance. Ils ont ainsi ouvert la voie \u00e0 l’\u00e9tude de l’usage de la r\u00e9solution de probl\u00e8mes \u00e0 l’\u00e9cole pour l’enseignement et l’apprentissage des math\u00e9matiques. Toutefois, la m\u00e9thode propos\u00e9e par Polya n’a jamais fait ses preuves et ceci, parce que \u00ab nous savons trop peu de choses \u00e0 propos de la mani\u00e8re dont les sujets utilisent les r\u00e8gles heuristiques et absolument rien \u00e0 propos de la mani\u00e8re dont ils adaptent ces heuristiques \u00e0 diff\u00e9rentes sortes de probl\u00e8mes. \u00bb (Kilpatrick, 1969).
\nAinsi, En dehors du fait que rien ne permet d’\u00e9tayer, ni th\u00e9oriquement ni empiriquement, les fondements de cette approche, le risque de faire \u00ab de la r\u00e9solution de probl\u00e8mes pour la r\u00e9solution de probl\u00e8mes \u00bb, ind\u00e9pendamment de toute finalit\u00e9 conceptuelle, est grand (Julo, 2002, p.4). D\u00e8s lors, dans la diversit\u00e9 des approches, il semble aujourd’hui premier d’interroger la place laiss\u00e9e \u00e0 l’institutionnalisation des savoirs dans les dispositifs propos\u00e9s.\n2. Les situations didactiques de recherche de probl\u00e8me (SDRP)<\/h4>\n
Le terme \u00ab situation \u00bb renvoie ici de fa\u00e7on exacte \u00e0 la th\u00e9orie des situations didactiques. Ainsi les situations didactiques de recherche de probl\u00e8mes sont :<\/p>\n–\u00a0des situations didactiques<\/strong>, c’est-\u00e0-dire des situations o\u00f9 le ma\u00eetre cherche \u00e0 faire d\u00e9volution \u00e0 l’\u00e9l\u00e8ve d’une situation adidactique qui provoque chez lui l’interaction la plus ind\u00e9pendante et la plus f\u00e9conde possible. Pour cela, il communique ou s’abstient de communiquer, selon le cas, des informations, des questions, des m\u00e9thodes d’apprentissages, des heuristiques, etc. L’enseignant est donc impliqu\u00e9 dans un jeu avec le syst\u00e8me des interactions de l’\u00e9l\u00e8ve avec les probl\u00e8mes qu’il lui pose. (Brousseau, 1998, p.60)
\n– qui soient\u00a0des situations d’apprentissage<\/strong>, c’est-\u00e0-dire des situations o\u00f9 l’\u00e9l\u00e8ve fasse fonctionner ses connaissances et o\u00f9 la r\u00e9ponse initiale que l’\u00e9l\u00e8ve envisage \u00e0 la question pos\u00e9e doit seulement permettre de mettre en oeuvre une strat\u00e9gie de base \u00e0 l’aide de ses connaissances anciennes ; mais tr\u00e8s vite, cette strat\u00e9gie devrait se r\u00e9v\u00e9ler suffisamment inefficace pour que l’\u00e9l\u00e8ve soit oblig\u00e9 de faire des accommodations, c’est-\u00e0-dire des modifications de son syst\u00e8me de connaissances, pour r\u00e9pondre \u00e0 la situation propos\u00e9e. (Brousseau, 1998, p.300)
\n– o\u00f9\u00a0le projet commun de l’enseignant et des \u00e9l\u00e8ves est avant tout l’engagement dans la r\u00e9solution du probl\u00e8me<\/strong>\u00a0propos\u00e9 et l’\u00e9laboration de r\u00e9sultats au moins partiels, la gen\u00e8se 7 de savoirs sur des objets math\u00e9matiques nouveaux,
\n– o\u00f9 la\u00a0dimension exp\u00e9rimentale est fortement pr\u00e9sente<\/strong>.\nCe qui particularise ces situations c’est l’entr\u00e9e par le probl\u00e8me en tant que tel – le probl\u00e8me comme essence – et la construction de connaissance sur les objets en jeu.<\/p>\n
3. \u00c9mergence et institutionnalisation des savoirs math\u00e9matiques en SDRP<\/h4>\nChacun d’entre nous per\u00e7oit les math\u00e9matiques en fonction de sa propre personnalit\u00e9.
\n<\/em>C’est choquant mais c’est vrai.<\/em>\n(Yves Meyer)<\/p>\n
C’est en \u00e9laborant le jeu autour des savoirs que Brousseau a d\u00e9velopp\u00e9 la th\u00e9orie des situations. Dans ce cadre th\u00e9orique, la d\u00e9marche la plus usuelle pour construire une situation consiste \u00e0 cibler un savoir donn\u00e9 par un \u00e9nonc\u00e9 math\u00e9matique, \u00e0 rechercher un probl\u00e8me permettant de faire \u00e9merger ce savoir et de construire une situation redonnant du sens \u00e0 ce savoir. Ici, nous envisageons une entr\u00e9e dans le questionnement didactique en appui sur des probl\u00e8mes qui ont \u00e9t\u00e9, en tant que tels, rep\u00e9r\u00e9s comme porteurs de potentialit\u00e9s au sens o\u00f9 nous l’avons d\u00e9fini.<\/p>\n
Pour (Conne, 1992, p.235), les savoirs sont li\u00e9s \u00e0 l’action. Conne caract\u00e9rise la dialectique connaissance\/savoir comme suit :<\/p>\n
Lorsque le sujet reconna\u00eet le r\u00f4le actif d’une connaissance sur la situation, pour lui, le lien inducteur de la situation sur cette connaissance devient inversible, il sait. Une connaissance ainsi identifi\u00e9e est un savoir, c’est une connaissance, utile, utilisable, dans ce sens qu’elle permet au sujet d’agir sur la repr\u00e9sentation.<\/em><\/p>\n
D\u00e8s lors,<\/em>\u00a0\u00e0\u00a0la diff\u00e9rence d’une situation que l’on pourrait penser construite autour d’un seul savoir, et qui envisagerait des mobilisations de connaissances plus restreintes, une SDRP va d\u00e9voluer de fait de nombreux savoirs, ceux du r\u00e9seau de savoirs associ\u00e9 au probl\u00e8me. Au sens d\u00e9fini par Margolinas (2004), les branches didactiques potentielles se multiplient. Toutefois, dans une SDRP, ces savoirs sont associ\u00e9s \u00e0 des processus potentiellement convergents et doivent pouvoir amener\u00a0la structuration de savoirs communs qui pourront faire r\u00e9f\u00e9rence pour chacun.<\/p>\n
Pour autant, il est notable que la mise en oeuvre de situations de recherche met en \u00e9vidence les diff\u00e9rences de conceptualisation, pointe la question des institutionnalisations et des difficult\u00e9s potentielles de relations aux savoirs institu\u00e9s, difficult\u00e9s qui restent trop souvent invisibles dans d’autres contextes. L’hypoth\u00e8se que l’on peut faire est que les SDRP sont un des cadres les plus transparents pour mettre au jour ces diff\u00e9rences au moment o\u00f9 elles se cr\u00e9ent. Elles peuvent alors permettre l’identification et la confrontation de ces perceptions plurielles, l’institutionnalisation de savoirs communs, et, quand cela a du sens, un lien avec les savoirs institu\u00e9s.<\/p>\n
4. Le r\u00f4le de l’enseignant<\/h4>\n
Nous ne nous pla\u00e7ons pas ici \u00e0 la fronti\u00e8re (connaissances, outils de l’individu) \/ (savoir d’une institution), dialectique encore tr\u00e8s souvent retenue pour l’\u00e9tude des syst\u00e8mes didactiques, \u00a0mais bien dans l’\u00e9paisseur (connaissances, outils de l’individu) \/ (savoirs, prise de conscience de l’individu vers une culture commune). Ce jeu d\u00e9licat fait intervenir un autre acteur, l’enseignant. Pour celui-ci, il s’agit de porter le projet didactique, de trouver les conditions satisfaisantes du processus de d\u00e9volution\/institutionnalisation permettant la transformation du syst\u00e8me de connaissances des \u00e9l\u00e8ves. Mais la posture est complexe entre sens, attribu\u00e9 par l’enseignant \u00e0 la situation, sens que donnent les \u00e9l\u00e8ves \u00e0 cette m\u00eame situation et significations de l’objet d’\u00e9tude dans la culture math\u00e9matique. Prendre comme point de vue celui des SDRP n\u00e9cessite de tenter un \u00e9quilibre : La question du rapport entre sens et signification renvoie \u00e0 la question difficile de la compr\u00e9hension par l’enseignant du processus de probl\u00e9matisation des \u00e9l\u00e8ves. Le sens que l’enseignant attribue \u00e0 la situation est travers\u00e9 de part en part par la signification finale de l’objet […]. A partir de l\u00e0, saisir, ne serait-ce que des bribes du sens construit en situation par l’\u00e9l\u00e8ve, ne pas le confondre avec le sens que lui, enseignant, attribue \u00e0 la situation, suppose une position d’ouverture qu’il doit faire tenir avec une position de fermeture interpr\u00e9tative des actions des \u00e9l\u00e8ves (interpr\u00e9ter celles-ci du point de vue de la signification finale). Et cette position d’ouverture suppose une suspension de l’intention d’enseigner : il ne s’agit plus d’interpr\u00e9ter le sens de ce que font ou disent les \u00e9l\u00e8ves en terme de distance \u00e0 la signification vis\u00e9e, mais de tenter d’entendre ce sens pour lui-m\u00eame c’est-\u00e0-dire d’y retrouver la logique de questionnement propre \u00e0 l’\u00e9l\u00e8ve.<\/p>\n
Chacun construisant son propre sens par ses propres actions on ne peut que constater une divergence en situation. Pour autant tous ces sens cernent un m\u00eame objet d’\u00e9tude dont tous les \u00e9l\u00e8ves ont une exp\u00e9rience, certes personnelle, mais dans une culture globale et math\u00e9matique commune. Nous faisons l’hypoth\u00e8se que la convergence des sens est possible, convergence qui permettra de renforcer cette culture. Et nous imaginons en SDRP que l’enseignant participe \u00e0, plus qu’il ne dirige, la construction de ce sens commun en veillant \u00e0 la signification.<\/p>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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- la\u00a0m\u00e9thode<\/strong>\u00a0(ou les m\u00e9thodes) d’autre part, qui participe \u00e0 la fois de l’observation empirique et du raisonnement rationnel. (Bkouche, 1982, p. 307)<\/li>\n<\/ol>\n
- Les probl\u00e8mes de recherche<\/a><\/li>\n