Formation I.S.N.

Représentation binaire

Introduction

BO : Représentation binaire

Savoirs Capacités Observations
Représentation binaire :
Un ordinateur est une machine qui manipule des valeurs numériques représentées sous forme binaire.		 Manipuler à l'aide d'opérations élémentaires les trois unités de base: bit, octet, mot. On met en évidence, sous forme de questionnement, la présence du numérique dans la vie personnelle et professionnelle, au travers d'exemples.

Pourquoi le codage binaire?

  • Il faut au moins deux symboles.
  • Choix indépendant de la nature des informations décrites.
  • Plus simple à mettre en œuvre dans un ordinateur. Cela se réalise électriquement avec :
    • Un interrupteur ouvert ou fermé.
    • Un courant électrique présent ou absent.
    • Un transistor polarisé ou pas.
    • Un condensateur chargé ou pas….
  • Capacité à résister au bruit :
    • systeme bistable versus systeme tristable
    Pour un même niveau de bruit, se limiter à deux états permet de coder l’information de façon plus fiable
  • Avec le codage binaire, la taille en information du choix entre plusieurs options correspond au nombre de bits à utiliser.
    Exemple :
    • 7 nombres entiers.
    • 3 questions binaires maximum pour déterminer l’un d’eux.
    • 3 bits pour les coder.

Bit, octet et mots

Regroupement de bits

  • Avec 2 bits, il est possible de coder \(2^2\) = 4 états.
  • Avec 3 bits, il est possible de coder \(2^3\) = 8 états.
  • Avec n bits, il est possible de coder \(2^n\) états.
  • En pratique, on va regrouper les bits en :
    • Octet (en anglais Byte): groupe de 8 bits, on pourra alors coder \(2^8\) = 256 états.
    • Mot (en anglais word): dépend du système d'exploitation : 16, 32 ou 64 bits, ou du circuit considéré.
    • Double mot (en anglais double word ou dword) : 2 mots.

Ordre de grandeur

  • 1 o : un nombre entre 0 et 255, une lettre de l’alphabet.
  • 1 Ko (\(=10^3\)o): une page de texte.
  • 1 Mo (\(=10^6\)o): une photo en basse résolution
  • 1 Go (\(=10^9\)o): un peu plus qu'un CD, le quart d'un DVD.
  • 1 To (\(=10^{12}\)o): 111 à 222 films encodés en format DVD ( 4,5 ou 9 Go).

Multiples de l'octet

Préfixes SI (décimaux)

Nom Symbole Valeur Mésusage
kilooctet Ko \(10^3\) \(2^{10}\)
mégaoctet Mo \(10^6\) \(2^{20}\)
gigaoctet Go \(10^9\) \(2^{30}\)
téraoctet To \(10^{12}\) \(2^{40}\)

Préfixe binaires

Nom Symbole Valeur
kibioctet Kio \(2^{10}\)
mébioctet Mio \(2^{20}\)
gibioctet Gio \(2^{30}\)
tébioctet Tio \(2^{40}\)

Exercices

  • Enoncés
  • Solutions
Source : F.Junier

1.
On imagine un ordinateur dont la mémoire est constituée de quatre circuits mémoire un bit.
  • Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire de cet ordinateur ?
  • Même question pour un ordinateur dont la mémoire est constituée de dix circuits mémoire un bit.

2.
Si on code les entiers successifs sur un octet à partir de 0, quel est le plus grand entier qu’on peut représenter ?

3.
Calculer le nombre d'états possibles pour un mot de 32 bits, puis pour un mot de 64 bits.

4.
Si on considère qu'une adresse mémoire permet d'adresser un bloc de 4 Kio. Quel volume maximal (en Tio) permet d'adresser un mot de 32 bits ? de 64 bits ?

5.
Un disque dur a une capacité de 500 Go. Exprimer cette capacité en Gio.

6.
Sachant qu’une minute de musique au format mp3 occupe un espace de 1 Mo, combien d’heures de musique peut-on stocker sur un baladeur de 18 Go?

7.
Avec un débit de 80 Mbits/s, combien de temps faut-il pour télécharger un fichier de 1,8 Go ?

1.
\(2^4 =16 \)
\( 2^{10} =1024 \)

2.
\(2^8−1=255\).

3.
\(2^{32}=4294967296\)
et \(2^{64}=18446744073709551616\)

4.
\(2^{32}\times4×2^{10} =2^{44}\) octets soit \(2^4\) Tio
et \(2^{64}\times×4\times2^{10}=2^{76}\) octets soit \(2^{36}\) Tio (soit 232 fois plus)

5.
1 Go correspond à \(10^9\)octets et 1 Gio correspond à \(2^{30}\) octets.
donc 1 Go ≈ 0.9313 Gio
donc 500 Go \(≈500\times0,9313≈466\)Gio

6.
1 heure = 60 minutes ≈ 60 Mo et le baladeur a une capacité de 18 Go soit 18000 Mo.
Le baladeur peut donc stocker \(\frac{18000}{60} = 300\) heures de musique.

7.
8 Mbits = 1 Mo donc 80 Mbits/s = 10 Mo/s
donc \( \frac{1,8\times 1000}{10}=180\) secondes soit 3 minutes.