Ancien parcours de licence Mathématiques et Économie (site non à jour)

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====== Topologie et théorie de la mesure. Automne 2019 ======



**Cours et travaux dirigés** par Yoann Dabrowski (yoann.dabrowski[at]univ-lyon1.fr) bureau 227 &  Georges Tomanov (georges.tomanov[at]univ-lyon1.fr) bureau 229 Bâtiment Braconnier.

1er cours le mercredi 11 septembre de 7h45 à 9h45 en Amphi Dépéret (ensuite cf ADE). 1er TD le mercredi 18 septembre.

**Informations sur la dernière semaine de cours**

Dernier cours le mercredi 4 décembre 2019. TD pour les 2 groupes à l'heure du cours le vendredi 6 décembre (suivi du dernier TD normal pour le groupe B). Pas de TD la semaine du 9 décembre (contrairement à ce qui est indiqué dans ADE). 

**Déroulement du cours**
 
{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:avancement_du_cm_2019-2020.pdf |Polycopié}} de la première moitié du cours (par Georges Tomanov). 

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:coursmathecos5-20191107.pdf |Polycopié}} de la deuxième moitié du cours (par Yoann Dabrowski): ATTENTION, seuls les chapitres 1 à 5 seront vus en cours, l'annexe est HORS PROGRAMME (mais rassemble des compléments utiles et les preuves de certains résultats non prouvés durant le cours, surtout pour celles et ceux qui continueront en M1 de math)


Avancement de la 2ème partie du cours:

16/10/2019:  Ensembles convexes, cônes tangents et normaux à un ensemble convexe avec un exemple détaillé. Définition des fonctions convexes et strictement convexes, image inverse des <html>]-&infin;,a]</html> par une fonction convexe, propriétés de stabilités (max, sup, combinaisons linéaires à coefficients positifs), unicité d'un minimiseur d'une fonction strictement convexe, caractérisation par la croissance des taux d'accroissements. (p-1 à 4  et Prop 1.5 de la page 5, avec toutes les preuves sauf preuve de prop 1.3)

18/10/2019: Fonctions convexes sur R (section 2.1: inégalités des pentes Prop* 1.8, dérivées à droites et à gauche, caractérisation par croissance de la dérivée et positivité de la dérivée seconde) et Caractérisations différentielles des fonctions convexes sur un e.v.n (section 3, Thm* 1.10 de caractérisation par la position des plans tangents au graphe, la monotonie de la différentielle ou la positivité de la différentielle seconde) (p5 à 8 avec toutes les preuves).

23/10/2019: Fin du chapitre sur la convexité: Critère de minimum global du premier ordre Thm* 1.13. Application au théorème de projection sur un convexe fermé dans R<sup>n</sup> Thm* 1.14. Inégalité de Jensen Thm*1.15. Chapitre 2: Début des intégrales à paramètres. Théorèmes de continuité Thm*2.1 et dérivabilité avec condition de domination. (p9 à 14 avec toutes les preuves)

25/10/2019: Critère pour le caractère C<sup>k</sup> des intégrales à paramètre. Exemple de la fonction Gamma. Définition de la mesure produit (avec preuve) et théorèmes de Fubini-Tonelli Thm*2.7 et de Fubini Thm*2.8. (admis) (p 16 à 20)

8/11/2019: Thm* 2.11 de transfert, Changement de variable affine. Rappel sur les difféomorphismes. Enoncé du thm* 2.17 de changement de variable général et premier exemple. (p 21 à 25)

13/11/2019: Mesures à densité (Prop 2.10) et exemple de changement de variables en coordonnées polaires (ex 8 et 9). Chapitre 3: définition des evn complets et Prop* 3.2 caractérisation en terme de série absolument convergente. Relation complétude/fermeture. Exemple des fonctions continues bornées à valeurs dans un Banach. Séparabilité d'un espace métrique (exemple de R^n et des sous-parties). (p 26 à 30)

15/11/2019: Prop* 3.12: Caractérisation des applications linéaires continues (comme applications linéaires bornées sur la boule unité). Cas des formes linéaires. Norme subordonnée. Complétude de L(E,F) si F complet. Cas des espaces de dimensions finies (complétude, continuité des applications linéaires, équivalence des normes). Thm* 3.19 d'approximation de Weierstrass. Chap 4 Définition de <html>L<sup>&infin;</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html> norme et complétude. (p30 à 35) 
 
20/11/2019:  Définition de <html>L<sup>p</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html> pour p dans <html>[1,+&infin;[</html>. Inégalité de Hölder (Lemme* 4.4) Inégalité de Minkowski (Thm* 4.5) Théorème* 4.7 de Riesz-Fischer de complétude de <html>L<sup>p</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html>. Application à la relation entre la convergence dans L<sup>p</sup> et la convergence presque partout. Norme de  <html>L<sup>&infin;</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html> comme limite des normes de <html>L<sup>p</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html>. Espaces de suites (cas discret). (p 37-39 et 41, la page 40 sera vu vendredi prochain).

20/11/2019: Rappel du théorème de sommation par paquet et application. Résultats de densité. Définition d'un produit scalaire. Prop* 5.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et identité du parallélogramme. Identité de polarisation. (p40,41, fin p 42, p 43-44, début p 45)

27/11/2019:(30 minutes après CC2) Notion d'espace de Hilbert et exemple de <html>L<sup>2</sup>(&#x03a9;,T,&#x03bc;)</html>. Théorème de projection sur un convexe fermé (dans un espace de Hilbert Thm* 5.2). (fin p 45 et p 46)

29/11/2019: Théorème de projection sur un sous-espace fermé. Décomposition en somme directe orthogonale. Théorème de représentation de Riesz. Formule de calcul de la projection sur un sous espace de dimension finie (formule en terme d'une base ou d'une base orthonormale). Exemple de la projection sur <html>L<sup>2</sup>(&#x03a9;,T(A),&#x03bc;)</html>. Définition d'une base hilbertienne. (p 47-49 et début p 50)

04/12/2019: Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Thm* 5.9 des bases (avec sa preuve).  Exemple de la base des Séries de Fourier. Exemple de la base hilbertienne des polynômes d'Hermite (Thm* 5.10) .


**Fiches de TD**

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille1-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 1}} ({{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille1-matheco_2019-2020correction.pdf |Correction partielle}})

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille2-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 2}} ({{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille2-matheco_2019-2020correction.pdf |Correction partielle}})

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille3-matheco_2019-2020.pdf |
Feuille de TD 3}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille4-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 4}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 5}} ({{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2019-2020correction.pdf |Correction très partielle}})

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 6}} {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2019-2020correction.pdf |Correction des exercices d'entrainements}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2019-2020.pdf |
Feuille de TD 7}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille8-matheco_2019-2020.pdf |Feuille de TD 8}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille9-matheco_2019-2020.pdf |
Feuille de TD 9}}

**Évaluation en contrôle continu intégral**

  * 2 contrôles de 1H (total 30%) les mercredi 9 octobre  de 10H à 11H et 27 novembre de 8H à 9H
  * 1 Partiel (2h) (30%) le 6 novembre de 7H45 à 9H45.
  * épreuve commune anonyme (examen de 3h) (40%) en janvier.

**Contrôles continus**

  * Contrôle Continu 1 (mercredi 9 octobre de 10H à 11H: Groupe A en Thémis 67 et groupe B en Omega 03, pas de TD de 11H à 12H après le CC, TD normalement à 14H pour le groupe A)

  * Partiel le 6 novembre de 7H45 à 9H45 en Thémis 58. (pas de TD de 10H à 12H après le partiel, TD normalement à 14H pour le groupe A). Consultation des copies : le 20 novembre de 12H15 à 13H15 si votre correcteur est Y. Dabrowski bureau Braconnier 227, et le 22 novembre de 12H15 à 13H15 si votre correcteur est G. Tomanov, bureau Braconnier 229. {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:partiel-math-eco-mes-et-top-6.11.2019.pdf |Sujet}} et sa {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:partiel-math-eco-mes-et-top-6.11.2019correction.pdf |Correction}}


/*Programme des exercices TD 1 à 5 (jusqu'au vendredi 25 octobre), et programme des questions de cours (incluant le programme du CC1 pour les chapitres 1 à 3):

  Définitions: 1.1 (dénombrable), 1.5 (limite supérieure), 2.2 (clan), 
  2.5(tribu), 2.11(classe monotone), 2.12 (mesure),  2.22 (tribu 
  borélienne),  2.32 (fonction borélienne),  2.45 (fonction étagée),
  2.59 (ensemble mu-négligeable et propriété vrai mu-presque partout),
  3.1 (intégrale d'une fonction étagée positive), 
  3.3 (intégrale d'une fonction borélienne positive) ,  
  3.10 (fonction intégrable et son intégrale)

  Propositions, théorèmes, corollaires:
  2.13 (propriétés de base des mesures),
  2.15 (Thm définissant la tribu engendrée),
  2.25 (famille génératrice usuelle des boréliens de R^n),
  2.28 (Thm définissant la tribu engendrée par f),
  2.33 (mesurabilité en terme de famille génératrice),
  2.39-2.44 (en paire, relation de la mesurabilité aux limites),
  2.50 (Thm de classe monotone),
  2.51 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures),
  2.53 (Thm de prolongement pour les mesures),
  2.55 (Thm définissant la mesure de Lebesgue),
  3.6 (Thm de convergence monotone),
  3.8 (lemme de Fatou),
  3.11 (propriétés des intégrales de fonctions intégrables), 
  3.13 (relation de l'intégrabilité aux limites)
  3.14 (Thm de convergence dominée de Lebesgue)
  3.17 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue)
  4.29 (Stabilité des ouverts et des fermés)
  5.8 (Caractérisation topologique de la continuité)
  5.18 (sur les limites de fonctions continues)
  6.7 (Extrema de fonctions continues)
  6.9 (compacts de \R^n)
  6.11 (théorème de Heine)
  6.19 (Caractérisation topologique de la compacité)

  Il y aura une question de cours sur le chapitre convexité de la 2ème partie du cours parmi:
  Prop 1.8 (inégalité des pentes)
  Thm 1.10 (caractérisation différentielle de la convexité)
  Thm 1.13 (critère de minimum global du 1er ordre)
  Thm 1.14 (Théorème de projection sur un convexe fermé de \R^n)
  Thm 1.15 (Inégalité de Jensen).*/
  

  * Contrôle Continu 2 (mercredi 27 novembre de 8H à 9H en Thémis 58: cours à 9H ensuite et TD normalement à 10H) {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:cc2-math.eco-mesures_et_topo-20191127.pdf |Sujet}} et sa {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:cc2-math.eco-mesures_et_topo-20191127correction.pdf |Correction}} Les copies seront à l'heure du cours (7H45) les 04/12 et 06/12.

Programme des exercices TD 6 et 7 (partie intégrale à paramètre, jusqu'au mercredi 20 novembre 12H), et programme des questions de cours (dans la deuxième partie du cours):

  Prop 1.8 (inégalité des pentes)
  Thm 1.10 (caractérisation différentielle de la convexité)
  Thm 1.13 (critère de minimum global du 1er ordre)
  Thm 1.14 (Théorème de projection sur un convexe fermé de \R^n)
  Thm 1.15 (Inégalité de Jensen).

  Thm 2.1 Théorème de continuité avec condition de domination
  Thm 2.7 Théorème de Fubini-Tonelli 
  Thm 2.8 Théorème de Fubini 
  Thm 2.11 Théorème de transfert
  Thm 2.17 Théorème de changement de variable

  Prop 3.2 caractérisation de la complétude en terme de série.
  Prop 3.12 formulation de la continuité des applications linéaires entre evn
  Thm 3.19 Théorème d'approximation de Weierstrass

* Examen le jeudi 16 janvier de 8H à 11H en amphi Déambulatoire 1. Programme des exercices sur tous les TDs et Programme des questions de cours de l'examen:

  
  Théorèmes, corollaires de la partie I:
  2.15 (Thm définissant la tribu engendrée),
  2.50 (Thm de classe monotone),
  2.51 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures),
  2.55 (Thm définissant la mesure de Lebesgue),
  3.6  (Thm de convergence monotone),
  3.8 (lemme de Fatou)
  3.14 (Thm de convergence dominée de Lebesgue)
  3.17 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue)
  6.11 (théorème de Heine)
  6.19 (Caractérisation topologique de la compacité)

  Théorèmes de la fin de la partie II du cours:
  Prop 3.12 formulation de la continuité des applications linéaires entre evn
  Thm 3.19 Théorème d'approximation de Weierstrass
  Lemme 4.4 Inégalité de Hölder 
  Thm 4.5 Inégalité de Minkowski 
  Thm 4.7 de Riesz-Fischer 
  Prop 5.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et identité du parallélogramme.
  Thm 5.2 Théorème de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert.
  Thm 5.6 Théorème de représentation de Riesz.
  Thm 5.9 des bases hilbertiennes.
  Thm 5.10 (base hilbertienne pour la mesure gaussienne standard)



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