Ancien parcours de licence Mathématiques et Économie (site non à jour)

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====== Topologie et théorie de la mesure. Automne 2021 ======

[[programmes_ue_l3:topologie-mesure:2021_22|Automne 2021]]

**Avancement du cours**


{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:avancement_cm_math-eco_2021-22.pdf |}}


**Feuilles de TD et corrections**

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille1-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 1 - Opérations sur les ensembles, dénombrabilité (révisions)}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille1-matheco_2021-2022_correction_partiellemas.pdf | Correction - Feuille de TD 1}} (mise à jour le 01/10/2021)

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille2-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 2 - Espaces métriques, espaces normés}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:Feuille2-MathEco_2021-2022 Correctionpartiellemas.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 2}} (mise à jour le 11/10/2021)

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille3-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 3 - Clans, tribus, classes monotones, fonctions mesurables}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:Feuille3-MathEco_2021-2022Correction.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 3}} (mise à jour le 18/10/2021)

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille4-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 4 - Espace mesurés}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:correction_feuille4-matheco_2021-2022.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 4}} (mise à jour le 03/11/2021)

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 5 - Intégration}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille5-matheco_2021-2022correction.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 5}} 

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 6 - Intégrales à paramètres}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille6-matheco_2021-2022correction.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 6}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 7 - Convexité}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille7-matheco_2021-2022correction.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 7}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille8-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 8 - Espaces complets, séparables et L^p}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille8-matheco_2020-2021correction.pdf | Correction partielle - Feuille de TD 8}}

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:feuille9-matheco_2021-2022.pdf | Feuille de TD 9 - Espaces de Hilbert}} (non-corrigée)



**Autres sources d'exercices corrigés**

[[http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/selcor.html|Banque d'exercices corrigés de Topologie (Université de Lille)]]

[[https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathspe/feuillesexo/topoevn&type=fexo|Exercices corrigés de Topologie sur Bibm@th.net]]

**Contrôles continus**

**Contrôle continu 1:**

  * Contrôle continu 1: mercredi le 20 octobre 2021 dans les salles prévues pour les TD de 15H45 à 17H15. Programme des exercices sur tous les TD jusqu'au 13 octobre 2021 (y compris) et programme des questions du cours dans les deux listes suivantes: 

  *Définitions à réviser: 

1.1 (dénombrable), 1.5 (limite supérieure et limite inférieure), 2.1 (distance),
2.4(espace normé), 2.7 (boule ouverte, boule fermée), 2.16 (normes équivalentes), 2.18 (distances équivalentes), 2.26 (ouverts), 2.35 (espace topologique),
2.37 et 2.39 (intérieur et adhérence d’un ensemble), 3.18 (convergence uniforme), 
4.2 (compacité), 4.18 (homéomorphisme), 5.2 (clan),
5.5(tribu), 5.11(classe monotone), 5.12 (mesure),  5.20 (tribu
produit), 5.24 (tribu
borélienne), 5.25 (base d'un espace topologique), 5.32 (application mesurable/borélienne),  5.48 (fonction étagée),
5.62 (ensemble négligeable), 5.63 (mesure image), 6.1 (intégrale d'une fonction étagée positive),
6.3 (intégrale d'une fonction borélienne positive).
 
  *Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

2.19 (suites par rapport aux distances équivalentes),
2.30 (critère pour qu’un ensemble d’un espace métrique soit ouvert),
2.33 (unions/intersections des ouvert/fermés),
3.9 et 3.10 (fonctions continues),
4.3 (critère de compacité),
4.5 (produit direct des espaces métriques compacts),
4.7 (sous-ensemble compact d’un espace métrique),
4.8 (sous-ensemble fermé d’un espace métrique compact),
4.9 (fonctions continues sur un espace métrique compact),
4.11 (les compacts de \R^n),
4.13 (théorème de Heine),
4.14 (équivalence de normes sur un espace vectoriel de dimension finie sur les réels),
5.13 (propriétés de base des mesures),
5.15(Thm définissant la tribu engendrée),
5.21 (générateurs d'une tribu produit),
5.28 (famille génératrice usuelle des boréliens de \R^n),
5.36 (mesurabilité en terme de famille génératrice),
5.42 et 5.47 (en pair, relation de la mesurabilité aux limites),
5.49 (fonctions boréliennes et fonctions étagées),
5.53 (Thm de classe monotone),
5.54 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures),
5.56 (Thm de prolongement pour les mesures),
5.58 (Thm définissant la mesure de Lebesgue).

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:cc1_topo_et_mesures-20.10.2021_final.pdf | CC1 Sujet}} - {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:correction_cc1_topo_et_mesures-20.10.2021_final.pdf | CC1 Correction}} 



**Contrôle continu 2:**

  * Contrôle continu 2: le mercredi 1 décembre 2021 de 9h45 à 11h15 dans l'amphi prévu pour le CM.
Programme des exercices: les fiches TD 4, 5, 6 et la partie de 7 discutée pendant les TD du 24 novembre. Programme des questions du cours dans les deux listes suivantes: 
 
  *Définitions à réviser:
 
5.48 (fonction étagée), 6.1 (intégrale d’une fonction étagée, positive et borélienne), 6.3 (intégrale d’une fonction borélienne et positive), 6.20 (fonction \mu-intégrable et son intégrale), 6.26 (la mesure image), 7.2 (intégrale dépendant de paramètre), 7.9 (mesure \sigma-finie), 7.10 (la tribu produit), 7.27 (la matrice jacobienne), 8.2 (ensemble convexe), 8.6 (le cône tangent et le cône normal),8.8 (fonction convexe).  
 
 
  *Théorèmes, propositions, corollaires à réviser:

6.6 (inégalité de Markov), 6.12 (Thm de convergence monotone de Levi),  
6.18 (Lemme de Fatou), 6.24 (relation de l'intégrabilité aux limites), 6.25 (Thm de convergence dominée de Lebesgue), 6.27 (Thm de transfert),
6.30 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue), 7.3 (théorème de continuité avec condition de domination),
7.7 (théorème de dérivabilité avec condition de domination),
7.12 (théorème définissant la mesure produit), 7.13 (théorème de Fubini-Tonelli), 7.15 (théorème de Fubini), 7.31 (le théorème de changement de variables),
8.12 (inégalité des pentes), 8.16 (caractérisation différentielle de la convexité), 
8.21 (critère de minimum global du 1er ordre), 8.22 (théorème de projection sur un convexe fermé de \R^n),
8.24 (inégalité de Jensen), 8.34 (inégalité de Hölder). 

{{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:cc2_topo_et_mesures-1.12.2021.pdf | CC2 Sujet}} - {{ :programmes_ue_l3:topologie-mesure:correction_cc2_topo_et_mesures-1.12.2021.pdf | CC2 Correction}}

**Examen terminal:**

  *Examen terminal: le mercredi 5 janvier de 10h00 à 12h00, Amphie Ampère. Programme des exercices sur tous les TD et programme des questions de cours sur les listes ci-dessus de CC1 et CC2 et sur les deux  listes **complémentaires** ci-dessous:
 
  *Définitions à réviser: 

9.1 (majorant essentiel), 9.11 (espace de Banach), 9.14 (convergence de probabilité), 10.15 (suite de Cauchy d'un espace métrique), 10.18 (espace métrique complet), 10.26 (espace de Hilbert), 10.44 (base hilbertienne).

  *Théorèmes, propositions, corollaires à réviser:
 
9.5 (inégalité de Minkowski), 9.6 et 9.7 (relations entre les normes \| . |\_p), 9.12 (théorème de Riesz-Fischer), 10.3 (identité de la polarisation), 10.4 (identité du parallélogramme), 10.5 (inégalité de Cauchy-Schwarz), 10.34 (théorème de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert), 10.37 (théorème de projection sur un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert), 10.43 (théorème de description des formes linéaires continues d'un espace de Hilbert et de leurs normes), 10.54 (inégalité de Bessel), 10.55 (identités de Parseval).
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