====== Algèbre linéaire et bilinéaire. Année 2018/19 =======


** Cours **. Lundi après-midi 14h-16h \\
Chargé de cours. [[roblot@math.univ-lyon1.fr|Xavier Roblot]]


**Travaux dirigés**. Vendredi matin 9h45-13h \\
Chargés de travaux dirigés. 
[[iohara@math.univ-lyon1.fr|Kenji Iohara]] (Groupe A)
[[abdellatif.agouzal@univ-lyon1.fr|Abdellatif Agouzal]] (Groupe B)


** Début des TD. ** Vendredi 1er février


** Dates des CC. ** \\
CC1. Vendredi 1 mars (Amphi Thémis 7 - 10h-12h) -- {{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cc1.pdf |Sujet}} \\
CC2. Vendredi 29 mars (Amphi Thémis 7 - 10h-12h) -- {{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cc2.pdf |Sujet}}\\
CC3. Lundi 29 avril (Amphi Thémis 7 - 14h-16h) -- {{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cc3.pdf |Sujet avec solutions}}\\
CF. Lundi 27 mai 2019 (14h-16h) -- {{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cf.pdf |Sujet avec solutions}}\\

**Programme.** \\
__Algèbre linéaire__ Rappels sur les espaces vectoriels et les matrices. Déterminant et trace. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal. Diagonalisation des matrices. Puissances d'une matrice, exponentielle de matrices. \\
__Algèbre bilinéaire__ Formes bilinéaires, formes quadratiques, réduction de Gauss, signature, théorème de Sylvester. Produit scalaire, Espaces vectoriels euclidiens. Réduction des matrices symétriques réelles.

**Avancée du cours.** ({{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:cours.pdf |notes}}) \\
__1er cours__ (25/01). **Chapitre 1**. //Rappels sur les espaces vectoriels// : espace vectoriel, sous-espace vectoriel ; famille libre, famille génératrice, base, dimension ; application linéaire, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang ; forme linéaire ; somme directe. Rappels sur les matrices : définition ; matrice diagonale, matrice triangulaire, matrice symétrique, matrice anti-symétrique. \\
__2e cours__ (28/01). Produit de matrices, matrices nilpotentes, matrices inversibles, matrices semblables, matrices équivalentes ; image, noyau et rang d'une matrice ; systèmes d'équations linéaires homogènes ; matrice d'une application linéaire ; matrice de passage ; trace d'une matrice. //Déterminant d'une matrice// : définition par récurrence. \\ 
__3e cours__ (04/02). Déterminant des matrices triangulaires et diagonales ; déterminant d'une famille de vecteurs ; premières propriétés du déterminant ; déterminants et bases ; multiplicativité du déterminant, caractérisation des matrices inversibles ; méthodes de calcul du déterminant ; déterminant d'un endomorphisme. //Valeurs propres et vecteurs propres//. \\
__4e cours__ (11/02). Rappels sur les polynômes : degré, coefficient dominant, division euclidienne, PGCD, racine et multiplicité, polynôme scindé ; polynôme caractéristique et valeurs propres ; polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton ; valeurs propres d'un endomorphisme. //Diagonalisation//. \\
__5e cours__ (25/02). Problème de la diagonalisation ; caractérisation des matrices diagonalisables ; méthode de diagonalisation. Applications de la diagonalisation. \\
__6e cours__ (04/03). **Chapitre 2**. //Formes bilinéaires// : définitions, forme matricielle ; formes bilinéaires symétriques, alternées ; noyau et rang d'un forme bilinéaire. //Orthogonalité//. \\
__7e cours__ (11/03). Orthogonal d'un sous-espace vectoriel. //Formes quadratiques// : définition, forme polaire et matrice d'une forme quadratique. \\
__8e cours__ (18/03). Noyau et rang d'une forme quadratique. Forme quadratique non dégénérée. Vecteur isotrope et cône isotrope d'une forme quadratique. //Réduction des formes quadratiques//. Base duales et contraduales. Formulations du problème de la réduction des formes quadratiques. Preuve de l'existence des bases orthogonales. \\
__9e cours__ (25/03). Réduction de Gauss. Classification des formes quadratiques sur **C**. \\
__10e cours__ (01/04). Formes quadratiques réelles : signature, formes positives et négatives, formes définies. //Espaces euclidiens//. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Produit scalaire et norme d'un espace euclidien. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt. \\
__11e cours__ (08/04). Matrices orthogonales. Adjoint d'un endomorphisme. Endomorphismes auto-adjoints et orthogonaux. Diagonalisation des endomorphismes symétriques. \\ 


** Fiches de TD. ** \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_1.pdf|Fiche 1.}} \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_2.pdf|Fiche 2.}} \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_3.pdf|Fiche 3.}} \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_4.pdf|Fiche 4.}} \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_5.pdf|Fiche 5.}} \\
{{programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:fiche_6.pdf|Fiche 6.}}