====== Algèbre linéaire et bilinéaire. Année 2021/22 ======= ** Cours **. Lundi après-midi 14h-15h30 ou 14h-17h15 (voir le planning des cours ci-dessous) \\ Chargé de cours. [[roblot@math.univ-lyon1.fr|Xavier Roblot]] **Travaux dirigés**. Vendredi matin 9h45-13h \\ Chargé de travaux dirigés. [[Said.Jabrane@ac-lyon.fr|Saïd Jabrane]] **Programme.** \\ __Algèbre linéaire__ Rappels sur les espaces vectoriels et les matrices. Déterminant et trace. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal. Diagonalisation des matrices. Puissances d'une matrice, exponentielle de matrices. \\ __Algèbre bilinéaire__ Formes bilinéaires, formes quadratiques, réduction de Gauss, signature, théorème de Sylvester. Produit scalaire, Espaces vectoriels euclidiens. Réduction des matrices symétriques réelles. ** Dates prévues pour les CC. ** \\ CC1. Vendredi 18 mars -- {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2022_cc1.pdf | Sujet}} \\ CC2. Lundi 4 avril -- {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2022_cc2.pdf | Sujets}} \\ ** Annales pour le CT. ** \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2018_cf.pdf | CT 2018 }} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cf.pdf | CT 2019 }} -- {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_cf_solution_.pdf | CT 2019 (Solution) }} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_cf.pdf | CT 2020 (exemple) }} **Planning et avancée du cours.** ({{:programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:cours.pdf |notes de cours}}) \\ __1er cours__ (31/01 -- Grignard 24 -- 14h-17h15). **Chapitre 1**. //Rappels sur les espaces vectoriels// : espace vectoriel, sous-espace vectoriel ; famille libre, famille génératrice, base, dimension ; application linéaire, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang ; forme linéaire ; somme directe. Rappels sur les matrices : définition ; matrice diagonale, matrice triangulaire, matrice symétrique, matrice anti-symétrique. __2e cours__ (07/02 -- Lippmann 207 -- 14h-15h30). Produit de matrices, matrices nilpotentes, matrices inversibles, matrices semblables, matrices équivalentes ; image, noyau et rang d'une matrice ; systèmes d'équations linéaires homogènes. __3e cours__ (14/02 -- Lippmann 107 -- 14h15h30). matrice d'une application linéaire ; matrice de passage ; trace d'une matrice. __4e cours__ (28/02 -- Lippmann 207 -- 14h-17h15). //Déterminant d'une matrice// : définition par récurrence. Déterminant des matrices triangulaires et diagonales ; déterminant d'une famille de vecteurs ; premières propriétés du déterminant ; déterminants et bases ; multiplicativité du déterminant, caractérisation des matrices inversibles ; méthodes de calcul du déterminant. déterminant d'un endomorphisme. __5e cours__ (07/03 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). //Valeurs propres et vecteurs propres//. Rappels sur les polynômes : degré, coefficient dominant, division euclidienne, PGCD, racine et multiplicité, polynôme scindé ; polynôme caractéristique et valeurs propres. __6e cours__ (14/03 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). Polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton. Valeurs propres d'un endomorphisme. //Diagonalisation//. Problème de la diagonalisation ; caractérisation des matrices diagonalisables. __7e cours__ (21/03 -- Lippmann 107 -- 14h-17h15). Méthode de diagonalisation. Applications de la diagonalisation. **Chapitre 2**. //Formes bilinéaires// : définitions, forme matricielle. Formes bilinéaires symétriques, alternées ; noyau et rang d'un forme bilinéaire. __8e cours__ (28/03 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). //Orthogonalité//. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel. __9e cours__ (04/04 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). CC2 __10e cours__ (11/04 -- Lippmann 107 -- 14h-17h15). //Formes quadratiques// : définition, forme polaire et matrice d'une forme quadratique. Noyau et rang d'une forme quadratique. Forme quadratique non dégénérée. Vecteur isotrope et cône isotrope d'une forme quadratique. //Réduction des formes quadratiques//. Base duales et contraduales. Formulations du problème de la réduction des formes quadratiques. Preuve de l'existence des bases orthogonales. Réduction de Gauss. /* \\ [[https://univ-lyon1.webex.com/univ-lyon1/lsr.php?RCID=647a81c2f8da478f851d3e709e0acb51|Vidéo du cours]] (mot de passe : CmrJv8mY) {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-03-22.cours.pdf |Cours annoté}} {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-03-22.notes.pdf |Notes additionnelles}} Classification des formes quadratiques sur **C**. Formes quadratiques réelles : signature, formes positives et négatives, formes définies. //Espaces euclidiens//. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Produit scalaire et norme d'un espace euclidien. \\ [[https://univ-lyon1.webex.com/univ-lyon1/lsr.php?RCID=90c623c1e6b04cbbb6328f36b6836890|Vidéo du cours (partie 1)]] (mot de passe : YwHNsPd3) [[https://univ-lyon1.webex.com/univ-lyon1/lsr.php?RCID=e5e58708bd404075905187befc448b8c|Vidéo du cours (partie 2)]] (mot de passe : mWwscbc5) {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-03-29.cours.pdf |Cours annoté}} {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-03-29.notes.pdf |Notes additionnelles}} Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt. Matrices orthogonales. \\ [[https://univ-lyon1.webex.com/univ-lyon1/lsr.php?RCID=c99db732eaac4e9cb926f5a8fab04a8f|Vidéo du cours]] (mot de passe : 2UicQr2q) {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-04-27.cours.pdf |Cours annoté}} {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-04-27.notes.pdf |Notes additionnelles}} */ __11e cours__ (25/04 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). /* Adjoint d'un endomorphisme. Endomorphismes auto-adjoints et orthogonaux. Diagonalisation des endomorphismes symétriques. \\ [[https://univ-lyon1.webex.com/univ-lyon1/lsr.php?RCID=06e3b254d6024093a376fad40b0f684a|Vidéo du cours]] (mot de passe : HwDMgnw6) {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-05-03.cours.pdf |Cours annoté}} {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2021-05-03.notes.pdf |Notes additionnelles}} */ __12e cours__ (02/05 -- Lippmann 107 -- 14h-15h30). ** Fiches de TD. ** \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_1.pdf | Fiche 1}} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_2.pdf | Fiche 2}} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_3.pdf | Fiche 3}} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_4.pdf | Fiche 4}} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_5.pdf | Fiche 5}} \\ {{ :programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_fiche_6.pdf | Fiche 6}} ** Archives. ** \\ [[programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2018_19|Année 2018/19]] \\ [[programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2019_20|Année 2019/20]] \\ [[programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2020_21|Année 2020/21]]