Cours et travaux dirigés par Yoann Dabrowski (yoann.dabrowski[at]univ-lyon1.fr) bureau 227 & Georges Tomanov (georges.tomanov[at]univ-lyon1.fr) bureau 229 Bâtiment Braconnier.
1er cours le mercredi 11 septembre de 7h45 à 9h45 en Amphi Dépéret (ensuite cf ADE). 1er TD le mercredi 18 septembre.
Informations sur la dernière semaine de cours
Dernier cours le mercredi 4 décembre 2019. TD pour les 2 groupes à l'heure du cours le vendredi 6 décembre (suivi du dernier TD normal pour le groupe B). Pas de TD la semaine du 9 décembre (contrairement à ce qui est indiqué dans ADE).
Déroulement du cours
Polycopié de la première moitié du cours (par Georges Tomanov).
Polycopié de la deuxième moitié du cours (par Yoann Dabrowski): ATTENTION, seuls les chapitres 1 à 5 seront vus en cours, l'annexe est HORS PROGRAMME (mais rassemble des compléments utiles et les preuves de certains résultats non prouvés durant le cours, surtout pour celles et ceux qui continueront en M1 de math)
Avancement de la 2ème partie du cours:
16/10/2019: Ensembles convexes, cônes tangents et normaux à un ensemble convexe avec un exemple détaillé. Définition des fonctions convexes et strictement convexes, image inverse des ]-∞,a] par une fonction convexe, propriétés de stabilités (max, sup, combinaisons linéaires à coefficients positifs), unicité d'un minimiseur d'une fonction strictement convexe, caractérisation par la croissance des taux d'accroissements. (p-1 à 4 et Prop 1.5 de la page 5, avec toutes les preuves sauf preuve de prop 1.3)
18/10/2019: Fonctions convexes sur R (section 2.1: inégalités des pentes Prop* 1.8, dérivées à droites et à gauche, caractérisation par croissance de la dérivée et positivité de la dérivée seconde) et Caractérisations différentielles des fonctions convexes sur un e.v.n (section 3, Thm* 1.10 de caractérisation par la position des plans tangents au graphe, la monotonie de la différentielle ou la positivité de la différentielle seconde) (p5 à 8 avec toutes les preuves).
23/10/2019: Fin du chapitre sur la convexité: Critère de minimum global du premier ordre Thm* 1.13. Application au théorème de projection sur un convexe fermé dans Rn Thm* 1.14. Inégalité de Jensen Thm*1.15. Chapitre 2: Début des intégrales à paramètres. Théorèmes de continuité Thm*2.1 et dérivabilité avec condition de domination. (p9 à 14 avec toutes les preuves)
25/10/2019: Critère pour le caractère Ck des intégrales à paramètre. Exemple de la fonction Gamma. Définition de la mesure produit (avec preuve) et théorèmes de Fubini-Tonelli Thm*2.7 et de Fubini Thm*2.8. (admis) (p 16 à 20)
8/11/2019: Thm* 2.11 de transfert, Changement de variable affine. Rappel sur les difféomorphismes. Enoncé du thm* 2.17 de changement de variable général et premier exemple. (p 21 à 25)
13/11/2019: Mesures à densité (Prop 2.10) et exemple de changement de variables en coordonnées polaires (ex 8 et 9). Chapitre 3: définition des evn complets et Prop* 3.2 caractérisation en terme de série absolument convergente. Relation complétude/fermeture. Exemple des fonctions continues bornées à valeurs dans un Banach. Séparabilité d'un espace métrique (exemple de R^n et des sous-parties). (p 26 à 30)
15/11/2019: Prop* 3.12: Caractérisation des applications linéaires continues (comme applications linéaires bornées sur la boule unité). Cas des formes linéaires. Norme subordonnée. Complétude de L(E,F) si F complet. Cas des espaces de dimensions finies (complétude, continuité des applications linéaires, équivalence des normes). Thm* 3.19 d'approximation de Weierstrass. Chap 4 Définition de L∞(Ω,T,μ) norme et complétude. (p30 à 35)
20/11/2019: Définition de Lp(Ω,T,μ) pour p dans [1,+∞[. Inégalité de Hölder (Lemme* 4.4) Inégalité de Minkowski (Thm* 4.5) Théorème* 4.7 de Riesz-Fischer de complétude de Lp(Ω,T,μ). Application à la relation entre la convergence dans Lp et la convergence presque partout. Norme de L∞(Ω,T,μ) comme limite des normes de Lp(Ω,T,μ). Espaces de suites (cas discret). (p 37-39 et 41, la page 40 sera vu vendredi prochain).
20/11/2019: Rappel du théorème de sommation par paquet et application. Résultats de densité. Définition d'un produit scalaire. Prop* 5.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et identité du parallélogramme. Identité de polarisation. (p40,41, fin p 42, p 43-44, début p 45)
27/11/2019:(30 minutes après CC2) Notion d'espace de Hilbert et exemple de L2(Ω,T,μ). Théorème de projection sur un convexe fermé (dans un espace de Hilbert Thm* 5.3). (fin p 45 et p 46)
29/11/2019: Théorème de projection sur un sous-espace fermé. Décomposition en somme directe orthogonale. Théorème de représentation de Riesz. Formule de calcul de la projection sur un sous espace de dimension finie (formule en terme d'une base ou d'une base orthonormale). Exemple de la projection sur L2(Ω,T(A),μ). Définition d'une base hilbertienne. (p 47-49 et début p 50)
04/12/2019: Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Thm* 5.9 des bases (avec sa preuve). Exemple de la base des Séries de Fourier. Exemple de la base hilbertienne des polynômes d'Hermite (Thm* 5.10) .
Fiches de TD
Feuille de TD 1 (Correction partielle)
Feuille de TD 2 (Correction partielle)
Feuille de TD 5 (Correction très partielle)
Feuille de TD 6 Correction des exercices d'entrainements
Évaluation en contrôle continu intégral
Contrôles continus
Théorèmes, corollaires de la partie I: 2.15 (Thm définissant la tribu engendrée), 2.50 (Thm de classe monotone), 2.51 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures), 2.55 (Thm définissant la mesure de Lebesgue), 3.6 (Thm de convergence monotone), 3.8 (lemme de Fatou) 3.14 (Thm de convergence dominée de Lebesgue) 3.17 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue) 6.11 (théorème de Heine) 6.19 (Caractérisation topologique de la compacité)
Théorèmes de la fin de la partie II du cours: Prop 3.12 formulation de la continuité des applications linéaires entre evn Thm 3.19 Théorème d'approximation de Weierstrass Lemme 4.4 Inégalité de Hölder Thm 4.5 Inégalité de Minkowski Thm 4.7 de Riesz-Fischer Prop 5.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et identité du parallélogramme. Thm 5.3 Théorème de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert. Thm 5.6 Théorème de représentation de Riesz. Thm 5.9 des bases hilbertiennes. Thm 5.10 (base hilbertienne pour la mesure gaussienne standard)
La consultation des copies aura lieu le mercredi 22 janvier de 16h à 17H dans les bureaux Braconnier 227 et 229. Sujet et sa Correction
Années précédentes : Automne 2018.