Avancement du cours
avancement_cm_math-eco_2021-22.pdf
Feuilles de TD et corrections
Feuille de TD 1 - Opérations sur les ensembles, dénombrabilité (révisions)
Correction - Feuille de TD 1 (mise à jour le 01/10/2021)
Feuille de TD 2 - Espaces métriques, espaces normés
Correction partielle - Feuille de TD 2 (mise à jour le 11/10/2021)
Feuille de TD 3 - Clans, tribus, classes monotones, fonctions mesurables
Correction partielle - Feuille de TD 3 (mise à jour le 18/10/2021)
Feuille de TD 4 - Espace mesurés
Correction partielle - Feuille de TD 4 (mise à jour le 03/11/2021)
Correction partielle - Feuille de TD 5
Feuille de TD 6 - Intégrales à paramètres
Correction partielle - Feuille de TD 6
Correction partielle - Feuille de TD 7
Feuille de TD 8 - Espaces complets, séparables et L^p
Correction partielle - Feuille de TD 8
Feuille de TD 9 - Espaces de Hilbert (non-corrigée)
Autres sources d'exercices corrigés
Banque d'exercices corrigés de Topologie (Université de Lille)
Exercices corrigés de Topologie sur Bibm@th.net
Contrôles continus
Contrôle continu 1:
1.1 (dénombrable), 1.5 (limite supérieure et limite inférieure), 2.1 (distance), 2.4(espace normé), 2.7 (boule ouverte, boule fermée), 2.16 (normes équivalentes), 2.18 (distances équivalentes), 2.26 (ouverts), 2.35 (espace topologique), 2.37 et 2.39 (intérieur et adhérence d’un ensemble), 3.18 (convergence uniforme), 4.2 (compacité), 4.18 (homéomorphisme), 5.2 (clan), 5.5(tribu), 5.11(classe monotone), 5.12 (mesure), 5.20 (tribu produit), 5.24 (tribu borélienne), 5.25 (base d'un espace topologique), 5.32 (application mesurable/borélienne), 5.48 (fonction étagée), 5.62 (ensemble négligeable), 5.63 (mesure image), 6.1 (intégrale d'une fonction étagée positive), 6.3 (intégrale d'une fonction borélienne positive).
2.19 (suites par rapport aux distances équivalentes), 2.30 (critère pour qu’un ensemble d’un espace métrique soit ouvert), 2.33 (unions/intersections des ouvert/fermés), 3.9 et 3.10 (fonctions continues), 4.3 (critère de compacité), 4.5 (produit direct des espaces métriques compacts), 4.7 (sous-ensemble compact d’un espace métrique), 4.8 (sous-ensemble fermé d’un espace métrique compact), 4.9 (fonctions continues sur un espace métrique compact), 4.11 (les compacts de \R^n), 4.13 (théorème de Heine), 4.14 (équivalence de normes sur un espace vectoriel de dimension finie sur les réels), 5.13 (propriétés de base des mesures), 5.15(Thm définissant la tribu engendrée), 5.21 (générateurs d'une tribu produit), 5.28 (famille génératrice usuelle des boréliens de \R^n), 5.36 (mesurabilité en terme de famille génératrice), 5.42 et 5.47 (en pair, relation de la mesurabilité aux limites), 5.49 (fonctions boréliennes et fonctions étagées), 5.53 (Thm de classe monotone), 5.54 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures), 5.56 (Thm de prolongement pour les mesures), 5.58 (Thm définissant la mesure de Lebesgue).
Contrôle continu 2:
Programme des exercices: les fiches TD 4, 5, 6 et la partie de 7 discutée pendant les TD du 24 novembre. Programme des questions du cours dans les deux listes suivantes:
5.48 (fonction étagée), 6.1 (intégrale d’une fonction étagée, positive et borélienne), 6.3 (intégrale d’une fonction borélienne et positive), 6.20 (fonction \mu-intégrable et son intégrale), 6.26 (la mesure image), 7.2 (intégrale dépendant de paramètre), 7.9 (mesure \sigma-finie), 7.10 (la tribu produit), 7.27 (la matrice jacobienne), 8.2 (ensemble convexe), 8.6 (le cône tangent et le cône normal),8.8 (fonction convexe).
6.6 (inégalité de Markov), 6.12 (Thm de convergence monotone de Levi), 6.18 (Lemme de Fatou), 6.24 (relation de l'intégrabilité aux limites), 6.25 (Thm de convergence dominée de Lebesgue), 6.27 (Thm de transfert), 6.30 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue), 7.3 (théorème de continuité avec condition de domination), 7.7 (théorème de dérivabilité avec condition de domination), 7.12 (théorème définissant la mesure produit), 7.13 (théorème de Fubini-Tonelli), 7.15 (théorème de Fubini), 7.31 (le théorème de changement de variables), 8.12 (inégalité des pentes), 8.16 (caractérisation différentielle de la convexité), 8.21 (critère de minimum global du 1er ordre), 8.22 (théorème de projection sur un convexe fermé de \R^n), 8.24 (inégalité de Jensen), 8.34 (inégalité de Hölder).
Examen terminal:
9.1 (majorant essentiel), 9.11 (espace de Banach), 9.14 (convergence en probabilité), 10.15 (suite de Cauchy d'un espace métrique), 10.18 (espace métrique complet), 10.26 (espace de Hilbert), 10.44 (base hilbertienne).
9.5 (inégalité de Minkowski), 9.6 et 9.7 (relations entre les normes \| . |\_p), 9.12 (théorème de Riesz-Fischer), 10.3 (identité de la polarisation), 10.4 (identité du parallélogramme), 10.5 (inégalité de Cauchy-Schwarz), 10.34 (théorème de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert), 10.37 (théorème de projection sur un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert), 10.43 (théorème de description des formes linéaires continues d'un espace de Hilbert et de leurs normes), 10.54 (inégalité de Bessel), 10.55 (identités de Parseval).
Examen Final Sujet - Examen Final Correction