Ancien parcours de licence Mathématiques et Économie (site non à jour)

Serait-il possible de mettre à notre disposition des QCM types (comme ceux posés lors du test sur Tomuss) ainsi que leur correction afin que nous puissions nous entraîner pendant nos révisions ?

En effet, les partiels sont habituellement sous forme de QROC et non de QCM et donc nous n'avons pas vraiment d'annales pour travailler.

Je n'en ai pas, mais il y a de nombreuses ressources utiles en ligne. Par exemple :
- Un QCM sur sup/inf/max/min/suites : (Questions 3,5,6,7 hors programme). Et son corrigé
- Un QCM corrigé sur les séries numériques,
- Un QCM sur la convergence simple/uniforme : (p. 38. Réponses p. 40. Questions 1,5,9,10 hors programme)
- Un QCM sur les séries entières (p. 27. Réponses p. 29. Questions 7,9 hors programme).

J'aurai une question concernant l'exercice F2 On a :

Pour h(x) = SOMME n (n-1) a_n x^n + […]

puis à la ligne suivante vous mettez :

= x^2 SOMME n (n-1) x^(n-2) + […]

que devient le “a_n” ?

C'est un oubli de ma part, il faut bien ajouter le facteur a_n

Pour l'exercice F1, le petit 1, ​peut-on dire que (+1) est négligeable devant n lorsque celui-ci tend vers l'infini et donc c'est pour cela que ln(n+1)/ln(n) → 1 ?

L'idée et effectivement de dire que +1 est négligeable devant n, et donc… Voilà, il faut après justifier ce “et donc”. Il y a pour cela les détails dans mon corrigé. Je vous invite à réfléchir au calcul de cette limite :
Calculer la limite pour n→ infini de exp(n^2+n)/exp(n^2).
- mauvaise réponse : n est négligeable devant n^2 et donc (??? pourquoi ???) exp(n^2+n)/exp(n^2)→1.
- bonne réponse : après simplification, exp(n^2+n)/exp(n^2)=exp(n)→ infini.

pour l'exercice F3, on a trouvé que ln(1-x) = -x (somme de x^n/(n+1)). Dans notre somme de départ, on a seulement (somme de x^n​/(n+1))​ alors pourquoi on la remplace par ln(1-x) et non ln(1-x)/-x ?

Vous avez raison, dans la réponse à la question, il y a une erreur dans le corrigé :
le dernier terme n'est pas x ln(1-x), mais ln(1-x)/x.

j'aurai une question pour l'exercice E.3 vous dites que (1/racine de n) diverge et par conséquent somme de Un ne converge pas normalement. Je ne comprend pas je dirai que (1/racine de n) converge vers o et selon le théorème 3.11 pour série alternée comme la suite (1/ racine de n) est décroissante et tend vers 0 alors la série converge. pourriez vous s'il vous plait m'expliquer pourquoi ça diverge ?

La suite (1/ racine de n) converge vers zéro, mais ceci n'est pas utile dans l'exercice. En revanche, la série de (1/racine de n) diverge : c'est une application du critère de Riemann pour les séries, avec exposant 1/2. Vous ne pouvez pas appliquer le critère des séries alternées, puisque cette série n'est pas alternée : il manque le coefficient (-1)^n pour qu'elle soit alternée.

J'aimerais revenir sur le chapitre convergence de fonction. Je ne comprends quand est ce que vous faites une majoration indépendamment de x, ou lorsque vous changez la variable x pour la mettre en fonction de n? Comme vous faites dans les exercices D2 et D3. J'ai du mal a résoudre ces exercice là même avec votre correction.

Supposons que vous avez déjà étudié la convergence simple d'une suite de fonctions dans un certain intervalle, et que vous voulez maintenant savoir si la convergence est uniforme dans cet intervalle. Deux possibilités
- vous pensez que la convergence est uniforme. Pour le prouver, il faut chercher à majorer |f_n(x)-f(x)| par une expression indépendante de x (et dépendante de n, et de limite nulle pour n qui tend vers l'infini). C'est ce qu'on fait par exemple dans l'exercice D2.2.
- vous pensez que la convergence n'est pas uniforme. Pour le prouver on procède comme dans l'exercice D2.1 : il s'agit de choisir x_n tel que |f_n(x_n)-f(x_n)| ne tend pas vers zéro pour n qui tend vers l'infini.

Je n’arrive pas à trouver la dérivée pour l’exercice E1, question 3… Pouvez-vous m’aider svp?

Il vous faut ici la formule de la dérivée d'un quotient. Vous devez être capable de la retrouver dans vos notes ou ailleurs (livre, poly, etc.). Entrainez-vous avec quelques calculs de dérivées et ensuite vérifiez vos résultats ici : https://www.codabrainy.com/calcul-derivee/

Pour l'exercice 5 sur internet, je ne comprends pas comment on passe de ​somme de x^n à 1/(1-x) (je vous ai mis une image si vous ne comprenez pas ma question). Je l'ai vu plusieurs fois sur des exercices, c'est une chose à savoir ?

Oui c'est la somme de la série géométrique, voir l'exemple 3.3 du cours, à connaitre absolument.

P​our l'exercice E1 la première question, pourquoi 1/2 diverge ? Si la courbe on dirai qu'elle temps vers 0.

On ne peut pas dire que “1/2 diverge”. Il faut dire plutôt “la série de terme général 1/2 diverge” (puisque la somme 1/2+1/2+1/2+… est infinie).

j'aurai une question concernant l'exercice D.3 pour la question 4 sur le calcul d'intégral. Vous nous avez envoyé une correction avec l'intégrale de 0 à 1 de exp(-x) = 1 -e or moi en le faisant je trouve que cette intégrale vaut 1-exp(-1).

Vous avez raison, merci d'avoir signalé l'erreur.