Cours . Lundi après-midi 14h-15h30 ou 14h-17h15 (voir le planning des cours ci-dessous)
Chargé de cours. Xavier Roblot

Travaux dirigés. Vendredi matin 9h45-13h
Chargé de travaux dirigés. Saïd Jabrane

Programme.
Algèbre linéaire Rappels sur les espaces vectoriels et les matrices. Déterminant et trace. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal. Diagonalisation des matrices. Puissances d'une matrice, exponentielle de matrices.
Algèbre bilinéaire Formes bilinéaires, formes quadratiques, réduction de Gauss, signature, théorème de Sylvester. Produit scalaire, Espaces vectoriels euclidiens. Réduction des matrices symétriques réelles.

Dates prévues pour les CC.
CC1. Vendredi 18 mars – Sujet
CC2. Lundi 4 avril – Sujets

Annales pour le CT.
CT 2018
CT 2019 – CT 2019 (Solution)
CT 2020 (exemple)

Planning et avancée du cours. (notes de cours)
1er cours (31/01 – Grignard 24 – 14h-17h15). Chapitre 1. Rappels sur les espaces vectoriels : espace vectoriel, sous-espace vectoriel ; famille libre, famille génératrice, base, dimension ; application linéaire, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang ; forme linéaire ; somme directe. Rappels sur les matrices : définition ; matrice diagonale, matrice triangulaire, matrice symétrique, matrice anti-symétrique.

2e cours (07/02 – Lippmann 207 – 14h-15h30). Produit de matrices, matrices nilpotentes, matrices inversibles, matrices semblables, matrices équivalentes ; image, noyau et rang d'une matrice ; systèmes d'équations linéaires homogènes.

3e cours (14/02 – Lippmann 107 – 14h15h30). matrice d'une application linéaire ; matrice de passage ; trace d'une matrice.

4e cours (28/02 – Lippmann 207 – 14h-17h15). Déterminant d'une matrice : définition par récurrence. Déterminant des matrices triangulaires et diagonales ; déterminant d'une famille de vecteurs ; premières propriétés du déterminant ; déterminants et bases ; multiplicativité du déterminant, caractérisation des matrices inversibles ; méthodes de calcul du déterminant. déterminant d'un endomorphisme.

5e cours (07/03 – Lippmann 107 – 14h-15h30). Valeurs propres et vecteurs propres. Rappels sur les polynômes : degré, coefficient dominant, division euclidienne, PGCD, racine et multiplicité, polynôme scindé ; polynôme caractéristique et valeurs propres.

6e cours (14/03 – Lippmann 107 – 14h-15h30). Polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton. Valeurs propres d'un endomorphisme. Diagonalisation. Problème de la diagonalisation ; caractérisation des matrices diagonalisables.

7e cours (21/03 – Lippmann 107 – 14h-17h15). Méthode de diagonalisation. Applications de la diagonalisation. Chapitre 2. Formes bilinéaires : définitions, forme matricielle. Formes bilinéaires symétriques, alternées ; noyau et rang d'un forme bilinéaire.

8e cours (28/03 – Lippmann 107 – 14h-15h30). Orthogonalité. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel.

9e cours (04/04 – Lippmann 107 – 14h-15h30). CC2

10e cours (11/04 – Lippmann 107 – 14h-17h15). Formes quadratiques : définition, forme polaire et matrice d'une forme quadratique. Noyau et rang d'une forme quadratique. Forme quadratique non dégénérée. Vecteur isotrope et cône isotrope d'une forme quadratique. Réduction des formes quadratiques. Base duales et contraduales. Formulations du problème de la réduction des formes quadratiques. Preuve de l'existence des bases orthogonales. Réduction de Gauss.

11e cours (25/04 – Lippmann 107 – 14h-15h30).

12e cours (02/05 – Lippmann 107 – 14h-15h30).

Fiches de TD.

Fiche 1
Fiche 2
Fiche 3
Fiche 4
Fiche 5
Fiche 6

Archives.
Année 2018/19
Année 2019/20
Année 2020/21