• Lorenzo Brandolese (CM)
• Alexandre Lanar (TD. Vendredi après-midi).

Chapitre 1. Intégrales impropres. Critères de comparaison, des équivalents, et de convergence absolue.

Chapitre 2. Séries numériques. Critères de comparaison et des équivalents. Critères de d'Alembert et Cauchy. Comparaison avec une intégrale impropre. Séries alternées.

Chapitre 3. Suites et séries de fonctions. Convergence simple et uniforme. Continuité, intégrale et dérivée de la limite d'une suite et d'une série de fonctions.

Chapitre 4. Séries entières réelles. Rayon de convergence. Développement en série entière des fonctions classiques. Exemples d'applications aux équations différentielles. Séries entières complexes : l'exponentielle.

Chapitre 5. Norme éuclidienne et autres normes sur Rn. Ouverts, fermés. Suites. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Compacts de Rn. Limites et continuité de fonctions de plusieurs variables. Théorème de Weierstrass.

Chapitre 6. Compléments. Le but de ce chapitre est de démontrer ce qui a été admis en L1 : Continuité uniforme. L'intégrale des fonctions en escalier. Intégrales des fonctions régléés. Définition de l'intégrale de Riemann.

• Polycopié de G. Faccanoni, avec exercices corrigés et figures, couvrant la partie du programme sur les fonctions de plusieurs variables.

Contrôle partiel + contrôle terminal. Note finale = max(CT, (4*CP+6*CT)/10)

Programme du partiel : questions de cours et exercices sur les intégrales impropres, séries numériques, suites de fonctions (séries de fonctions exclues).

Enoncé

Correction

Barème

• Cours N.1 - 9 septembre. (3h). Intégrales impropres.. Calcul d'intégrales impropres à l'aide de primitives. Critères de comparaison et des équivalents. Intégrales impropres absolument convergentes. Intégrales impropres de Riemann. Intégrales doublement impropres.
• Cours N.2 - 16 septembre. (3h). Séries numériques. Définitions de sommes partielles et reste. Somme des séries téléscopiques et géométriques. Le terme général d'une série convergente tend vers zéro. Critères de convergence : comparaison, équivalents, racine de Cauchy, d'Alemebert, convergence absolue, séries alternées, comparaison avec une intégrales. Séries de Riemann. Utilisation de l'estimation du reste pour le calcul de la valeur approchée d'une somme.
• Cours N.3 - 23 septembre. (3h). Séries complexes. Série produit. Suites et séries de fonctions. Convergence simple. Convergence uniforme. Exemples. Continuité, intégrale de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues. Double limite. Dérivabilité de la limite uniforme. Condition de Cauchy uniforme.
• Cours N.4 - 30 septembre. (3h). Série des fonctions. Convergence simple et uniforme. Conditions pour échanger série et intégrale, ou série et dérivée. Série normalement convergentes. Séries absolument convergentes. Exemples. Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de convergence d'une série entière. Formule de D'Alembert et Cauchy pour le calcul du rayon de convergence. Exemples. Dérivabilité d'une série entière.
• Cours N.5 - 7 octobre. (3h). Fonctions développables en série entières. Développement en série entière des fonctions classiques. Produit de Cauchy de deux séries numériques. Séries entières complexes. Produit de séries entières. La fonction exponentielle. Les fonctions complexes sinus et cosinus. Formule d'Euler. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Normes sur Rn. Norme euclidienne. Distance euclidienne.
• Cours N.6 - 14 octobre. (3h). Ouverts de Rn, fermés. Suites. Limites.
• 21 octobre.. Partiel 9:45-11:45.
• Cours N.7 - 4 novembre. (3h). Limites et coordonnées polaires. Continuité. Fonctions Lipschitziennes. Continuité des fonctions vectorielles. Opérations avec les fonctions continues. Notions d'ouvert d'ouvert/fermé dans D, avec D partie de Rn. Images réciproques des ouverts/fermés par des applications continues. Compacts de Rn. Les compacts de Rn sont les fermés-bornés.
• Cours N.8 - 18 novembre. (3h). L'image d'un compact par une fonction continue est compact. Théorème de Weierstrass et ses variantes. Continuité uniforme.

L'avancement est indiqué “modulo exos avec étoile” (pour lesquels on donne uniquement des indications). PAS DE SEANCE LE 25 OCTOBRE.

• TD N. 1- 13 septembre. (3h) Fiche 1 exos 1-5.
• TD N. 2- 20 septembre. (3h) Fiche 1 exos 6-10.
• TD N. 3- 27 septembre. (3h) Fin fiche 1. Fiche 2 début exo 1.
• TD N. 4- 4 octobre. (2h30) Fiche 2 fin exo 1, exos 2 et 5.
• TD N. 5- 11 octobre. (3h) Fin fiche 2.
• TD N. 6- 18 octobre. (3h) Fiche 3 exos 1-2/1.
• TD N. 7- 8 novembre. (3h) Fiche 3 exos 2/2-4.
• TD N. 8- 15 novembre. (3h) Fiche 3 exos 5-début 8.
• TD N. 9- 22 novembre. (3h) Fiche 3 fin exo 8. Fiche 4 exos 1-7.
• TD N. 10- 25 novembre. (1h30) Fiche 4 exos .
• TD N. 11- 29 novembre. (3h) Fiche 4 exos . Fiche 5 exos .
• TD N. 12- 2 décembre. (3h) Fiche 5 exos .
• TD N. 13- 6 décembre. (3h) Fiche 5 exos .

Le programme des années précédentes n'était pas identique : le chapitre 5 a été raccourci, le chapitre 6 a été ajouté.