{"id":359,"date":"2025-06-06T11:35:27","date_gmt":"2025-06-06T09:35:27","guid":{"rendered":"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/?page_id=359"},"modified":"2025-06-12T19:09:18","modified_gmt":"2025-06-12T17:09:18","slug":"formules","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/sylvie-benzoni-gavage\/formules\/","title":{"rendered":"Formules"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Question de formules<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-buttons is-layout-flex wp-block-buttons-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-button\"><a class=\"wp-block-button__link wp-element-button\" href=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/sylvie-benzoni-gavage\/\">Sylvie Benzoni-Gavage<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-media-text is-stacked-on-mobile\"><figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"576\" src=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-1024x576.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-361 size-full\" srcset=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-300x169.jpg 300w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-768x432.jpg 768w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-1536x864.jpg 1536w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/chuchoteur-formules-LR-2048x1152.jpg 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Cette page en chantier permanent recense les formules math\u00e9matiques que j\u2019aime bien pour diverses raisons. Certaines sont pr\u00e9sentes dans Le Chuchoteur de formules de la <a href=\"https:\/\/www.ihp.fr\/fr\/musee-maison-poincare\">Maison Poincar\u00e9<\/a>, d\u2019autres pas.<\/p>\n\n\n\n<p>\u00a9Institut Henri Poincar\u00e9, Paris \/ Atelier Novembre, Du&amp;Ma &#8211; Opixido<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group is-nowrap is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-6c531013 wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#Heawood\">Heawood<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#Euler\">Euler\n<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>etc<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"Heawood\"><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Conjecture_de_Heawood\">Formule de Heawood<\/a><\/h3>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-media-text has-media-on-the-right is-stacked-on-mobile\" style=\"grid-template-columns:auto 28%\"><div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Donne le nombre chromatique \\(\\chi\\) d\u2019une surface orientable de genre \\(g\\): <\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\\(\\chi =\\left\\lfloor{\\frac{7+\\sqrt{1+48g}}{2}}\\right\\rfloor\\)\n\n\n\n<p>Par exemple, \\(\\chi=7\\) pour \\(g=1\\), cas illustr\u00e9 ci-contre (un tore &#8211; de genre 1 &#8211; vu de dessus colori\u00e9 avec une carte compl\u00e8te \u00e0 7 r\u00e9gions).<\/p>\n<\/div><figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1017\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-1017x1024.png\" alt=\"Carte compl\u00e8te 7 couleurs sur le tore\" class=\"wp-image-366 size-full\" srcset=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-1017x1024.png 1017w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-298x300.png 298w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-150x150.png 150w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-768x773.png 768w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-1526x1536.png 1526w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/bouee-7couleurs-detouree-2035x2048.png 2035w\" sizes=\"auto, (max-width: 1017px) 100vw, 1017px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Signifie que:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>toute carte sur une <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Orientabilit%C3%A9\"><strong>surface orientable<\/strong><\/a> de <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Genre_(math%C3%A9matiques)\">genre \\(g\\)<\/a><\/strong> peut \u00eatre colori\u00e9e avec au plus \\(\\chi\\) couleurs de sorte que pour toute paire de r\u00e9gions frontali\u00e8res, celles-ci soient de couleurs diff\u00e9rentes,<\/li>\n\n\n\n<li>il existe des cartes n\u00e9cessitant \\(\\chi\\) couleurs, et plus pr\u00e9cis\u00e9ment des <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Graphe_complet\">cartes compl\u00e8tes<\/a><\/strong> \u00e0 \\(\\chi\\) r\u00e9gions, c&rsquo;est-\u00e0-dire dont toutes les r\u00e9gions sont frontali\u00e8res les unes des autres.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n<li><strong><a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1007\/BF01203357\">Prouv\u00e9e en 1891<\/a><\/strong><a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1007\/BF01203357\"> par <\/a><strong><a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Lothar_Heffter\">Lothar Heffter<\/a><\/strong> pour \\(g\\) compris entre 1 et 7, en exhibant des tableaux d\u2019adjacence de cartes compl\u00e8tes \u00e0 \\(\\chi\\) couleurs, c\u2019est-\u00e0-dire \u00e0 exactement \\(\\chi\\) r\u00e9gions toutes frontali\u00e8res les unes des autres, en 1968 par <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Gerhard_Ringel\">Gerhard Ringel<\/a><\/strong> &amp; <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/John_William_Theodore_Youngs\">Ted Youngs<\/a><\/strong> pour tout genre au moins \u00e9gal \u00e0 1, en 1978 par <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Kenneth_Appel\">Kenneth Appel<\/a><\/strong> et <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Wolfgang_Haken\">Wolfgang Haken<\/a><\/strong> en genre 0 (th\u00e9or\u00e8me des quatre couleurs).<\/li>\n\n\n\n<li>Racont\u00e9e par <strong><a href=\"https:\/\/stahl.ku.edu\/\">Saul Stahl<\/a><\/strong>, The Other Map Coloring Theorem, Mathematics Magazine, May, 1985, Vol. 58, No. 3.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"Euler\"><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Descartes-Euler\">Formule d&rsquo;Euler pour les poly\u00e8dres<\/a><\/h3>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-media-text has-media-on-the-right is-stacked-on-mobile\" style=\"grid-template-columns:auto 33%\"><div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Relie le nombre \\(f\\) de faces, le nombre \\(s\\) de sommets et le nombre \\(a\\) d&rsquo;ar\u00eates d&rsquo;un <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Poly%C3%A8dre\">poly\u00e8dre<\/a><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Lorsque celui-ci est convexe, ou trac\u00e9 sur une surface orientable de genre nul, la formule est:<\/p>\n\n\n\\( s + f &#8211; a =2\\)\n\n\n\n<p>Par exemple, un ballon de foot ordinaire est compos\u00e9 de \\(f = 32\\) faces (20 hexagones, 12 pentagones), \\(s = 60\\) sommets et \\(a = 90\\) ar\u00eates.<\/p>\n<\/div><figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1000\" height=\"963\" src=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ballon-foot-classique.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-618 size-full\" srcset=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ballon-foot-classique.jpg 1000w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ballon-foot-classique-300x289.jpg 300w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ballon-foot-classique-768x740.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 1000px) 100vw, 1000px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group is-vertical is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-fe9cc265 wp-block-group-is-layout-flex\">\n<ul id=\"block-a3d0f726-f085-4637-924c-10e91eb69125\" class=\"wp-block-list\">\n<li>De nombreuses preuves existent. On peut en trouver 21 sur cette <a href=\"https:\/\/ics.uci.edu\/~eppstein\/junkyard\/euler\/\"><strong>page en anglais<\/strong><\/a>.<\/li>\n\n\n\n<li>Se g\u00e9n\u00e9ralise aux poly\u00e8dres trac\u00e9s sur une <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Orientabilit%C3%A9\"><strong>surface orientable<\/strong><\/a> de <strong><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Genre_(math%C3%A9matiques)\">genre \\(g\\)<\/a><\/strong> en: <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\\( s + f &#8211; a =2 &#8211; 2 g\\)\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-media-text has-media-on-the-right is-stacked-on-mobile\" style=\"grid-template-columns:auto 33%\"><div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Par exemple, un tore de genre \\(g =1\\) peut \u00eatre pav\u00e9 avec des hexagones, contrairement \u00e0 la sph\u00e8re, et l&rsquo;on a \\(s=6 \\times f\/3 = 2 f\\), \\(a=6 \\times f\/2 = 3f\\), \\(s + f &#8211; a =2f + f &#8211; 3 f = 0 = 2 &#8211; 2 \\times 1 = 2 &#8211; 2 g.\\)<\/p>\n<\/div><figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"889\" height=\"754\" src=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/hexatore.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-631 size-full\" srcset=\"https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/hexatore.png 889w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/hexatore-300x254.png 300w, https:\/\/math.univ-lyon1.fr\/perso\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/hexatore-768x651.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 889px) 100vw, 889px\" \/><\/figure><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Question de formules Cette page en chantier permanent recense les formules math\u00e9matiques que j\u2019aime bien pour diverses raisons. 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