Le message de ce post est le suivant : Pour un electron, la Théorie de De Broglie-Bohm est simplement un choix particulier de Jauge pour le groupe d'invariance \(U(1)\) et dans ce cas l'onde pilote s'identifie avec le potentiel vecteur de l'electromagnétisme.
Le groupe de Jauge \(U(1)\)
Écrivons l'équation de Schrodinger pour un electron avec le terme électromagnétique (avec \(e=\bar{h}=m=1\)). \[ i\partial_{t}\psi=\frac{1}{2}(i\nabla-A)^{2}\psi+V\psi \] Cette équation est invariante par l'action du groupe de Jauge \(U(1)\). C'est à dire qu' avec le changement suivant \[ \begin{cases} \hat{\psi}:=\psi e^{-if}\\ \hat{A}:=A-\nabla f\\ \hat{V}:=V+\partial_{t}f \end{cases}\quad f:\mathbb{R}^{4}\rightarrow\mathbb{R} \] on retrouve l'équation de Schrodingeur initiale \[ i\partial_{t}\hat{\psi}=\frac{1}{2}(i\nabla-\hat{A})^{2}\hat{\psi}+\hat{V}\hat{\psi}. \]
La mécanique Bohmienne
Pour obtenir la mécanique Bohmienne il suffit d'imposer la condition que \(\hat{\psi}\) est réelle. Sous cette condition on a \[ \partial_{t}\hat{\psi}=\Re(\partial_{t}\hat{\psi})=\Im(\frac{1}{2}(i\nabla-\hat{A})^{2}\hat{\psi}+\hat{V}\hat{\psi})=-\frac{1}{2}\hat{\psi}(\nabla.\hat{A})-(\hat{A},\nabla\hat{\psi}) \] et on obtient une équation de continuité pour la densité de courant \[ \begin{align*} \partial_{t}|\hat{\psi}|^{2} & =-|\hat{\psi}|^{2}(\nabla\cdot\hat{A})-2(\hat{A}\cdot\nabla\hat{\psi})\hat{\psi}=-\text{div}[|\hat{\psi}|^{2}\hat{A}] \end{align*} \] Ici la densité de probabilité s'écoule le long des ligne du potentiel vecteur \(\hat{A}\). Celui ci cependant n'est pas fixe mais évolue avec le choix de Jauge. Cette image assez jolie : Par exemple pour une particule chargée dans un champs magnétique puisque celle ci suit le vecteur potentiel et que \(B=\text{rot}(\hat{A})\), la particule tourne autour de l'axe du champs magnétique. Autre exemple, pour l'expérience de Aharonov Bohm cela accentue encore la perspective : Le vecteur potentiel décrit la dynamique de la particule mais est bien sur également sensible au champs magnétique au centre de l'expérience.
Annexes : Invariance de Jauge \(U(1)\)potentiel
En effet puisque \[ (i\nabla-\hat{A})\hat{\psi}=\psi e^{-if}\nabla f+ie^{-if}\nabla\psi-A\psi e^{-if}+\psi e^{-if}\nabla f=e^{-if}(i\nabla\psi-A\psi) \] on a \[ \begin{align*} (i\nabla-\hat{A})^{2}\hat{\psi} & =(i\nabla-\hat{A})\cdot e^{-if}(i\nabla\psi-A\psi)\\ & =e^{-if}(i\nabla-A)\cdot(i\nabla\psi-A\psi)\\ & =e^{-if}(i\nabla-A)^{2}\psi \end{align*} \] et donc \[ \begin{align} i\partial_{t}\hat{\psi} & =(\partial_{t}f)\psi e^{-if}+e^{-if}(i\partial_{t}\psi)\label{eq:DeriveTemps}\\ & =(\partial_{t}f)\psi e^{-if}+e^{-if}(\frac{1}{2}(i\nabla-A)^{2}\psi+V\psi)\nonumber \\ & =\frac{1}{2}(i\nabla-\hat{A})^{2}\hat{\psi}+\hat{V}\hat{\psi}\nonumber \end{align} \]
Annexes : Evolution du choix de Jauge
\[ 0=\Re(i\partial_{t}\hat{\psi})=-\frac{1}{2}\Delta\hat{\psi}+(\frac{1}{2}\hat{A}^{2}+V+\partial_{t}f)\hat{\psi} \] et donc \[ -\partial_{t}f=\frac{1}{2}\hat{A}^{2}+V+\frac{\Delta\hat{\psi}}{2\hat{\psi}}. \] On observe ici \(\frac{\Delta\hat{\psi}}{2\hat{\psi}}\) appelé le ``potentiel quantique de la mécanique Bohmienne''.