Soit \(X,Y,Z\) trois espace vectoriel de dimension \(\dim X=\dim Z=n\) et \(\dim Y=m\geq n\). On considère les éléments de dégré \(n\) de l'algèbre extérieure sur chacun de ces espaces. Rappelons que l'on a \[ \text{dim}\,\Lambda^{n}X=\text{dim}\,\Lambda^{n}Z=1\text{ et }\text{dim}\,\Lambda^{n}Y=\begin{pmatrix}m\\ n \end{pmatrix}. \] En notant \(dx_{1},\cdots,dx_{n}\), une base de \(\Lambda^{1}X\) (resp. \(dy_{1},\cdots,dy_{m}\) pour \(Y\), \(dz_{1},\cdots,dz_{n}\) pour \(Z\)). On peut écrire les éléments \(\alpha\in\Lambda^{n}X,\) \(\beta\in\Lambda^{n}Z\) et \(\omega\in\Lambda^{n}Y\) ainsi \[ \alpha=a\bigwedge_{i=1}^{n}dx_{i},\quad\beta=b\bigwedge_{i=1}^{n}dz_{i},\quad\omega=\sum_{.J\subset[m],|j|=n}\omega_{J}\bigwedge_{j\in J}dy_{i},\quad a,b,\omega_{J}\in\mathbb{R}. \] Soient deux applications linéaires \(A:X\rightarrow Y\) et \(B:Y\rightarrow Z\) que nous représenterons comme deux matrices \(A\in\mathbb{R}^{n\times m}\), \(B\in\mathbb{R}^{m\times n}\), \[ A\bigwedge_{i=1}^{n}dx_{i}=\bigwedge_{i=1}^{n}\left(Adx_{i}\right)=\bigwedge_{i=1}^{n}\left(\sum_{j}A_{ij}dy_{j}\right)=\sum_{.J\subset[m],|j|=n}\left(\det A|_{X\rightarrow J}\right)\bigwedge_{j\in J}dy_{i} \] \[ B\omega=\sum_{.J\subset[m],|j|=n}\omega_{J}\bigwedge_{j\in J}\left(Bdy_{i}\right)=\left(\sum_{J\subset[m],|j|=n}\omega_{J}\det B|_{J\rightarrow Z}\right)\bigwedge_{i=1}^{n}dz_{i} \] et donc \[ BA\bigwedge_{i=1}^{n}dx_{i}=\left(\sum_{J\subset[m],|j|=n}\det A|_{X\rightarrow J}\det B|_{J\rightarrow Z}\right)\bigwedge_{i=1}^{n}dz_{i} \] D'un autre côté on a \[ BA\bigwedge_{i=1}^{n}dx_{i}=\det(BA)\bigwedge_{i=1}^{n}dz_{i} \] Finallement \[ \det(BA)=\sum_{J\subset[m],|j|=n}\det A|_{X\rightarrow J}\det B|_{J\rightarrow Z}. \] Pour le dire différemment, \(A,B\) induisent des applications linéaires \[ \Lambda^{n}X\overset{A}{\rightarrow}\Lambda^{n}Y\overset{B}{\rightarrow}\Lambda^{n}Z. \] Et la formule de Cauchy-Binet n'est rien d'autre que le produit matricielle de ces applications. Remarque : Il est alors facile de généraliser ce genre de formule avec \(\ell\) espaces vectoriels, \(\ell-1\) applications linéraires et sur les éléments de degré \(k\) \[ \Lambda^{k}X_{1}\overset{A_{1}}{\rightarrow}\Lambda^{k}X_{2}\overset{A_{2}}{\rightarrow}\cdots\overset{A_{\ell-1}}{\rightarrow}\Lambda^{k}X_{\ell} \] pour avoir \begin{align*} \det(A_{\ell-1}\cdots A_{1}|_{J_{1}\rightarrow J_{\ell}}) & =\sum_{\substack{J_{2},\cdots,J_{\ell-1}\\ J_{i}\subset[\text{dim}A_{i}],|j_{i}|=k } :}\det A_{\ell-1}|_{J_{\ell-1}\rightarrow J_{\ell}}\cdots\det A_{1}|_{J_{1}\rightarrow J_{2}}. \end{align*}