L'un des plus beau résultat en géométrie différentiel est le théorème de Gauss Bonnet. Pour toute surface \(S\) fermée et plongée dans \(\mathbb{R}^{3}\), l'intégrale de sa \og courbure\fg{} \(K\) est égale à sa caractéristique d'Euler \(\chi(S)\) \[ 2\pi\chi(S)=\iint K(u)du \] Mentionnons également le théorème que Gauss appelait lui même \og théorème remarque\fg : si on peut transformé une surface \(S\) en une surface \(S'\) par une \og isométrie\fg{} \(\phi\) alors la courbure au point \(\phi(u)\) dans \(S'\) égale à la courbure du point \(u\) dans \(S\). Ici nous présentons une version un peu simplifiée du théorème de Gauss Bonnet mais dont la preuve est élémentaire. Elle peut être présenté à des collégiens et donc constitue un sujet parfait pour un exposé de vulgarisation. Tout d'abord considérons une figure dans le plan. Et rappelons que pour un polygone à \(N\) cotés la somme des angles vaut \((N-2)\pi\). En effet faisons le tour de ce polygone dans le sens des aiguilles d'une montre en notant à chaque fois l'angle sur lequel on a tourné. On comptera ce tournant positivement si il est vers la droite et négativement si il est vers la gauche.
Après un tour complet la somme des tournants vaut \(\sum_{i}\theta_{i}=2\pi\) ceci quelque soit le nombre de tournant réalisés. Sur chaque sommet du polygone la somme du tournant \(\theta_{i}\) et de l'angle au sommet \(\alpha_{i}\) vaut toujours \(\theta_{i}+\alpha_{i}=\pi\). Et donc \(\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}=N\pi-\sum\theta_{i}=N\pi-2\pi\). Attaquons maintenant nous aux solides en 3d. Nous avons un polyèdre. Peut-on définir sur ses sommets une notion de \og coin\fg ? Quelque chose d'équivalent au angles en 2D et qui mesure de combien le sommet est pointu? On défini le coin d'un sommet de la manière suivante : Au sommet \(A\), plusieurs faces du polyèdre se rejoignent, chacune ayant un angle \(\alpha_{i}\) en ce sommet. On défini alors le coin \(c_{A}\) comme \(2\pi\) moins la somme de ces angles \(\alpha\). \[ c_{A}=2\pi-\sum_{i\sim A}\alpha_{i} \] Exemple : pour un cube :
Les trois angles ici valent \(\frac{\pi}{2}\) et donc \(c_{A}=2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\). Deuxième exemple pour un tétraèdre régulier :
Ici les trois angles valent \(\frac{\pi}{3}\), et donc \(c_{A}=2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\]. Remarquez qu'il peut y avoir des coins négatifs. Cependant ce ne dépend pas si le coin est s'enfonce ou non dans la figure. Par exemple le coin ci dessous est bien positif
Il est facile de voir si un coin est positif ou négatif en dépliant le patron de la figure. Si sur le patron les faces autour du sommet ne se recouvrent pas alors \(\sum\alpha_{i}\leq2\pi\) et au contraire si elles se recouvrent alors \(\sum\alpha_{i}>2\pi\). Intéressons nous maintenant à la somme des coins du solide. Reprenons les exemples précédents: pour le cube, on a \(8\) sommets, chacun d'un coin égale à \(\frac{\pi}{2}\), la somme des coins vaut alors \(\sum_{s\text{ du cube}}c_{s}=8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\) . Pour le tétraèdre, on a \(4\) sommets dont chacun a un coin égale à \(\pi\) et donc la somme vaut \(\sum_{s\text{ du tétraèdre}}c_{s}=4\times\pi=4\pi.\) On retrouve à chaque fois la surface d'une sphère qui vaut également \(2\pi\chi(S)\). Pour un polyèdre \(\mathcal{P}\), montrons la relation \(\sum_{s\text{ du polyèdre}}c_{s}=2\pi\chi(\mathcal{P})\). \begin{align*} \sum_{s}c_{s} & =\sum_{s}(2\pi-\sum_{i\sim s}\alpha_{i})\\ & =2\pi S-\sum_{s}\sum_{i\sim s}\alpha_{i} \end{align*} avec \(S\) le nombre de sommets. Le deuxième terme \(\sum_{s}\sum_{i\sim s}\alpha_{i}\) est la somme de tous les angles du polyèdre, c'est donc aussi la somme sur toutes les faces \(f\) de la somme des angles de cette face: \[ \begin{align*} \sum_{s}c_{s} & =2\pi S-\sum_{f}\sum_{i\in f}\alpha_{i}\\ & =2\pi S-\sum_{f}(N_{f}\pi-2\pi) \end{align*} \] avec \(N_{f}\) le nombre de coté de la face \(f\). Dans la somme \(\sum_{f}N_{f}\) chaque arête du polyèdre est compter 2 fois, on a donc alors \(\sum_{f}N_{f}=2A\) avec \(A\) le nombre d'arête du polyèdre. On a donc bien \[ \sum_{s}c_{s}=2\pi(S-A+F)=2\pi\chi(\mathcal{P}) \] On peut énoncé le théorème suivant : la somme des coins d'un solide (sans trou) vaut toujours \(4\pi\). Remarque élémentaire Considérons le cas où un polyèdre \(\mathcal{P}\) ne possède que des faces triangulaires (il est toujours possible se ramener à ce cas ci en ajoutant des arêtes). Et considérons une transformation dans l'espace \(\phi\), qui déforme \(\mathcal{P}\) en un autre polyèdre \(\phi(\mathcal{P})\) mais qui ne change pas la longueur des arêtes: pour toutes les arêtes \([A,B]\) de \(\mathcal{P}\), sa longueur est égale à la longueur de l'arête \([\phi(A),\phi(B)]\) de \(\phi(\mathcal{P})\). Pour chaque triangle de \(ABC\) qui forment les faces de \(\mathcal{P},\) le triangle \(\phi(ABC)\) a les même longueurs. On en déduit que les angles du triangle \(\phi(ABC)\) sont égaux à ceux de \(ABC\). En conclusion les coins \(c_{\phi(A)}=2\pi-\sum_{i\sim\phi(A)}\alpha_{i}=2\pi-\sum_{i\sim A}\alpha_{i}=c_{A}\) ne changent pas. Nous avons donc là un petit \og théorème remarquable\fg{} : Pour des triangulations, les coins sont donc invariant par isométrie.